第12章 BSM連續(xù)時間期權(quán)定價模型——風(fēng)險中性方法

1、中央財經(jīng)大學(xué)期權(quán)與期貨第十二章 B-S-M期權(quán)定價模型風(fēng)險中性定價Chapter 12 B-S-M Option Pricing Model-Risk Neutral Pricing中央財經(jīng)大學(xué)期權(quán)與期貨伊藤型隨機(jī)微分方程的解01B-S-M期權(quán)定價模型的方法風(fēng)險中性定價03目錄CONTENTS風(fēng)險中性測度022中央財經(jīng)大學(xué)期權(quán)與期貨第十二章 B-S-M期權(quán)定價模型風(fēng)險中性定價方法中央財經(jīng)大學(xué)期權(quán)與期貨學(xué)習(xí)要點 藤型隨機(jī)微分方程的解； 拉東-尼柯迪姆導(dǎo)數(shù)和一維哥薩諾夫定理； B-S-M期權(quán)定價模型的風(fēng)險中性定價方法。中央財經(jīng)大學(xué)期權(quán)與期貨第十二章 B-S-M期權(quán)定價模型風(fēng)險中性定價方法中央財經(jīng)大

2、學(xué)期權(quán)與期貨本章知識結(jié)構(gòu)圖中央財經(jīng)大學(xué)期權(quán)與期貨第十二章 B-S-M期權(quán)定價模型風(fēng)險中性定價方法第節(jié)導(dǎo) 言中央財經(jīng)大學(xué)期權(quán)與期貨第節(jié) 導(dǎo)言風(fēng)險中性定價基本原則資產(chǎn)價格的特點：一價定律，資產(chǎn)的價格并不根據(jù)投資者是什么類型而改變風(fēng)險中性定價的基本原則：假定市場上都是風(fēng)險中性的投資者中央財經(jīng)大學(xué)期權(quán)與期貨第十二章 B-S-M期權(quán)定價模型風(fēng)險中性定價方法第一節(jié)伊藤型隨機(jī)微分方程的解中央財經(jīng)大學(xué)期權(quán)與期貨第一節(jié) 伊藤型隨機(jī)微分方程的解模型的假設(shè)W(t), 0 t T是概率空間(, , )上的布朗運動， (t), 0 t T是關(guān)于該布朗運動的域流。伊藤型隨機(jī)微分方程方程dX(t) = (X(t), t)

3、dt + (X(t), t)dW(t) 方程系數(shù)滿足Lipschitz條件： |(x, t) - (y, t)| + |(x, t) - (y, t)| K1|x - y| 線性增長條件： |(x, t) | + |(x, t) | K2(1 + |x|)則隨機(jī)微分方程在0, T內(nèi)有唯一解，且1. X(t) 是 (t) -可測的；2. X(t) 具有連續(xù)路徑；3. X(t) 是一個馬爾科夫過程。中央財經(jīng)大學(xué)期權(quán)與期貨第一節(jié) 伊藤型隨機(jī)微分方程的解資產(chǎn)價格模擬 如果隨機(jī)方程的漂移項和擴(kuò)散項都是X(t) 的線性函數(shù)：則稱為線性隨機(jī)微分方程。股價過程S(t)是一個簡單的線性隨機(jī)微分方程dS(t) =

4、 S(t) dt + S(t)dW(t) 由伊藤公式 在給定布朗運動的前提下，可以模擬出任何時刻標(biāo)的資產(chǎn)價格狀態(tài)。 中央財經(jīng)大學(xué)期權(quán)與期貨第十二章 B-S-M期權(quán)定價模型風(fēng)險中性定價方法第二節(jié)風(fēng)險中性測度中央財經(jīng)大學(xué)期權(quán)與期貨第二節(jié) 風(fēng)險中性測度拉東-尼柯迪姆導(dǎo)數(shù)從滿足 EZ=1的非負(fù)隨機(jī)變量 Z 出發(fā)，定義一個新的概率測度在新概率測度下的期望記為 , 且 如果 ，則 和 具有相同的零概率集，二者等價。此時Z是 關(guān)于 的拉東-尼柯迪姆導(dǎo)數(shù)。中央財經(jīng)大學(xué)期權(quán)與期貨第二節(jié) 風(fēng)險中性測度哥薩諾夫定理，一維情形W(t), 0 t T是概率空間(, , )的布朗運動， (t), 0 t T 是關(guān)于該布朗

5、運動的域流。設(shè) (t) , 0 t T 是一個適應(yīng)過程，定義令 Z = Z(T) ，則 EZ=1 ，并且在概率測度 下，過程W(t), 0 t T 是布朗運動。哥薩諾夫定理中的概率測度 和 是等價是因為 。在后面的資產(chǎn)價格模型中， 是真實概率測度， 是風(fēng)險中性概率測度。中央財經(jīng)大學(xué)期權(quán)與期貨第十二章 B-S-M期權(quán)定價模型風(fēng)險中性定價方法第三節(jié)風(fēng)險中性測度下的股價過程中央財經(jīng)大學(xué)期權(quán)與期貨第三節(jié) B-S-M期權(quán)定價模型的方法風(fēng)險中性定價等價鞅測度股價過程 dS(t) = S(t) dt + S(t)dW(t), 0 t T 股價的折現(xiàn)過程：伊藤公式：令哥薩諾夫定理可知 為新測度下的布朗運動，哥

6、薩諾夫定理中定義的風(fēng)險中性測度也稱為等價鞅測度，因為它等價于原測度，并且使得貼現(xiàn)股價過程成為鞅。中央財經(jīng)大學(xué)期權(quán)與期貨第三節(jié) B-S-M期權(quán)定價模型的方法風(fēng)險中性定價期權(quán)定價投資者希望通過期權(quán)復(fù)制來對沖期權(quán)的風(fēng)險，即構(gòu)造一個投資組合，使得該投資組合在時刻的價值X(T)與期權(quán)的支付(S(T)- K )+相吻合投資組合的貼現(xiàn)價值為鞅，因此根據(jù)鞅的定義可得：令 = T - t ，即“離到期日剩余時間”,風(fēng)險中性定價公式為在連續(xù)時間情形下，風(fēng)險中性定價公式為：中央財經(jīng)大學(xué)期權(quán)與期貨第十二章 B-S-M期權(quán)定價模型風(fēng)險中性定價方法中央財經(jīng)大學(xué)期權(quán)與期貨本章小結(jié)1. 伊藤型隨機(jī)微分方程的解，這一部分內(nèi)容對于后續(xù)的風(fēng)險中性