高中數(shù)學 3.1 方程的根與函數(shù)的零點 新人教A版必修

1、整理課件開始開始 整理課件學點一學點一學點二學點二學點三學點三學點四學點四整理課件1.函數(shù)零點的概念函數(shù)零點的概念對于函數(shù)對于函數(shù)y=f(x)，我們把使，我們把使 的實數(shù)的實數(shù)x叫做函數(shù)叫做函數(shù)y=f(x)的的 .2.函數(shù)零點與方程根的關系函數(shù)零點與方程根的關系函數(shù)函數(shù)y=f(x)的零點就是方程的零點就是方程f(x)=0的的 ，也就是函，也就是函 數(shù)數(shù)y=f(x)的圖象與的圖象與 的交點的的交點的 .所以方程所以方程 f(x)=0有有 函數(shù)函數(shù)y=f(x)的圖象與的圖象與 函數(shù)函數(shù)y=f(x) . f(x)=0零點零點實數(shù)根實數(shù)根x軸軸橫坐標橫坐標實數(shù)根實數(shù)根x軸有交點軸有交點有零點有零點返回

2、返回 整理課件如果函數(shù)如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間在區(qū)間a,b上的圖象是連續(xù)不斷的上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有一條曲線，并且有f(a)f(b) ，那么，函數(shù)，那么，函數(shù)y=f(x)在在區(qū)間區(qū)間 內有零點，即存在內有零點，即存在c(a,b),使得使得 ，這，這個個c也就是方程也就是方程f(x)=0的根的根.4.二次函數(shù)的零點、二次函數(shù)圖象與二次函數(shù)的零點、二次函數(shù)圖象與x軸的交點、一元軸的交點、一元二次方程的根三者之間的關系二次方程的根三者之間的關系.00)的根的根y=ax2+bx+c(a0)的圖象的圖象y=ax2+bx+c(a0)的零點的零點方程無實數(shù)根方程無實數(shù)根x1=x2=ab2aa

3、cbbx2422, 1有一個二重零點有一個二重零點沒有零點沒有零點 返回返回 整理課件學點一學點一 函數(shù)的零點函數(shù)的零點求下列函數(shù)的零點求下列函數(shù)的零點:(1)f(x)=4x-3;(2)f(x)=-x2-2x+3;(3)f(x)=x4-1.【分析】【分析】根據(jù)函數(shù)零點與方程的根之間的關系，要求函根據(jù)函數(shù)零點與方程的根之間的關系，要求函數(shù)的零點就是求相應方程的實數(shù)根數(shù)的零點就是求相應方程的實數(shù)根.返回返回 整理課件【解析】【解析】（1）由）由f(x)=4x-3=0得得x= ，所以函數(shù)的零點是，所以函數(shù)的零點是 .（2）由于）由于f(x)=-x2-2x+3=-(x+3)(x-1)，因此方程，因此方

4、程f(x)=0的根為的根為-3,1，故函數(shù)的零點是，故函數(shù)的零點是-3,1.（3）由于）由于f(x)=x4-1=(x2+1)(x+1)(x-1)，令，令f(x)=0，得，得x=1,-1,故函數(shù)的零點是故函數(shù)的零點是1,-1.4343【評析】求函數(shù)的零點就是求相應方程的實數(shù)根，一【評析】求函數(shù)的零點就是求相應方程的實數(shù)根，一般可以借助求根公式或因式分解等方法求出方程的根，般可以借助求根公式或因式分解等方法求出方程的根，從而得到函數(shù)的零點從而得到函數(shù)的零點.返回返回 整理課件（1）令令lnx-3=0,得得x=e3,函數(shù)的零點為函數(shù)的零點為x=e3.（2）方程方程x3-7x+6=0可化為可化為x3-

5、6x-x+6=x(x2-1)-6(x-1)=x(x+1)(x-1)-6(x-1) =(x-1)(x2+x-6)=(x-1)(x-2)(x+3)=0.即即(x-1)(x-2)(x+3)=0得得x1=-3,x2=1,x3=2,函數(shù)函數(shù)y=-x2-2x+3的零點為的零點為1,-3;函數(shù)函數(shù)y=x3-7x+6的零點為的零點為-3,1,2.求下列函數(shù)的零點求下列函數(shù)的零點:(1)y=lnx-3; (2)y=x3-7x+6.返回返回 整理課件學點二學點二 判斷零點判斷零點判斷函數(shù)判斷函數(shù)f(x)=x2-x-6的零點是否存在，若存在的零點是否存在，若存在,說明零點說明零點所在的一個區(qū)間所在的一個區(qū)間.【分析

