空間向量的數(shù)量積及坐標(biāo)運算

1、空間向量的數(shù)量積、直角坐標(biāo)及其運算一、要點精講1、空間兩個向量夾角的定義已知兩非零向量，在空間任取一點，作，則叫做向量與的夾角，記作；規(guī)定：，顯然有；若，則稱與互相垂直，記作：.2、兩個向量的數(shù)量積設(shè)，則有向線段的長度叫做向量的長度或模，記作：.已知向量，則叫做的數(shù)量積，記作，即3、射影的定義已知向量和軸，是上與同方向的單位向量，作點在上的射影，作點在上的射影，則叫做向量在軸上或在上的正射影. 可以證明的長度4、空間向量的數(shù)量積的性質(zhì)和運算律空間向量的數(shù)量積的性質(zhì) 空間向量的數(shù)量積的運算律 （交換律） （分配律）5、空間直角坐標(biāo)系單位正交基底若空間的一個基底的三個基向量互相垂直，且長為，這個基

2、底叫單位正交基底，用表示.空間直角坐標(biāo)系及其畫法在空間選定一點和一個單位正交基底，以點為原點，分別以的方向為正方向建立三條數(shù)軸：軸、軸、軸，它們都叫坐標(biāo)軸我們稱建立了一個空間直角坐標(biāo)系，點叫原點，向量都叫坐標(biāo)向量通過每兩個坐標(biāo)軸的平面叫坐標(biāo)平面，分別稱為平面，平面，平面.作空間直角坐標(biāo)系時，一般使（或），.在空間直角坐標(biāo)系中，讓右手拇指指向軸的正方向，食指指向軸的正方向，如果中指指向軸的正方向，稱這個坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系一般情況下使用的坐標(biāo)系都是右手直角坐標(biāo)系.空間向量的坐標(biāo)表示如圖給定空間直角坐標(biāo)系和向量，設(shè)為坐標(biāo)向量，則存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使，有序?qū)崝?shù)組叫作向量在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)

3、，記作在空間直角坐標(biāo)系中，對空間任一點，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使，有序?qū)崝?shù)組叫作向量在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作，叫橫坐標(biāo)，叫縱坐標(biāo)，叫豎坐標(biāo)6向量的直角坐標(biāo)運算設(shè)，則， ，若，則一個向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個向量的有向線段的終點的坐標(biāo)減去起點的坐標(biāo)7、夾角和距離公式空間兩直線的夾角公式設(shè)，則，空間兩點間距離公式若，則，或二、典例精析題型一：兩個向量的數(shù)量積1、若，且，則與的夾角為( )A30°B60°C120°D150°2、已知空間四邊形的每條邊和對角線都等于a，點E、F、G分別是AB、AD、DC的中點。求下列向量的數(shù)量積；3、已知：在空間

4、四邊形OABC中，OABC，OBAC。求證：OCAB.4、設(shè)三個非零向量長度相等且兩兩互相垂直，求證：與所夾的角相等。題型二：向量的直角坐標(biāo)運算5已知，則( )A22B48CD326、已知，求，解：，7、已知，求下列各式的值。; ；8、已知A,B,C三點坐標(biāo)分別為，求滿足下列條件的P點坐標(biāo)。; 題型三：向量的平行與垂直9、已知空間三點，設(shè); ，求；若與互相垂直，求。10、在正方體中，分別是的中點，求證平面證明：不妨設(shè)已知正方體的棱長為個單位長度，設(shè)，分別以為坐標(biāo)向量建立空間直角坐標(biāo)系，則，又，所以，平面11、如圖，在棱長為1的正方體中，E、F分別為AB棱BC和的中點，試在棱上找一點M，使得平面

5、平面題型四：求夾角12、已知是邊長為的正三角形所在平面外一點，且，分別是，的中點，求異面直線與所成角的余弦值解：設(shè)，所以，異面直線與所成角的余弦值為點評：設(shè)出空間的一個基底后，求數(shù)量積的時候目標(biāo)就更加明確了，只要將與都化為用基向量表示就可以了本題中與的夾角是異面直線與所成角的補角13.（06上海春）在長方體中，已知，求異面直線與所成角的余弦的大小.解法一：連接，為異面直線與所成的角.連接，在中，則. 解法二：以為坐標(biāo)原點，分別以、所在直線為軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系. 則，得. 設(shè)與的夾角為，則14、在棱長為1的正方體中，分別是中點，在棱上，為的中點， 求證：； 求所成角的余弦； 求的長解

6、：設(shè)，則， （2），,（3）的長為解法二：如圖以為原點建立直角坐標(biāo)系，則，（1），（2），與所成的角的余弦（3），15、中，AC=BC=1，現(xiàn)將沿著平面ABC的法向量平移到的位置。已知，分別取、的中點P、Q.求的長；求，并且比較與的大??；求證：題型三：綜合創(chuàng)新16、在長方體中，E為BC中點。用向量方法求異面直線和所成角的大??；作，F(xiàn)為垂足，求向量的坐標(biāo)。17、如圖，棱長為1的正方體，E、F、G是DD1、BD、BB1的中點， 求證:EFCF; 求與所成角的余弦;求CE的長.四、能力提升1、在ABC中，已知AB(2,4,0),BC(1,3,0)，則ABCABC45°2、如圖長方體已知AB

7、CDA1B1C1D1是棱長為2的正方體，E、F分別是BB1和DC的中點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，試寫出圖中各點的坐標(biāo)解：D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,2)，A1(2,0,2)，B1(2,2,2)，C1(0,2,2)，,D1(0,0,2)，E(2,2,1)，F(xiàn)(0,1,0)3、已知a(2，3,5)，b(3,1，4)，求ab，ab，8a，ab解：（1，2，1），（5，4，9），（16，24，40）， 294、中，為與的交點，為與的交點，又，求長方體的高分析：本題的關(guān)鍵是如何利用這個條件，在這里可利用 將其轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積問題解法一：，所求高解法二：設(shè)，則，

8、則 0 即0，即所求高點評：本題從表面上看是求線段長度，但實際上卻是充要條件：的應(yīng)用問題5、設(shè)，且，記，求與軸正方向的夾角的余弦值解：取軸正方向的任一向量，設(shè)所求夾角為，即為所求6、已知空間三點A(0,2,3),B(2,1,6),C(1,1,5)求以向量為一組鄰邊的平行四邊形的面積S；若向量分別與向量垂直，且|，求向量的坐標(biāo)分析：BAC60°，設(shè)(x,y,z)，則解得xyz1或xyz1，(1,1,1)或(1，1，1).7、求證：如果兩條直線同垂直于一個平面，則這兩條直線平行已知：直線于，于求證：證明：以為原點，射線為非負(fù)軸，建立空間直角坐標(biāo)系，分別為沿軸，軸，軸的坐標(biāo)向量，設(shè)，即，又知，為兩個不同的點，8、在長方體ABCDA1B1C1D1中，ABa，BCb，AA1c，求異面直線BD1和B1C所成角的余弦值分析一：利用，以及數(shù)量積的定義，可求出cos，從