線性代數(shù)問題的計算機應(yīng)用

1、畢 業(yè) 論 文題 目 線性代數(shù)問題的計算機 求解方法的研究 專 業(yè) 信息與計算科學(xué) 班 級 學(xué) 生 學(xué) 號 指導(dǎo)教師 二一年五月三十日摘 要與中學(xué)數(shù)學(xué)相比，高等數(shù)學(xué)的內(nèi)容多,抽象性和理論性較強,一些學(xué)生進入大學(xué)后很不適應(yīng).而數(shù)學(xué)軟件具有形象性、直觀性、互動性和時效性,它可以幫助學(xué)生很好的理解內(nèi)容,并能夠盡快的學(xué)以致用. MATLAB已經(jīng)成為國際上最流行的科學(xué)與工程計算的軟件工具,本文首先對MATLAB等計算機軟件的國內(nèi)外現(xiàn)狀進行了簡單的介紹,然后以MATLAB為例對計算機在線性代數(shù)教學(xué)和學(xué)習(xí)過程中的應(yīng)用進行了研究.最后,闡述了利用計算機解決實際生活中的一個經(jīng)濟學(xué)問題,并給出了幾點建議.經(jīng)過本文

2、的講述,同學(xué)們既可以提高自己的動手能力和對數(shù)學(xué)軟件的使用能力,又可以在以后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中,輕松快捷的掌握復(fù)雜的計算,提高自己對學(xué)習(xí)的積極性.關(guān)鍵詞：線性代數(shù)；矩陣；MATLAB AbstractCompared with middle school math, Higher Mathematics has more abstract and theoretical characteristics, many students cant adapt to it. As mathematical software has the characteristics of visualization, o

3、cular demonstration, bidirectional operation and effectiveness, it is helpful for students to understand and use what they learn. MATLAB has been the most popular software in science and engineering calculation. In this paper, at first, as the computer software MATLAB situation at home and abroad is

4、 introduced simply ,and taking MATLAB for example in higher mathematics is researched. At last, the use of computers is described to solve a economic problem in actual life, and some advices are proposed. After this papers introduction, students can not only improve their skill and ability to use ma

5、thematical software, but also raise their enthusiasm so that learning is quick and easy.Keywords: Linear Algebra；Matrix；Matlab目 錄摘要.IABSTRACT.II1 引言.12 常見數(shù)學(xué)軟件介紹.32.1 MAPLE.32.2 MATHEMATICA.32.3 MATHCAD.32.4 MATLAB.43數(shù)學(xué)軟件在線性代數(shù)中的應(yīng)用.63.1 計算機求解矩陣方程.63.2 矩陣的基本分析.73.3 矩陣的基本變換.123.4 矩陣分解.133.4.1分解.133.4.2分

6、解.143.4.3三角-三角分解.154 實際生活中的線性代數(shù).174.1 線性代數(shù)對經(jīng)濟學(xué)的應(yīng)用.174.2 小結(jié).19結(jié)論.20參考文獻.21致謝.221. 引言線性代數(shù)是一門應(yīng)用性很強,而且理論非常抽象的數(shù)學(xué)學(xué)科,它主要討論了矩陣?yán)碚?、與矩陣結(jié)合的有限維向量空間及其線性變換的理論.在計算機廣泛應(yīng)用的今天,計算機圖形學(xué)、計算機輔助設(shè)計、密碼學(xué)、經(jīng)濟學(xué)、網(wǎng)絡(luò)技術(shù)等無不以線性代數(shù)為基礎(chǔ).但是在線性代數(shù)中,大部分的計算太過繁瑣.例如當(dāng)把方程的階次提高到了三元以上時,不但要求較高的抽象思維能力,而且也要求用十分繁瑣的計算步驟才能解決問題,這使得大多數(shù)的工科學(xué)生對線性代數(shù)感到乏味枯燥1.線性代數(shù)的計

7、算機應(yīng)用在國外也有很多的應(yīng)用，例如Wassily Leontief教授把美國經(jīng)濟用500個變量的500個線性方程組描述,而后又把系統(tǒng)簡化為42個變量的42個線性方程.經(jīng)過幾個月的編程,并利用當(dāng)時的計算機運行了56個小時才求出其解2. 又如，1992年至1997年,美國國家科學(xué)基金會資助的ATLAST(Augment the Teaching of Linear Algbra using Software Tools)計劃重點強調(diào)在線性代數(shù)教學(xué)中應(yīng)該利用新的計算方法技術(shù).比如MATLAB語言在國外大學(xué)工學(xué)院中,特別是在數(shù)值運算用得最頻繁的電子信息學(xué)科中MATLAB已成為每個學(xué)生必備的工具,它大大