6、】【分析】要判斷函數(shù)的零點的個數(shù)，實際就是考查方要判斷函數(shù)的零點的個數(shù)，實際就是考查方程程x2-x-6=0的解的個數(shù)，即的解的個數(shù)，即y=x2-x-6的圖象與的圖象與x軸的交點軸的交點個數(shù)個數(shù).【解析】【解析】考查函數(shù)考查函數(shù)f(x)=x2-x-6知圖象為拋物線（如圖所示），知圖象為拋物線（如圖所示），容易看出容易看出f(0)=-60,f(-4)=140.返回返回 整理課件【評析】【評析】 (1)方程的解與函數(shù)零點的關系是解決本題的橋梁；方程的解與函數(shù)零點的關系是解決本題的橋梁； (2)體會數(shù)形結合和函數(shù)與方程的思想的運用體會數(shù)形結合和函數(shù)與方程的思想的運用.由于函數(shù)由于函數(shù)f(x)的圖象是連

7、續(xù)曲線，因此的圖象是連續(xù)曲線，因此,點點B(0,-6)與點與點C（4,6）之間的那部分曲線必然穿過）之間的那部分曲線必然穿過x軸，即在區(qū)間軸，即在區(qū)間(0,4)內必有一個點內必有一個點x1,使使f(x1)=0；同樣在區(qū)間；同樣在區(qū)間(-4,0)內內也必有一個點也必有一個點x2，使，使f(x2)=0,所以函數(shù)所以函數(shù)f(x)=x2-x-6有兩有兩個零點，分別在區(qū)間個零點，分別在區(qū)間(0,4)和和(-4,0)內內.返回返回 整理課件求證：方程求證：方程5x2-7x-1=0的根一個在區(qū)間的根一個在區(qū)間(-1,0)上，另上，另一個在區(qū)間一個在區(qū)間(1,2)上上.證明證明:令令f(x)=5x2-7x-1

8、,則則f(0)=-1,f(1)=-3,f(-1)=11,f(2)=5.由由f(-1)0,f(0)0知在知在(-1,0)上上f(x)有一個零點，即有一個零點，即方程方程f(x)=0有一根，有一根，同理，由同理，由f(1)0知方程在知方程在(1,2)上也有一根上也有一根.返回返回 整理課件學點三學點三 函數(shù)值符號的判定函數(shù)值符號的判定函數(shù)函數(shù)y=-2x2+x+3的自變量的自變量x分別在什么范圍內取值時，分別在什么范圍內取值時，函數(shù)值大于函數(shù)值大于0，小于，小于0，等于，等于0？【分析】【分析】首先求出函數(shù)的零點，然后利用零點，結首先求出函數(shù)的零點，然后利用零點，結合函數(shù)的兩個性質，可以求出函數(shù)值大

9、于合函數(shù)的兩個性質，可以求出函數(shù)值大于0，小于，小于0，等于等于0時自變量時自變量x的取值范圍的取值范圍.【解析】【解析】由由-2x2+x+3=0得得x1=-1,x2= ，所以函數(shù)的零，所以函數(shù)的零點是點是-1和和 ，亦即當自變量，亦即當自變量x取取-1和和 時時,函數(shù)值等于函數(shù)值等于0.函數(shù)的兩個零點函數(shù)的兩個零點-1和和 將數(shù)軸分成將數(shù)軸分成3個區(qū)間：個區(qū)間：(-,-1),（-1, ）,（ ,+），在區(qū)間（），在區(qū)間（-1, ）內取特殊值）內取特殊值23232323232323返回返回 整理課件x=0，得其函數(shù)值，得其函數(shù)值f(0)=30，依函數(shù)零點的性質，依函數(shù)零點的性質（2）知當）知當

10、x（-1, ）時）時,有有f(x)0；再依據(jù)函數(shù)零；再依據(jù)函數(shù)零點的性質（點的性質（1）知）知,當當x(-,-1)和和x（ ,+）時，）時，都有都有f(x)0時，時，x的取值范圍的取值范圍.解解：y=x2-2x-8=(x+2)(x-4),函數(shù)的兩個零點是函數(shù)的兩個零點是-2和和4,由圖象可知由圖象可知 當當x(-,-2)(4,+)時時,y0.-24xy返回返回 整理課件學點四學點四 零點與不等式零點與不等式已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)=x3-4x.（1）求函數(shù)的零點并畫函數(shù)的圖象；）求函數(shù)的零點并畫函數(shù)的圖象；（2）解不等式）解不等式:xf(x)0.【分析】【分析】由函數(shù)的零點判斷作出函數(shù)圖象由函

