南昌大學(xué)第五屆高數(shù)競(jìng)賽經(jīng)濟(jì)類(lèi)試題及答案

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上 南昌大學(xué)第五屆高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽(經(jīng)濟(jì)類(lèi))試題 序號(hào)： 姓名： 學(xué)院: 第 考場(chǎng)專(zhuān)業(yè)： 學(xué)號(hào)： 考試日期： 2008年9月21日題號(hào)一二三四五六七八九十十一十二總分累分人 簽名題分18186676767667 100得分注: 本卷共七頁(yè), 十二道大題, 考試時(shí)間為8:3011:30.一、 填空題(每空3分，共18分) 得分評(píng)閱人 1、 設(shè)在x=0連續(xù)，則常數(shù)k=_。2、 設(shè)函數(shù)f(x)在x=e點(diǎn)處有連續(xù)一階導(dǎo)數(shù)，且，則=_。3、 函數(shù)在閉區(qū)間-2,2上的最大值為_(kāi)。4、 =_。5、 已知二元函數(shù)u（x,y）滿(mǎn)足條件：，則u（x,y）=_。6、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)開(kāi)。專(zhuān)心-

2、專(zhuān)注-專(zhuān)業(yè)二、 單項(xiàng)選擇題(每題3分，共18分) 得分評(píng)閱人 1、下列函數(shù)中在開(kāi)區(qū)間（0，1）內(nèi)有界的是（ ）。A、 B、 C、 D、2、設(shè)f(x)具有二階導(dǎo)數(shù)，f(0)=0,而，則g(x)在x=0點(diǎn)處（ ）。A、間斷 B、可導(dǎo)且 C、連續(xù)但不可導(dǎo) D、可導(dǎo)且3、設(shè)周期函數(shù)f(x)在內(nèi)可導(dǎo)，周期為，且滿(mǎn)足條件，則曲線y=f(x)在點(diǎn)處的切線斜率為（ ）。A、-2 B、0 C、-1 D、14、設(shè)，其中f(u)為連續(xù)函數(shù)，,則等于（ ）。A、 B、 C、 D、05、設(shè)，則級(jí)數(shù)（ ）。A、與都收斂； B、與都發(fā)散；C、收斂而發(fā)散； D、發(fā)散而收斂。6、考慮二元函數(shù)f(x,y)的下面4條性質(zhì)：f(x,

3、y)在點(diǎn)處連續(xù)。 ，在點(diǎn)處連續(xù)。f(x,y)在點(diǎn)處可微。 ，存在若用“”表示可用性質(zhì)P推出性質(zhì)Q,則有（ ）。A、= B、= C、= D、=得分評(píng)閱人 三、（本題滿(mǎn)分6分） 設(shè)，求。得分評(píng)閱人 四、（本題滿(mǎn)分6分） 求函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)。得分評(píng)閱人 五、（本題滿(mǎn)分7分） 討論方程有幾個(gè)實(shí)根？（常數(shù)a0）。.得分評(píng)閱人 六、（本題滿(mǎn)分6分） 確定常數(shù)a,b使得。 得分評(píng)閱人 七、（本題滿(mǎn)分7分） 設(shè)，其中，都是二階可導(dǎo)的函數(shù)。求，；如果，且，試求。得分評(píng)閱人 八、（本題滿(mǎn)分6分） 計(jì)算二重積分，其中D是由直線，以及y軸圍成的閉區(qū)域。得分評(píng)閱人 九、（本題滿(mǎn)分7分） 若函數(shù)f(x),g(x)滿(mǎn)足條件：

4、，且，。試求：； 由曲線，與直線和所圍成的平面圖形的面積。得分評(píng)閱人 十、（本題滿(mǎn)分6分） 設(shè)。將f(x)展開(kāi)成x的冪級(jí)數(shù)；問(wèn)是否收斂？若收斂，是條件收斂還是絕對(duì)收斂？得分評(píng)閱人 十一、（本題滿(mǎn)分6分） 已知在內(nèi)連續(xù)，且對(duì)一切，滿(mǎn)足關(guān)系式，求。得分評(píng)閱人 十二、（本題滿(mǎn)分7分） 設(shè)，都在閉區(qū)間a,b上單增、連續(xù)。證明：。 南昌大學(xué)第五屆高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽(經(jīng)濟(jì)類(lèi))試題答案一、 填空題：（每題3分，共18分）1、； 2、1； 3、； 4、； 5、； 6、二、選擇題：（每題3分，共18分）1、A； 2、B； 3、C ； 4、C； 5、C； 6、A三、解：而 所以由夾逼定理，。四、解：，五、解：作函數(shù)，則

5、， 令得駐點(diǎn)。時(shí)；時(shí)。可見(jiàn)在上單增，在上單減，是的最大值。）當(dāng)時(shí)，可見(jiàn)恒有，故無(wú)零點(diǎn)，從而方程無(wú)實(shí)根。）當(dāng)時(shí)，而時(shí)，有，故有唯一零點(diǎn)，即方程有唯一實(shí)根。）當(dāng)時(shí)，并且分別在與內(nèi)單增和單減，故在與內(nèi)分別有唯一零點(diǎn)，即方程分別在與內(nèi)各有唯一實(shí)根。六、解：由題意知在的某鄰域內(nèi)有定義，所以。由羅必塔法則據(jù)題意a=1,且=2，即七、解： 由，且得令，代入上式得 式中將用換之得 由解得 故 八、解：九、解：由題意得，這是二階常系數(shù)齊次線性方程，通解為由,知，且故曲線方程因?yàn)闀r(shí)，所以平面圖形的面積：十、解： 因?yàn)?，所以時(shí)，顯然上式對(duì)也成立，故， 先求方法一：由冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式的唯一性知 方法二：因?yàn)樗杂蓛缂?jí)數(shù)的和函數(shù)的性質(zhì)：時(shí)故，于是 是交錯(cuò)級(jí)數(shù)，因?yàn)閱握{(diào)減少，且所以由萊布尼茲定理知，級(jí)數(shù)是收斂的。但由于發(fā)散，故級(jí)數(shù)是條件收斂十一、解：對(duì)一切有，即 ，顯然可導(dǎo)，上式兩邊求導(dǎo)得，即 ，