8、提高了課堂教學(xué)、解題作業(yè)和分析研究的效率3.線性代數(shù)的教學(xué)不能離開計算機是美國工科教育界的共識.國外的線性代數(shù)教材大多與其他數(shù)學(xué)分支聯(lián)系或應(yīng)用到其他領(lǐng)域,如:近似積分與微分,微分方程組,經(jīng)濟管理學(xué)等,可以使得學(xué)生充分掌握線性代數(shù)的實際應(yīng)用.另外,由于國外教育采用“放羊”式方法,學(xué)生們從小就養(yǎng)成了自己獨立思考,運用各種可以利用的學(xué)習(xí)工具來輔助學(xué)習(xí)的習(xí)慣,所以計算機成為了他們學(xué)習(xí)的有力武器,運用計算機解決數(shù)學(xué)問題對他們來說便顯得得心應(yīng)手. 由于MATLAB可以幫助使用者擺脫繁重的計算過程,所以在美國大學(xué)中，MATLAB已廣泛應(yīng)用到線性代數(shù)中去,成為許多大學(xué)生和研究生使用的重要工具.在國外的高校中,

9、熟練掌握MATLAB已成為大學(xué)及以上學(xué)歷必須掌握的基本技能.大多數(shù)國外學(xué)校對數(shù)學(xué)的研究主要是運用計算機解決問題,真正動手演算很少,所以即使中國學(xué)生在理論知識上比外國學(xué)生強,但對于實際應(yīng)用和動手能力卻遠遠不如外國學(xué)生.然而當(dāng)前我國在線性代數(shù)教學(xué)與學(xué)習(xí)中面臨著許多問題:(1)教材內(nèi)容老化課程教學(xué)與應(yīng)用脫節(jié),數(shù)學(xué)應(yīng)該是來源于實際生活的,根據(jù)理論和基礎(chǔ)計算,再應(yīng)用并解決現(xiàn)實問題.但現(xiàn)在的數(shù)學(xué)教學(xué)卻只講授課本理論,導(dǎo)致學(xué)生無法將理論與實際生活相結(jié)合；(2)課程內(nèi)容抽象,定理和概念繁多,學(xué)生難以對課本內(nèi)容形成充分的整體認(rèn)識；(3)課堂教學(xué)手段單一,與現(xiàn)代化技術(shù)結(jié)合得不好.在大學(xué)線性代數(shù)學(xué)習(xí)中,大多數(shù)課堂只

10、是進行理論講授,沒有將數(shù)學(xué)實驗引入教學(xué),使理論與實際應(yīng)用有機結(jié)合,造成學(xué)生科學(xué)計算能力低下,只是一味的埋頭做題、套公式,而不去考慮應(yīng)用計算機解答等簡便算法.之前,我國科技水平不發(fā)達,使用計算機解決日常生活問題還達不到要求.但是,現(xiàn)在家用計算機、筆記本幾乎成為大學(xué)生必備的學(xué)習(xí)用品,即使這樣在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中仍不能靈活運用計算機解決實際問題.線性代數(shù)課堂中不談計算機已經(jīng)成為我國線性代數(shù)教育的普遍問題.所以我國的線性代數(shù)課程出現(xiàn)了不盡人意的狀況-理論抽象越來越深,應(yīng)用和實際計算結(jié)合越來越少,成了一門抽象、冗繁而枯燥的課程.當(dāng)前學(xué)生在學(xué)習(xí)線性代數(shù)上也存在眾多問題:學(xué)習(xí)沒有計劃,學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)不完整,讀書不求甚解