11、數(shù)的零點判斷作出函數(shù)圖象.【解析】【解析】（1）因為）因為 x3-4x= x(x-2)(x+2)，所以函，所以函數(shù)的零點為數(shù)的零點為0,-2,2.三個零點把數(shù)軸分成三個零點把數(shù)軸分成4個區(qū)間：個區(qū)間：(-,-2,(-2,0,(0,2,(2,+).由由于相鄰兩個零點之間的所有函數(shù)值保持于相鄰兩個零點之間的所有函數(shù)值保持同號，函數(shù)的圖象如圖所示同號，函數(shù)的圖象如圖所示.返回返回 整理課件（2）不等式）不等式xf(x)0 x0 f(x)0,結合函數(shù)圖象結合函數(shù)圖象,得不等式的解集為得不等式的解集為(0,2)(-2,0).或【評析】根據(jù)函數(shù)的零點定義與性質，可以用來幫【評析】根據(jù)函數(shù)的零點定義與性質，

12、可以用來幫助畫函數(shù)的圖象，結合函數(shù)圖象不僅可以直觀的研助畫函數(shù)的圖象，結合函數(shù)圖象不僅可以直觀的研究函數(shù)的性質，而且能夠求解相關的不等式，這體究函數(shù)的性質，而且能夠求解相關的不等式，這體現(xiàn)了以數(shù)輔形，以形助數(shù)的思想方法現(xiàn)了以數(shù)輔形，以形助數(shù)的思想方法.返回返回 整理課件返回返回 已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)=x2+2x-3m，當，當x(0,+)時，時，f(x)0，求，求m的取值范圍的取值范圍.可分兩種情況處理，即分無零點和有零點?？煞謨煞N情況處理，即分無零點和有零點。（1）當）當f(x)無零點時無零點時,=4+12m0,解得解得m- .所以當所以當m0.（2）當）當f(x)有零點有零點,且又滿足且

13、又滿足x(0,+)時時,f(x)0,有兩個零點必落在有兩個零點必落在(-,0)內內,此時有此時有 0 m- -ba0 -20 ca0, -3m0,3131即即 31整理課件解得解得- m0.綜上所述綜上所述,得當?shù)卯攛(0,+),f(x)0時時,m的取值范圍是的取值范圍是m0.31整理課件1.1.怎樣判定函數(shù)怎樣判定函數(shù)f(x)f(x)在在a,ba,b上是否有零點上是否有零點? ?判定判定f(x)f(x)在區(qū)間在區(qū)間a,ba,b上是否有零點，可用下面方法：上是否有零點，可用下面方法：（1 1）函數(shù)在區(qū)間）函數(shù)在區(qū)間a,ba,b上的圖象連續(xù)，且它在區(qū)間上的圖象連續(xù)，且它在區(qū)間a,ba,b端點的函

14、數(shù)值異號，則函數(shù)在端點的函數(shù)值異號，則函數(shù)在a,ba,b上一定存上一定存在零點；在零點；（2 2）函數(shù)圖象連續(xù)且在區(qū)間）函數(shù)圖象連續(xù)且在區(qū)間a,ba,b上存在零點，則上存在零點，則它在區(qū)間它在區(qū)間a,ba,b端點的函數(shù)值可能異號端點的函數(shù)值可能異號, ,也可能同號；也可能同號；上述方法只能用來判斷函數(shù)零點的存在性，不能用來上述方法只能用來判斷函數(shù)零點的存在性，不能用來判斷函數(shù)零點的個數(shù)判斷函數(shù)零點的個數(shù). .返回返回 整理課件2.2.怎樣理解函數(shù)零點與方程根的關系？怎樣理解函數(shù)零點與方程根的關系？3.3.函數(shù)值與零點有什么關系？函數(shù)值與零點有什么關系？設給出函數(shù)設給出函數(shù)y=f(x)y=f(x

15、)，則有方程，則有方程f(x)=0f(x)=0有實數(shù)根函數(shù)有實數(shù)根函數(shù)y=f(x)y=f(x)有零點函數(shù)有零點函數(shù)y=f(x)y=f(x)的圖象與的圖象與x x軸有交點軸有交點. .若方程若方程f(x)=0f(x)=0有二重實根，則稱函數(shù)有二重實根，則稱函數(shù)y=f(x)y=f(x)有二階零點有二階零點. .對于任意函數(shù)對于任意函數(shù)y=f(x)y=f(x)，只要它的圖象是連續(xù)不間斷的，則有，只要它的圖象是連續(xù)不間斷的，則有（1 1）當通過零點時）當通過零點時, ,函數(shù)值變號函數(shù)值變號. .如函數(shù)如函數(shù)y=xy=x2 2-x-6-x-6的圖象在零的圖象在零點點-2-2的左邊時，函數(shù)值取正號；向右通過零點的左邊時，函數(shù)值取正號；向右通過零點-2-2時，函數(shù)值時，函數(shù)值由正變負；繼續(xù)向右通過零點由正變負；繼續(xù)向右通過零點3 3時時, ,函數(shù)值又由負變正函數(shù)值又由負變正. .（2 2）在相鄰兩個零點之間所有的函數(shù)值保持同號）在相鄰兩個零點之間所有的函