第五章定積分及其應(yīng)用(424)

1、第五章 定積分及其應(yīng)用習(xí)題 A一、選擇題1、，則下列不等式成立的是（ ）；（A） （B） （C） （D）2、定積分 =（ ）；（A）0 （B） （C） （D）3、設(shè)，則（）；（A） （B） （C） （D）4、下列各式中正確的是（）；（A） （B）（C） D.5、定積分，作適當(dāng)變換后應(yīng)等于（）；（A） （B） （C） （D）6、如，則（）（A） （B） （C） （D）7、曲線圍成圖形面積為（）；（A）；（B）；（C）；（D）8、橢圓的面積為（）；（A）；（B）；（C）；（D）9、曲線（）與x軸圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體體積等于（ ）；（A） （B） （C） （D）10、由曲線與x軸

2、圍成的平面圖形的面積=（ ）。（A）（B）（C）（D）二、定積分的計(jì)算1、 利用定積分的定義計(jì)算：。2、 。3、。 4、。 5、 。6、 。 7、。8、。 9、。10、。 11、。12、。13、。14、。 15、。16、。 17、。18、。 19、。20、。 21、。22、。 23、，求。24、已知，求值，使。25、 。 26、 。27、。28、求由確定的隱函數(shù)對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)。29、設(shè)求的值。30、已知是連續(xù)函數(shù)，求。三、解答題1、求常數(shù)和，使得。2、（1）設(shè)，求；（2）求。3、（1）求的單調(diào)區(qū)間； （2）設(shè)，求。4、（1）設(shè)在上連續(xù)，證明； （2）設(shè)，求； （3）設(shè)連續(xù)，且，證明在上有且僅有

3、一根。5、（1）設(shè)為的一個(gè)原函數(shù)，求； （2），連續(xù)，求。6、設(shè)，求。7、設(shè)函數(shù)，其中連續(xù)，存在且；（1）求的值，使得在處連續(xù)；（2）再研究在處的連續(xù)性。8、設(shè)連續(xù)，且滿足，求。9、求函數(shù)在區(qū)間上的最大值。10、求，其中連續(xù)，且已知。四、證明題1、設(shè)在上連續(xù)，證明。2、設(shè)連續(xù)，且，證明在上有且僅有一根。3、求證：。4、設(shè)連續(xù)，證明。5、設(shè)是以為周期的函數(shù)，證明。6、證明。五、求面積體積1、求由曲線與直線所圍平面圖形的面積。2、求由曲線與直線所圍平面圖形的面積。3、求由曲線與直線所圍平面圖形的面積及該圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周的體積。4、求曲線及直線所圍平面圖形的面積。5、直線平分由曲線與直線及所圍平面圖

4、形的面積，求。6、求曲線及所圍平面圖形繞軸，繞軸旋轉(zhuǎn)一周生成的立體體積。7、求拋物線及在點(diǎn)處切線、軸所圍平面圖形的面積。8、求由曲線直線及所圍平面圖形的面積及繞軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的立體體積。9、（1）求由曲線及直線軸圍成圖形的面積（）； （2）當(dāng)為何值時(shí)，面積最大。習(xí)題B一、選擇題1、把時(shí)的無(wú)窮小排列起來(lái)，使得排列在后面的是前一個(gè)的高階無(wú)窮小，則排列次序是（ ）；（A） （B）, （C） （D）2、設(shè)連續(xù)，則=（ ）；（A） （B） （C）2 （D）-23、設(shè)連續(xù)，則=（ ）；（A） （B）（C） （D）4、當(dāng)時(shí)，與比較是（ ）；（A）高階無(wú)窮小 （B）低階無(wú)窮小C.同階但非等價(jià)無(wú)窮小D.等價(jià)無(wú)