11、,懶于動腦思考線性代數(shù)與實際的聯(lián)系,學(xué)習(xí)過程中不善于查找相關(guān)資料等.這些普遍問題使得學(xué)生的學(xué)習(xí)與現(xiàn)實產(chǎn)生了嚴(yán)重的脫節(jié).大學(xué)的學(xué)習(xí)內(nèi)容、方法和要求,比起中學(xué)的學(xué)習(xí)發(fā)生了很大的變化,沒有老師像在高中一樣督促你學(xué)習(xí),所以大部分的學(xué)生一進大學(xué)便放松了自己,就是認(rèn)真學(xué)習(xí)的學(xué)生也是毫無計劃,整天忙于被動的應(yīng)付聽課、完成作業(yè)和考試,缺乏主動自覺的學(xué)習(xí),干什么都心中無數(shù).不但對線性代數(shù)的學(xué)習(xí)如此,線性代數(shù)本身的特點也使得大部分學(xué)生對線性代數(shù)生而畏之.例如,線性代數(shù)中多項式部分定義的繁瑣難懂,最大公因式、不可約多項式、二次型等與實際應(yīng)用的相脫離,向量的線性相關(guān)、線性空間、線性變換、歐式空間等問題概念的抽象性,行

12、列式的求法、矩陣的相關(guān)計算容易出錯,線性代數(shù)中有些知識需要進行大量的、機械的數(shù)值運算,在學(xué)生套用公式時,耗費了大量的時間和精力,又往往出錯.例如:在求解行列式問題上,如果矩陣為高階方陣,且不具備特殊條件(比如為三角矩陣等),那么在求解矩陣的行列式時,需要將矩陣依次按行展開,將其化為多個三階矩陣的和才可套用公式求出,期間過程繁瑣,費時且容易出錯,長期下來學(xué)生學(xué)習(xí)線性代數(shù)時搞不懂、弄不清,即使經(jīng)過長期理論熏陶并經(jīng)過復(fù)雜的計算過程將題目解答出來,也無法判斷題目的對錯,更不要說學(xué)生對線性代數(shù)的研究.所以使得很多同學(xué)對線性代數(shù)失去了興趣.但是,以上問題若用計算機求解則可幾步便求出答案,達到事半功倍的效果

13、.大部分學(xué)生不懂也不善于運用計算機解決線性代數(shù)問題,可能存在有如下幾點原因:(1)喜歡文科類課程,對線性代數(shù)等數(shù)學(xué)學(xué)科沒有興趣,所以不愿去研究其解題方法,或者由于需要長期進行大量的計算,而對線性代數(shù)沒有了興趣；(2)對計算機軟件不感興趣,以至于運用軟件求解計算生疏不懂；(3)不肯動腦研究計算機軟件,懶于記憶軟件中的常用函數(shù)；(4)想鍛煉自己的動筆能力,喜歡用稿紙演算.2. 常見數(shù)學(xué)軟件介紹目前,數(shù)學(xué)的科技應(yīng)用軟件主要有MAPLE、MATHEMATICA、MATHCAD、MATLAB等.2.1 MAPLEMAPLE軟件是目前世界上最為通用的數(shù)學(xué)和工程計算軟件之一,在數(shù)學(xué)和科學(xué)領(lǐng)域享有盛譽,有“數(shù)

14、學(xué)家的軟件”之稱.它可以解決許多數(shù)學(xué)問題而不用像C語言那樣編寫大量的程序,操作簡單、易學(xué)易用.它以友善的使用環(huán)境、強大的符號處理、精確的數(shù)值計算、靈活的圖形顯示、高效的編程功能為越來越多的教師、學(xué)生和科研人員所喜愛,并成為他們進行數(shù)學(xué)處理的首選工具.MAPLE的主要功能有:計算(包括符號計算、數(shù)值處理、二維與三維作圖)和編輯.另外,MAPLE軟件具有廣泛的數(shù)學(xué)功能:具有4000多個數(shù)學(xué)函數(shù),提供數(shù)值和符號的解決方案；覆蓋了幾乎所有的數(shù)學(xué)領(lǐng)域,包括微積分、線性代數(shù)、統(tǒng)計、圖論、物理、概論等；具有高效的數(shù)值求解器,支持無限精度的計算；擁有較強的符號算法可用于方程推導(dǎo)、簡化、提取、分析等任務(wù).所以,

15、運用MAPLE軟件可輕松的解決眾多數(shù)學(xué)分支中的常見的計算問題4.2.2 MATHEMATICAMATHEMATICA是世界上通用計算系統(tǒng)中最強大的系統(tǒng).它是1988年美國Wolfram Research公司開發(fā)的一個著名的專用于數(shù)學(xué)分析型的軟件,以符號計算為特長,也具有高精度的數(shù)值計算功能和強大的圖形功能.最初MATHEMATICA軟件只對于物理學(xué)和數(shù)學(xué)領(lǐng)域具有顯見影響.但是,隨著科技的進步, MATHEMATICA在生物學(xué)、社會學(xué)、工程學(xué)、化學(xué)、航空航天等許多其他的重要領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用.MATHEMATICA的基本系統(tǒng)主要是用C語言開發(fā)的,其符號功能是最強的,運行構(gòu)架是最優(yōu)的,符號運算效

