線段的最大值與最小值的解題策略

1、14-5線段最大值與最小值的解題思路回顧：1線段公理兩點之間，線段最短；2對稱的性質關于一條直線對稱的兩個圖形全等；對稱軸是兩個對稱圖形對應點連線的垂直平分線；3三角形兩邊之和大于第三邊；4三角形兩邊之差小于第三邊。5、垂直線段最短1、 兩點之間線段最短、垂線段最短線段之和的問題往往是將各條線段串聯起來，再連接首尾端點，根據兩點之間線段最短以及點到線的距離垂線段最短的基本依據解決。例1. 如圖，在平面直角坐標系中，三個點的坐標分別為，延長AC到點D,使CD=,過點D作DEAB交BC的延長線于點E.（1）求D點的坐標；（2）作C點關于直線DE的對稱點F,分別連結DF、EF，若過B點的直線將四邊形

2、CDFE分成周長相等的兩個四邊形，確定此直線的解析式；（3）設G為y軸上一點，點P從直線與y軸的交點出發(fā)，先沿y軸到達G點，再沿GA到達A點，若P點在y軸上運動的速度是它在直線GA上運動速度的2倍，試確定G點的位置，使P點按照上述要求到達A點所用的時間最短。（要求：簡述確定G點位置的方法，但不要求證明）看數據的特殊性，30°P點在y軸上運動的速度是它在直線GA上運動速度的2倍P點在GH上運動速度等于它在直線GA上運動速度求GH+GA的最小值這不是一道簡單的作圖題，需要經歷以下的思索路徑：簡化圖形轉化題意由果索因畫圖說理課堂練習：1如圖，在ABC中，AC=BC=2，ACB=90。，D是

3、BC邊的中點，E是AB邊上一動點，則EC+ED的最小值是_2在銳角中，的平分線交于點分別是和上的動點，則的最小值是_例2、如圖2，正方形ABCD的邊長為4，DCB的平分線CE交DB于點E，若點P,Q分別是CD和CE上的動點，則DQ+PQ的最小值（ ） A.2 B. C.4 D. 已知:在ABC中，BC=a，AC=b，以AB為邊作等邊三角形ABD. 探究下列問題:（1）如圖1，當點D與點C位于直線AB的兩側時，a=b=3，且ACB=60°，則CD= ；（2）如圖2，當點D與點C位于直線AB的同側時，a=b=6，且ACB=90°，則CD= ；（3）如圖3，當ACB變化,且點D與

4、點C位于直線AB的兩側時，求 CD的最大值及相應的ACB的度數. 圖1 圖2 圖3二、三角形兩邊之和大于第三邊求線段的最大值與最小值需要將該條線段轉化到一個三角形中，在該三角形中，其他兩邊是已知的，則所求線段的最大值為其他兩線段之和，最小值為其他兩線段之差。在轉化較難進行時需要借助于三角形的中位線及直角三角形斜邊上的中線。例1.在RtABC中，ACB=90°，tanBAC=. 點D在邊AC上（不與A，C重合），連結BD，F為BD中點.（1）若過點D作DEAB于E，連結CF、EF、CE，如圖1 設，則k = ；（2）若將圖1中的ADE繞點A旋轉，使得D、E、B三點共線，點F仍為BD中點

5、，如圖2所示求證：BE-DE=2CF；（3）若BC=6，點D在邊AC的三等分點處，將線段AD繞點A旋轉，點F始終為BD中點，求線段CF長度的最大值課堂練習（西城8）如圖，在ABC中，C=90°，AC=4，BC=2，點A、C分別在x軸、y軸上，當點A在x軸上運動時，點C隨之在y軸上運動，在運動過程中，點B到原點的最大距離是A BC。 D 6三、線段差的問題已知兩點A、B與直線（AB與不平行且在同側），動點P在上，求。連接并延長交直線于點P，則點P為所求最大值時所取的點，。先閱讀下面材料，然后解答問題：（本小題滿分10分）【材料一】：如圖，直線l上有、兩個點，若在直線l上要確定一點P，且

6、使點P到點、的距離之和最小，很明顯點P的位置可取在和之間的任何地方，此時距離之和為到的距離. 如圖，直線l上依次有、三個點，若在直線l上要確定一點P，且使點P到點、的距離之和最小，不難判斷，點P的位置應取在點處，此時距離之和為到的距離. (想一想，這是為什么？)不難知道，如果直線l上依次有、四個點，同樣要確定一點P，使它到各點的距離之和最小，則點P應取在點和之間的任何地方；如果直線l上依次有、五個點，則相應點P的位置應取在點的位置. 圖圖【材料二】：數軸上任意兩點a、b之間的距離可以表示為. 【問題一】：若已知直線l上依次有點、共25個點，要確定一點P，使它到已知各點的距離之和最小，則點P的位

7、置應取在 ；若已知直線l上依次有點、共50個點，要確定一點P，使它到已知各點的距離之和最小，則點P的位置應取在 . 【問題二】：現要求的最小值，根據問題一的解答思路，可知當x值為 時，上式有最小值為 .4、 幾種變式變式如圖1，為正方形ABCD的邊BC上的中點，且BC=2，請在對角線BD上找一個點P使PC+PE的值最小為 。ABCDEP圖3圖1 圖2 圖4變式2如圖3，在直角梯形ABCD中，ABC90°，ADBC，AD4，AB 5，BC6，點P是AB上一個動點，當PCPD的和最小時，PB的長為_變式3、如圖3，梯形ABCD中，AD/BC，BE平分ABC，且BECD于E，P是BE上一動