5、窮小5、設(shè)則下列結(jié)論中正確的是（）；（A）是極大值，是極小值（B）是極小值，是極大值（C）和是極小值，是極大值（D）和是極大值，是極小值6、設(shè)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)且，令當(dāng)時(shí)，與相比是同階無(wú)窮小，則（）；（A）1 （B） 2 （C） 3 （D） 47、設(shè)在的某鄰域內(nèi)連續(xù)，當(dāng)時(shí)，是的高階無(wú)窮小，則當(dāng)時(shí)，是的（）；（A）等價(jià)無(wú)窮?。˙）同階但非等價(jià)無(wú)窮小 （C）高階無(wú)窮小 （D）低階無(wú)窮小8、設(shè)在，連續(xù)且，記，則下列不等式成立的是（）；（A） （B） （C） （D）9、曲線與其過(guò)原點(diǎn)的切線及軸所圍成的圖形面積為（）；（A）B.（C） （D）10、設(shè)在連續(xù)，令，則（ ）；（A） （B） （C） （D）11、設(shè)，

6、則=（ ）；（A）（B）（C） （D）012、設(shè)廣義積分收斂，則的取值范圍是（ ）；A. （B） （C） （D）13、已知?jiǎng)t（ ）；（A） （B） （C） （D）14、曲線（）與x軸圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體體積等于（ ）；A. （B） （C） （D）15、由曲線與x軸圍成的平面圖形的面積=（ ）；（A）（B）（C）（D）16、雙紐線圍成的平面圖形的面積為（ ）；（A） （B）（C） （D）17、設(shè)其中則下列結(jié)論正確的是（ ）；（A）只依賴 （B）只依賴 （C）只依賴 （D）只依賴18、設(shè)連續(xù)，則下列函數(shù)中必為偶函數(shù)的是（ ）。（A） （B） （C） （D）二、定積分的計(jì)算1、

7、設(shè) 求 。2、 。 3、。4、。 5、 。6、 7、 。8、。 9、。10、 。 11、。12、。 13、 。 14、。15、已知曲線與在（0，0）處切線相同，寫出此切線方程，并求極限。16、設(shè)為連續(xù)函數(shù)，求。三、解答題1、設(shè)函數(shù)連續(xù)，且，已知，求。2、設(shè)函數(shù)在內(nèi)滿足，且，計(jì)算。3、設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，（1）證明：；（2）當(dāng)，利用（1）的結(jié)論求。4、已知求在0，1上的表達(dá)式；5、設(shè)求。四、證明題1、設(shè)連續(xù)，證明：。2、設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)且，證明在內(nèi)有。3、設(shè)在上連續(xù)且，證明（1）；（2）方程在內(nèi)有且僅有一個(gè)根。4、證明（1）5、設(shè)是0，1上單調(diào)減少的正值連續(xù)函數(shù)，則。6、證明等式，其中連續(xù)，。并

8、計(jì)算7、設(shè)為連續(xù)函數(shù)，證明。8、設(shè)在0，1上連續(xù)，在（0，1）內(nèi)可導(dǎo)，且滿足證明至少存在一點(diǎn)，使得。五、求面積體積1、求心臟線與圖所圍各部分的面積。2、求由曲線和該曲線的經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的切線以及軸所圍圖形的面積。3、求由，所圍成的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)而得旋轉(zhuǎn)體體積。4、求由曲線所圍成的平面圖形的面積。5、已知曲線與曲線在點(diǎn)處有公共切線，求：求：（1）常數(shù)及切點(diǎn)； （2）兩曲線與軸圍成的平面圖形的面積； （3）兩曲線與軸圍成的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)而得旋轉(zhuǎn)體體積。6、設(shè)曲線軸和軸所圍區(qū)域被曲線分為面積相等的兩部分，試確定的值。7、由拋物線繞軸旋轉(zhuǎn)一周構(gòu)成的容器，現(xiàn)于其中盛水，水高，問(wèn)要將水全部抽出，外力需要作多

9、少功？（水的比重為）8、求曲線在（2，6）內(nèi)的一條切線，使得該切線與和曲線所圍成的圖形面積最小。9、設(shè)直線與拋物線所圍成的圖形面積為，它們與直線所圍成的圖形面積為，并且，（1）確定的值，使達(dá)到最小，并求出最小值；（2）求該最小值所對(duì)應(yīng)的平面繞軸旋轉(zhuǎn)一周而得旋轉(zhuǎn)體體積。10、設(shè)有邊長(zhǎng)為，的矩形板及密度為的液體，將矩形板與液面成角斜沉于液體中，且矩形的長(zhǎng)度為的一組平行邊平行于液面，上部一邊在液面下處，求它每面所承受的壓力。習(xí)題 A答案一、選擇題（1）D （2）C（3）C （4）C （5）B （6）A （7）C （8）A （9）C （10）C 二、計(jì)算題1、 提示：化極限的形式，此極限是定積分的值2