16、力與解析能力是最好的,它是專門為中學(xué)生和大學(xué)生的學(xué)習(xí)而研發(fā)的5.2.3 MATHCADMATHCAD是美國Mathsoft公司推出的一個著名的交互式應(yīng)用數(shù)學(xué)軟件,它集數(shù)理計算、圖形和文字處理等功能于一體. MATHCAD也是一種工程計算軟件,允許工程師利用詳盡的應(yīng)用數(shù)學(xué)函數(shù)及動態(tài)、可感知的單位計算來同時設(shè)計和記錄工程計算的過程.MATHCAD的用途:計算表達式、代數(shù)運算、符號計算、函數(shù)的計算、公式推導(dǎo)、函數(shù)作圖(2D和3D圖表)、動畫演示、常用積分變換、解方程和方程組、數(shù)理統(tǒng)計與數(shù)據(jù)處理、MATHCAD編程等.MATHCAD的特征:(1)輕松的解決各種數(shù)學(xué)計算；(2)操作簡單,易學(xué)好用；(3)

17、具備一流的公式編輯器；(4)豐富的內(nèi)部函數(shù)；(5)強大的圖形輸出功能；(6)交互式動態(tài)工作頁面；(7)軟件兼容性強.2.4 MATLAB MATLAB是矩陣實驗室(Matrix Laboratory)之意,主要用于方便矩陣的存取,其基本元素是無需定義維數(shù)的矩陣,是數(shù)值計算型的數(shù)學(xué)類科技應(yīng)用軟件,被譽為第四代計算機語言.MATLAB可用于解決實際的工程和數(shù)學(xué)問題,其典型應(yīng)用包括數(shù)值計算、算法設(shè)計、各種學(xué)科(如自動控制、數(shù)字信號處理、統(tǒng)計信號處理等領(lǐng)域)的專門問題求解.MATLAB的語言特點:(1)易擴展性.MATLAB允許用戶自己構(gòu)造適合自己領(lǐng)域的專用函數(shù),從而使MATLAB語言可應(yīng)用于各個領(lǐng)域

18、,擴大了MATLAB的應(yīng)用范圍.(2)易學(xué)易用.MATLAB不需要用戶有很高的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和編程功底,也不需要了解算法的有關(guān)知識及其編程高深技巧.首先, MATLAB的運算符豐富,語言簡潔緊湊,庫函數(shù)及其豐富；其次,比起C語言等其他語言,MATLAB語言的規(guī)則限制不嚴(yán)格,程序設(shè)計自由度大,如變量、數(shù)組、矩陣等無需定義,而且具有強大的圖形功能,適合大多數(shù)人使用.(3)具有豐富的數(shù)學(xué)功能.包括矩陣的各種運算,如:正交變換、三角分解、特征值、常見的特殊矩陣等；各種特殊的函數(shù),貝塔函數(shù)、橢圓函數(shù)等；各種數(shù)學(xué)運算,如求極值、方程求根等. (4)由于MATLAB軟件是由C語言編寫的,所以MATLAB語言與C語

19、言有相似之處,但比C語言更簡單易懂610.除此之外,MATLAB軟件的矩陣運算功能也十分強大:MATLAB軟件提供了矩陣的各種運算和操作,如簡單的加法、減法、乘法、乘方、除法、轉(zhuǎn)置、求矩陣的逆,還有比較特殊的翻轉(zhuǎn)運算、點運算以及單個矩陣的元素賦值與運算.另外,MATLAB軟件還提供了有關(guān)矩陣的專項技術(shù),如隨機元素矩陣、伴隨矩陣、對角矩陣、單位矩陣、零矩陣等有關(guān)求逆、行列式、跡、秩、范數(shù)、特征值和特征向量的運算.對于過于繁瑣的矩陣問題可通過MATLAB軟件的一個或多個函數(shù)得以解決.MATLAB在解決線性代數(shù)問題上的基本原理即是通過編寫程序,運用MATLAB語言中特有的函數(shù)來解決.對這四種數(shù)學(xué)軟件

