線性規(guī)劃和基本不等式常見題型

1、線性規(guī)劃常見題型及解法由已知條件寫出約束條件，并作出可行域，進(jìn)而通過平移直線在可行域內(nèi)求線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解是最常見的題型，除此之外，還有以下六類常見題型。一、求線性目標(biāo)函數(shù)的取值范圍xyO22x=2y =2x + y =2BA例1、 若x、y滿足約束條件，則z=x+2y的取值范圍是（）A、2,6B、2,5C、3,6D、（3,5解：如圖，作出可行域，作直線l：x+2y0，將直線 向右上方平移，過點(diǎn)A（2,0）時(shí)，有最小值2， 過點(diǎn)B（2,2）時(shí)，有最大值6，故選A二、求可行域的面積2x + y 6= 0 = 5xy 3 = 0OyxABCMy =2例2、不等式組表示的平面區(qū)域的面積為（）A、4

2、B、1C、5D、無窮大解：如圖，作出可行域，ABC的面積即為所求， 由梯形OMBC的面積減去梯形OMAC的面積即可，選B三、求可行域中整點(diǎn)個(gè)數(shù)例3、滿足|x|y|2的點(diǎn)（x，y）中整點(diǎn)（橫縱坐標(biāo)都是整數(shù)）有（）xyOA、9個(gè)B、10個(gè)C、13個(gè)D、14個(gè)解：|x|y|2等價(jià)于作出可行域如右圖，是正方形內(nèi)部（包括邊界），容易得到整點(diǎn)個(gè)數(shù)為13個(gè)，選D2x + y - 2= 0 = 5x 2y + 4 = 03x y 3 = 0OyxA四,求非線性目標(biāo)函數(shù)的最值例4、已知x、y滿足以下約束條件，則z=x2+y2的最大值和最小值分別是（）A、13，1 B、13，2C、13， D、，解：如圖，作出可行

3、域,x2+y2是點(diǎn)（x，y）到原點(diǎn)的距離的平方，故最大值為點(diǎn)A（2,3）到原點(diǎn)的距離的平方，即|AO|2=13，最小值為原點(diǎn)到直線2xy2=0的距離的平方，即為，例5， 已知變量x，y滿足約束條件則 的取值范圍是（ ）.（A），6 （B）（，6，）（C）（，36，） （D）3，6解： 是可行域內(nèi)的點(diǎn)M（x，y）與原點(diǎn)O（0，0）連線的斜率， 當(dāng)直線OM過點(diǎn)（，）時(shí)，取得最小值； 當(dāng)直線OM過點(diǎn)（1，6）時(shí)，取得最大值6.x + y = 5x y + 5 = 0Oyxx=3四、求線性目標(biāo)函數(shù)中參數(shù)的取值范圍例6、已知x、y滿足以下約束條件，使z=x+ay(a>0) 取得最小值的最優(yōu)解有無數(shù)

4、個(gè)，則a的值為（）A、3B、3C、1D、1解：如圖，作直線l：x+ay0，要使目標(biāo)函數(shù)z=x+ay(a>0)取得最小值的最優(yōu)解有無數(shù)個(gè)， 則將l向右上方平移后與直線x+y5重合，故a=1，選DO2x y = 0y2x y + 3 = 0例7、已知|2xym|3表示的平面區(qū)域包含點(diǎn)（0,0）和（1,1），則m的取值范圍是（）A、（-3,6）B、（0,6）C、（0,3）D、（-3,3）解：|2xym|3等價(jià)于由右圖可知 ,故0m3，選C均值不等式應(yīng)用一均值不等式1.（1）若，則 (2)若，則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）2. (1)若，則 （當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”） (2)若，則 (當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）

5、3.若，則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）注：（1）兩個(gè)正數(shù) “積定和最小，和定積最大”（2）求最值的條件“一正，二定，三等”技巧一：湊項(xiàng)例1：已知，求函數(shù)的最大值。解：， 當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，上式等號(hào)成立，故當(dāng)時(shí)，。技巧二：湊系數(shù)例2. 當(dāng)時(shí)，求的最大值。解：由知， 當(dāng)，即x2時(shí)取等號(hào) 當(dāng)x2時(shí)，的最大值為8。技巧三： 分離例3. 求的值域。解： 當(dāng),即時(shí),年（當(dāng)且僅當(dāng)x1時(shí)取“”號(hào)）。技巧四：在應(yīng)用基本不等式時(shí)，若等號(hào)取不到，應(yīng)結(jié)合的單調(diào)性例4：求函數(shù)的值域。解：令，則因，但解得不在區(qū)間，故等號(hào)不成立，考慮單調(diào)性。 在區(qū)間單調(diào)遞增，在其子區(qū)間為單調(diào)遞增函數(shù)，故。技巧五：整體代換： 例5：正數(shù)x，y滿足x3y5xy，則3x4y的最小值是解： (當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào))，3x4y的最小5例6：正數(shù)x，y滿足x3y5xy，求xy的最小值解：x0，y0，則5xyx3y 當(dāng)且僅當(dāng)x3y時(shí)取等號(hào)xy的最小值為練習(xí)：1求下列函數(shù)的最小值，并求取得最小值時(shí)，x 的值.（1） （2） (3) （