8、點。若BC = 6，CE=2DE，則 | PCPA | 的最大值是 變式4如圖2，如圖，CD是O的直徑，點A是半圓上的三等分點，B是弧AD的中點，P點為直線CD上的一個動點，當CD=4時，則（1）AP+BP的最小值為 （2）AP-BP的最大值為 變式5 圖3-7如圖3-7，正方形ABCD的邊長為，CE3，CF=2，請在邊AB,AD上找兩個點G、H使四邊形EFGH周長最小，并求出此時的周長。 變式6、拋物線和軸的交點為為的中點，若有一動點，自點處出發(fā)，沿直線運動到軸上的某點（設為點），再沿直線運動到該拋物線對稱軸上的某點（設為點），最后又沿直線運動到點，求使點運動的總路程最短的點，點的坐標，并求

9、出這個最短路程的長。ADCB變式7、如圖（1），直線與軸交于點C，與軸交于點B，點A為軸正半軸上的一點，A經過點B和點，直線BC交A于點D。（1）求點D的坐標；（2）過，C，D三點作拋物線，在拋物線的對稱軸上是否存在一點，使線段與之差的值最大？若存在，請求出這個最大值和點P的坐標。若不存在，請說明理由。圖3-8變式8、如圖3-8，以矩形OABC的頂點O為原點，OA所在的直線為x軸，OC所在的直線為y軸，建立平面直角坐標系已知OA3，OC2，點E是AB的中點，在OA上取一點D，將BDA沿BD翻折，使點A落在BC邊上的點F處（1）直接寫出點E、F的坐標；（2）設頂點為F的拋物線交y軸正半軸于點P，

10、且以點E、F、P為頂點的三角形是等腰三角形，求該拋物線的解析式；(3)在x軸、y軸上是否分別存在點M、N，使得四邊形MNFE的周長最?。咳绻嬖?，求出周長的最小值；如果不存在，請說明理由變式9（2010天津市）在平面直角坐標系中，矩形OACB的頂點O在坐標原點，頂點A、B分別在x軸、y軸的正半軸上，OA3，OB4，D為邊OB的中點（）若E為邊OA上的一個動點，當CDE的周長最小時，求點E的坐標；（）若E、F為邊OA上的兩個動點，且EF2，當四邊形CDEF的周長最小時，求點E、F的坐標OABxyCDOABxyCDED（備用圖）變式10如圖，已知直線與軸交于點A，與軸交于點D，拋物線與直線交于A、

11、E兩點，與軸交于B、C兩點，且B點坐標為 (1，0)。在拋物線的對稱軸上找一點M，使的值最大，求出點M的坐標。變式11、如圖，已知點A(-4，8)和點B(2，n)在拋物線上(1)求a的值及點B關于x軸對稱點P的坐標，并在x軸上找一點Q，使得AQ+QB最短，求出點Q的坐標；(2)平移拋物線，記平移后點A的對應點為A，點B的對應點為B，點C(-2，0)和點D(-4，0)是x軸上的兩個定點當拋物線向左平移到某個位置時，AC+CB 最短，求此時拋物線的函數解析式；當拋物線向左或向右平移時，是否存在某個位置，使四邊形ABCD的周長最短？若存在，求出此時拋物線的函數解析式；若不存在，請說明理由作業(yè)1、（北

12、京市競賽題）如圖（11），在矩形ABCD中，AB=20，BC=10，若在AC、AB上各取一點M、N，使BM+MN的值最小，求這個最小值。2如圖（12）在菱形ABCD中，DAB=1200，點E平分BC，點P在BD上，且PE+PC=1，那么邊長AB的最大值是_。3、如圖13，已知正比例函數和反比例函數的圖像都經過點M（2，），且P（，2）為雙曲線上的一點，Q為坐標平面上一動點，PA垂直于x軸，QB垂直于y軸，垂足分別是A、B （1）寫出正比例函數和反比例函數的關系式；（2）當點Q在直線MO上運動時，直線MO上是否存在這樣的點Q，使得OBQ與OAP面積相等？如果存在，請求出點的坐標，如果不存在，請說

13、明理由； （3）如圖12，當點Q在第一象限中的雙曲線上運動時，作以OP、OQ為鄰邊的平行四邊形OPCQ，求平行四邊形OPCQ周長的最小值圖14圖13 提高作業(yè)（利用旋轉對稱變換）EA DB CNM2010寧德第25題：如圖，四邊形ABCD是正方形，ABE是等邊三角形，M為對角線BD（不含B點）上任意一點，將BM繞點B逆時針旋轉60°得到BN，連接EN、AM、CM. 求證：AMBENB； 當M點在何處時，AMCM的值最??；當M點在何處時，AMBMCM的值最小，并說明理由；FEA DB CNM 當AMBMCM的最小值為時，求正方形的邊長.2. 閱讀下列材料：問題：如圖1，在正方形ABCD內有一點P，PA=，PB