20、進行比較:MATHCAD在高等數(shù)學(xué)方面所具有很高的能力, 如果僅僅是要求滿足一般的計算或者是普通用戶的日常使用，應(yīng)該首選MATHCAD，它能夠滿足一般客戶的要求,并且輸入界面也非常友好.MATHEMATICA是在物理學(xué)科研方面應(yīng)該為最好的工具,也是最好的符號分析方面的數(shù)學(xué)軟件.如果要求精度計算、符號計算或者編程的話,最好同時使用MAPLE和 MATHEMATICA這兩款軟件,因為它們在符號處理方面表現(xiàn)出色.MATLAB是最好的數(shù)值求解的工具,也是最好最全的數(shù)值類的數(shù)學(xué)軟件,在進行矩陣方面或圖形方面的處理等方面,MATLAB的表現(xiàn)也是令人滿意的,因為矩陣計算和圖形處理也是它的強項11.下面著重以

21、MATLAB為例介紹線性代數(shù)中有關(guān)矩陣的計算機應(yīng)用.3. 數(shù)學(xué)軟件在線性代數(shù)中的應(yīng)用3.1 計算機求解矩陣方程運用MATLAB求解線性的矩陣方程(即線性方程組)有三種方法1216:(1)運用函數(shù)；(2)當(dāng)為方陣,且,即可逆,則可運用函數(shù)；(3)運用MATLAB中的除法運算:.例1對線性方程組 求解.解： , , 矩陣方程為下面分別用以上三種方法解方程:(1)輸入: B=1 2 3 -2 6;2 -1 -2 -3 8;3 2 -1 2 4;2 -3 2 1 -8; rref(B) /注意:這里的是增廣矩陣,即輸出如圖1：圖1 方法(1)輸出結(jié)果函數(shù)將增廣矩陣化簡為簡單的階梯型矩陣,所以可得方程的

22、解為(2)因為為方陣,且,所以可逆輸入: A=1 2 3 -2 ;2 -1 -2 -3 ;3 2 -1 2 ;2 -3 2 1; b=6;8;4;-8; x=inv(A)*b結(jié)果:x = 1.0000 2.0000 -1.0000 -2.0000 (3)輸入: A=1 2 3 -2 ;2 -1 -2 -3 ;3 2 -1 2 ;2 -3 2 1; b=6;8;4;-8; x=Ab結(jié)果為:x = 1.0000 2.0000 -1.0000 -2.0000運用MATLAB求解線性方程組的解非常簡單,如果用手計算則非常復(fù)雜,如例1中的線性方程組如果用手計算,則可運用克拉默法則.先求出系數(shù)行列式的值，

23、然后將系數(shù)行列式中第列換成,求出其行列式的值，然后驗證是否為線性方程組的解,如果是線性方程組的解,則線性方程組的解可表示為.另外,也可運用消元法解線性方程組.運用初等變換將系數(shù)矩陣變成階梯型矩陣,便可知道該線性方程組是否有解,并求出解.3.2 矩陣的基本分析矩陣的基本運算有:矩陣的逆、矩陣的轉(zhuǎn)置、矩陣的冪、矩陣的正交矩陣、矩陣的行列式的值、矩陣的特征值和特征向量、矩陣的最小多項式、矩陣的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形、矩陣的伴隨矩陣等2,14,15.下面分別介紹MATLAB語言中相關(guān)函數(shù).1.矩陣的逆在MATLAB中求逆用函數(shù)來計算,格式為.當(dāng)為非滿秩矩陣(或奇異矩陣)時,系統(tǒng)會產(chǎn)生警告信息. (Warning

24、: Matrix is singular to working precision.) 2.矩陣行列式的值在MATLAB中,求矩陣的行列式的值,用函數(shù),格式為,運用此函數(shù)是矩陣必須為方陣. 若不為方陣也會出現(xiàn)錯誤信息.即:? Error using = detMatrix must be square.3.矩陣的特征值和特征向量特征值和特征向量是線性代數(shù)里矩陣問題的重點也是難點,在用筆計算時需要引入“”,求的值即特征值,然后根據(jù),找出特征值對應(yīng)的特征向量.當(dāng)矩陣為高階方陣時,計算就顯得很困難了.而在MATLAB中求矩陣的特征值和特征向量可運用函數(shù)便可求出矩陣的特征值和特征向量.格式為: /為矩