10、、 3、4、（周期為的函數(shù)在上的積分與上的積分相等）5、 6、 7、 8、2 9、10、11、12、13、14、本題另一解法：先作變量代換再用奇偶性來(lái)解15、16、17、18、19、20、21、22、，23、24、。25、 26、 27、2 28、29、由題設(shè)即所以。30、解法1：注意到=0，使用羅比達(dá)法則，有= = =解法2；利用積分中值定理，有=在與之間） =解法3：利用微分中值定理，令，則，于是=（在與之間） =。三、解答題1、2、（1）（2）3、（1）。 （2）兩邊對(duì)求導(dǎo)：4、（1）（2）（3）；（存在性） 又因?yàn)椋海宰疃嘤?個(gè)實(shí)根；（唯一行）在上有且僅有一根。5、（1）（2）注：

11、本題也可以用積分中值定理來(lái)解。7、解：由于，可知當(dāng)時(shí)，在處連續(xù)。8、等式兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo)：故所以9、可證在上單調(diào)增加，故在取得最大值，可算得四、證明題1、2、；（存在性） 又因?yàn)椋海?所以最多有1個(gè)實(shí)根；（唯一行）在上有且僅有一根。3、4、左邊令有：5、如果：如果： 所以：。6、左邊令，五、求面積體積1、求由曲線與直線所圍平面圖形的面積。解： 如圖2、求由曲線與直線所圍平面圖形的面積。解： 如圖3、求由曲線與直線所圍平面圖形的面積及該圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周的體積。解： 如圖4、求曲線及直線所圍平面圖形的面積。解： 如圖5、直線平分由曲線與直線及所圍平面圖形的面積，求。解： 如圖6、求曲線及所圍平面圖形

12、繞軸，繞軸旋轉(zhuǎn)一周生成的立體體積。解： 7、求拋物線及在點(diǎn)處切線、軸所圍平面圖形的面積。解： 如圖 切線：8、求由曲線直線及所圍平面圖形的面積及繞軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的立體體積。解： 如圖9、（1）求由曲線及直線軸圍成圖形的面積。（） （2）當(dāng)為何值時(shí)，面積最大。解：（1）如圖， （2） 習(xí)題B答案一、選擇題（1）B （2）A （3）A （4）C （5）C （6）D （7）C （8）B （9）A （10）B (11）C(12）B（13）A (14）C (15）C (16）A (17）C (18）.D二、計(jì)算題1、2、 3、 4、令，5、分部積分得： 6、設(shè)，=故7、8令故9、 10、令，注意到被積

13、函數(shù)的奇偶性定積分的幾何意義，易得原式=11、 12、 13、發(fā)散 14、15、由題目條件得所以切線方程為=2三、解答題1、令得兩邊對(duì)求導(dǎo)：2令即得2、= 令=再 得原式=3、證明（1）：分析：比較等式兩邊的積分限，可獲啟發(fā)，知應(yīng)如何變形；進(jìn)一步比較，知應(yīng)作何變換。設(shè)：即解（2）：在兩邊同乘以并從積分得：=+注：觀察左邊兩個(gè)積分，第一個(gè)積分的被積函數(shù)是偶函數(shù)；=2（利用（1）的結(jié)論）=第二個(gè)積分：由于是一個(gè)常數(shù)所以=。4、令，再兩邊對(duì)求導(dǎo)5、解得：所以四、證明題1、對(duì)左邊令，第一式分部積分即等于右式2、利用積分中值定理和拉格朗日中值定理立得3、由介值定理可知：在內(nèi)至少有一個(gè)根，由單調(diào)遞增方程在內(nèi)有且僅有一個(gè)根。4、（1）利用定積分的估值性：在上最大、小值為1，所