25、陣的特征值 /為矩陣的特征向量,為矩陣的特征值向量,即有4.矩陣的正交矩陣只需用函數(shù)就可一步求得.若用手算,需要先求出矩陣的特征值與特征向量,然后將（由特征向量組成的矩陣）運用施密特正交化將其正交化,單位化,計算過程非常復(fù)雜.5.矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型的相關(guān)計算在線性代數(shù)中應(yīng)用非常廣泛,但計算矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型的過程非常復(fù)雜.首先,需要求出矩陣的特征值、初等因子,再根據(jù)初等因子的冪寫出Jordan標(biāo)準(zhǔn)型,或者判斷矩陣的代數(shù)重數(shù)與幾何重數(shù)是否相等,來決定矩陣Jordan標(biāo)準(zhǔn)型的結(jié)構(gòu).而在MATLAB中,求解矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型只需運用函數(shù)就可得出矩陣的Jord

26、an標(biāo)準(zhǔn)型.格式為: /返回Jordan矩陣?yán)?已知矩陣,求的逆,轉(zhuǎn)置,行列式,特征值和特征向量, Jordan標(biāo)準(zhǔn)型及的5次方.編寫過程及結(jié)果: A=0 0 1 -1;0 3 1 4;2 7 6 -1;1 2 2 -1; Y=inv(A)Y = -0.1667 0.5000 -1.1667 3.3333 -1.1667 -0.5000 0.8333 -1.6667 1.5000 0.5000 -0.5000 1.0000 0.5000 0.5000 -0.5000 1.0000 Aans = 0 0 2 1 0 3 7 2 1 1 6 2 -1 4 -1 -1 det(A)ans = -6

27、V,D=eig(A)圖2 特征值與特征向量輸出結(jié)果 jordan(A)ans = 8.6040 0 0 0 0 -1.0494 0 0 0 0 0.2227 + 0.7842i 0 0 0 0 0.2227 - 0.7842i A5ans = 641 3172 2248 1021 3075 15219 10785 4897 7862 38893 27563 12508 2345 11599 8220 37306.矩陣的伴隨矩陣設(shè)是矩陣中元素的代數(shù)余子式,則矩陣稱為的伴隨矩陣.例3求矩陣的伴隨矩陣.編寫程序及運行結(jié)果: A=1 1 -1;0 2 2;1 -1 0A = 1 1 -1 0 2 2

28、1 -1 0 y=poly(eig(A)y = 1.0000 -3.0000 5.0000 -6.0000 m=max(size(y)m = 4 p=0 y(1:(m-1)p = 0 1.0000 -3.0000 5.0000 B=polyvalm(p,A)圖3 伴隨矩陣的輸出結(jié)果最終的伴隨矩陣為,如圖3.說明:(1)函數(shù)可產(chǎn)生指定根的多項式中,為矩陣的特征多項式的系數(shù),并按降序的順序排列.(2)函數(shù)可顯示當(dāng)前矩陣的行列數(shù),輸出結(jié)果為的行數(shù),的列數(shù)兩項.(3)函數(shù)為計算多項式的值,即將矩陣帶入多項式中表示將矩陣帶入多項式中,其中完成的是矩陣與矩陣的乘積17.3.3 矩陣的基本變換矩陣初等變換的

29、定義:下面三種變換稱為矩陣的初等行變換:(1)交換兩行(記為)；(2)以數(shù)乘某一行所有元素（記作）；(3)把某一行所有元素的倍加到另一行的對應(yīng)元素上去(記作).把定義中的“行”換成“列”,即得矩陣的初等列變換的定義(所用記號是把“ ”換成“”) 1.矩陣的初等行變換與初等列變換,統(tǒng)稱為矩陣的初等變換.例4將矩陣化為上三角陣16.輸入: A=2 3 1 -3 -7;1 2 0 -2 -4;3 -2 8 3 0;2 -3 7 2 3;1 2 3 3 5; i=2; while i for i=3:5A(i,:)=A(i,:)-A(i,2)/A(2,2)*A(2,:);end f=find(A(3:

30、5,3); s=size(f); if(s(1)=0)f=f(1)+2;a=A(3,:);A(3,:)=A(f,:);A(f,:)=a;A(4,:)=A(4,:)-A(4,3)/A(3,3)*A(3,:);elseA(4,:)=A(4,:)-A(4,4)/A(3,4)*A(3,:);end A(5,:)=A(5,:)-A(5,4)/A(4,4)*A(4,:); A輸出結(jié)果如圖4:圖4 將矩陣化為上三角的輸出結(jié)果3.4 矩陣分解 分解函數(shù)可將任意的方陣表示成兩個三角陣之積,其中一個為行置換下三角陣(即陣經(jīng)過行置換后可得到的下三角陣),另一個為上三角陣.例5將矩陣分解成一個上三角陣和一個普通矩陣的

31、乘積.輸入: A=9 8 7;6 5 4;3 2 1; L,U=lu(A)輸出結(jié)果如圖5:圖5 進行分解后的結(jié)果函數(shù)可將任意的方陣表示成一個上三角陣和另一個矩陣的乘積,其中為一個行置換下三角陣(即矩陣經(jīng)過行置換后可得到的一個下三角陣).對非空的稀疏矩陣,可以得到單位下三角陣,上三角陣,行置換矩陣和列重排矩陣,使得.如果為空矩陣,則命令會給出出錯信息7,8,10. 分解例6將矩陣分解為一個正交矩陣和一個上三角形矩陣的乘積.輸入: A=9 8 7;6 5 4;3 2 1; Q,R=qr(A)輸出結(jié)果如圖6：圖6 矩陣進行分解后的結(jié)果函數(shù)完成矩陣的正交三角分解,這種分解可適用于方陣和矩形矩陣,它可將

32、實矩陣表示成一個實的正交矩陣與一個上三角陣之積.可得到交換矩陣,上三角陣和單位矩陣,并且有7,8,10. 三角-三角分解例7 ,求上三角陣,使得.輸入如圖7:圖7 矩陣進行三角三角分解過程輸出結(jié)果如圖8:圖8 矩陣進行三角三角分解后結(jié)果當(dāng)為正定矩陣時,可產(chǎn)生一個上三角陣,使得；當(dāng)不為正定矩陣時,會給出出錯信息.在命令中,當(dāng)為正定矩陣時,等同于,為上三角矩陣；當(dāng)不為正定矩陣時,為一正整數(shù),是一個階的上三角矩陣,且有7,8,10.4. 實際生活中的線性代數(shù)4.1線性代數(shù)在經(jīng)濟學(xué)中的應(yīng)用下面以經(jīng)濟學(xué)中價值型投入產(chǎn)出模型為例,闡述MATLAB在實際生活中的應(yīng)用.例1將國民經(jīng)濟簡化為僅由農(nóng)業(yè)、制造業(yè)和服

33、務(wù)業(yè).每一個產(chǎn)業(yè)只生產(chǎn)一種產(chǎn)品,分別是農(nóng)業(yè)產(chǎn)品、制造業(yè)產(chǎn)品和服務(wù).這三個產(chǎn)業(yè)彼此購買對方的產(chǎn)品作為自己的投入,假設(shè)沒有進口,也不考慮其他因素,只對最終產(chǎn)品提供給用戶使用.其對應(yīng)的投入產(chǎn)出表1如下:(單位:億元) 表1 某單位投入產(chǎn)出表 消耗部門生產(chǎn)部門 農(nóng)業(yè)制造業(yè) 服務(wù)業(yè)外部需求總產(chǎn)出農(nóng)造業(yè)301045115200服務(wù)業(yè)2060-70150注:表中每一行表示一個部門的總產(chǎn)出以及用做各部門的投入和提供給外部用戶的分配,而每一列表示一個部門生產(chǎn)需要投入的資源.例如,第一行表示農(nóng)業(yè)的總產(chǎn)值為100億元,其中15億元農(nóng)產(chǎn)品用于農(nóng)產(chǎn)品本身,20億元提供給制造業(yè),30億元提供給服

34、務(wù)業(yè),最終有35億元農(nóng)產(chǎn)品提供給用戶；而第一列表示為了生產(chǎn)100億元農(nóng)產(chǎn)品,需要投入15億元農(nóng)產(chǎn)品,30億元制造業(yè)產(chǎn)品和20億元服務(wù)業(yè)產(chǎn)品.問題:若外部需求發(fā)生變化,改為農(nóng)業(yè)100億元,制造業(yè)200億元,服務(wù)業(yè)300億元,試求各部門應(yīng)生產(chǎn)的總產(chǎn)出18,19.分析:令為生產(chǎn)一個單位的第種產(chǎn)品需要消耗的第種產(chǎn)品的單位數(shù),那么因為對每一個部門來說,投入產(chǎn)出的變換關(guān)系是不變的,所以是一個常數(shù),稱為投入系數(shù).令為一定時間內(nèi)第種產(chǎn)品的產(chǎn)出,此總產(chǎn)出的一部分用做各部門生產(chǎn)活動的投入,所以用作個生產(chǎn)部門投入的第種產(chǎn)品總量為.剩余的第種產(chǎn)品為,稱為第種產(chǎn)品的最終需求,即外部需求.設(shè),有,其中為單位矩陣,系數(shù)矩陣

35、為,稱為直接消耗系數(shù)矩陣.解:由分析得,題目中由投入產(chǎn)出表易求得直接消耗系數(shù)矩陣可由方程 得運用MATLAB編寫如下: I=eye(3); d=100;200;300; T=0.15 0.1 0.2;0.3 0.05 0.3;0.2 0.3 0; x=inv(I-T)*d結(jié)果為:x = 287.9499 457.7465 494.9139所以為滿足需要,農(nóng)業(yè)的總產(chǎn)出為287.95億元,制造業(yè)的總產(chǎn)出為457.75億元,服務(wù)業(yè)的總產(chǎn)出為494.91億元.當(dāng)最終需求發(fā)生改變時,將MATLAB中的做改動即可,無需重新動手計算.如果采用手算這樣的問題,由上面可知,在計算時,需要把行列式做初等行變換,將

36、其化為,則,然后求才可得解；而用MATLAB計算則只需幾秒鐘就可以求出方程的解,所以MATLAB大大節(jié)約了計算時間,提高了解題效率,廣泛應(yīng)用于經(jīng)濟學(xué)課程.4.2小結(jié)4.1中的例子只是根據(jù)經(jīng)濟學(xué)中投入產(chǎn)出模型簡化了實際應(yīng)用中的大量數(shù)據(jù),意在說明運用計算機可以解決現(xiàn)實生活中普遍的問題.計算機不僅可以把復(fù)雜的運算過程變成簡單的函數(shù)(如求矩陣的逆),既節(jié)省了大量的演算時間,又體會到了開動腦筋,運用自己的方法編寫程序而得來的對數(shù)學(xué)的興趣,還可以解決現(xiàn)實生活中比如經(jīng)濟、金融等方面的問題.計算機已經(jīng)成為我們生活中不可缺少的一部分,我們可以充分利用計算機為我們的學(xué)習(xí)、生活提供幫助.當(dāng)然,前提是我們必須動腦,動

37、手,勤于思考才行.結(jié) 束 語本文主要以MATLAB為例介紹了計算機在線性代數(shù)中關(guān)于矩陣的應(yīng)用,通過本文的講述,可以了解到計算機為線性代數(shù)省去了大量繁瑣的計算過程,為學(xué)生更好的學(xué)習(xí)提供了良好的環(huán)境.本文通過對矩陣各個特性的介紹,總結(jié)了運用計算機解決矩陣特征中的各個方法,然后由一個實際例子,證明了計算機可以廣泛應(yīng)用于實際生產(chǎn)生活中.由此可得出,計算機可以成為我們學(xué)習(xí)生活的有利工具,可以用簡單的函數(shù)代替我們復(fù)雜的計算過程,不但為我們解題節(jié)省了大量的時間,而且可以激勵我們開動腦筋,激發(fā)我們的學(xué)習(xí)熱情及對數(shù)學(xué)和計算機學(xué)習(xí)的興趣.但是本文只是簡單的介紹了MATLAB中有關(guān)矩陣的一般函數(shù),還有更多的計算過程

38、是需要我們自己去研究編寫,所以在以后的學(xué)習(xí)中,我們應(yīng)該積極開動腦筋,更好的運用計算機解決數(shù)學(xué)中的問題,增強自己的動手能力和學(xué)習(xí)興趣,做到學(xué)以致用,學(xué)而能用.參 考 文 獻1 邱森. 線性代數(shù)M.武昌:武漢大學(xué)出版社.2007, 25-108.2 王萼芳,石生明. 高等代數(shù)M.北京:高等教育出版社.2004, 162355.3 Francisco Cano,A.B.G.Berben. University studentsachievement goals and approaches to learning in mathematicsJ. British Journal of Educational Psychology 2009, 79: 131153.4 曹瑋. Maple數(shù)學(xué)軟件包中的積分問題J.數(shù)學(xué)的實踐與認(rèn)識. 2000, 30(3):287-290.5 孫曉玲,王寧. 利用Mathematica實驗教學(xué)融入數(shù)