積分在計(jì)算物體體積和質(zhì)量等問題中的應(yīng)用

1、本科學(xué)年論文論文題目：積分在計(jì)算物體體積和質(zhì)量等問題中的應(yīng)用學(xué)生姓名： 學(xué) 號： 專 業(yè)： 班 級： 指導(dǎo)教師： 完成日期： 2011年 12 月 20 日目錄內(nèi)容摘要1關(guān)鍵詞1序言2一、定積分的微小元素法31、內(nèi)容要點(diǎn)32、曲邊梯形的面積計(jì)算方法，定積分的定義43、計(jì)算面積的元素法步驟：4二、空間立體的體積41、平行截面面積為已知的立體體積42、旋轉(zhuǎn)體的體積7三、重積分在幾何中的應(yīng)用10四、重積分在物理學(xué)中的應(yīng)用111、三重積分的概念112三重積分的定義123、三重積分的物理意義：134、三重積分的性質(zhì)13五、質(zhì)量13參考文獻(xiàn)16積分在計(jì)算物體體積和質(zhì)量等問題中的應(yīng)用內(nèi)容摘要掌握定積分計(jì)算基

2、本技巧；并用所學(xué)的定積分的微元法（元素法）去解決各種領(lǐng)域中的一些實(shí)際問題；掌握用定積分表達(dá)和計(jì)算一些幾何量與物理量（旋轉(zhuǎn)體的體積平行截面面積為已知的立體體積等）。對于重積分的計(jì)算其基本思想是將重積分化為累次積分進(jìn)行計(jì)算.本文首先給出如何應(yīng)用定積分的微元法（元素法）再到運(yùn)用定積分解決實(shí)際問題，最后引出二重積分，三重積分。再通過例子研究積分性質(zhì)在計(jì)算實(shí)際問題中的應(yīng)用.關(guān)鍵詞：積分 體積 質(zhì)量 定積分序言用找出未知量的元素（微元）的方法建立這些幾何、物理的公式解決實(shí)際問題。運(yùn)用元素法將一個(gè)量表達(dá)為定積分的分析方法是解決積分問題的重要思想。而重積分是一元函數(shù)定積分的推廣，是多元函數(shù)積分學(xué)的重要組成部分

3、，在幾何學(xué)與物理學(xué)中都得到了廣泛的應(yīng)用.在幾何上，重積分可用來求空間曲面的面積、求空間區(qū)域的體積.在物理上，重積分可用來求物體的質(zhì)量等.但與定積分相比較，重積分的計(jì)算除了與被積函數(shù)的結(jié)構(gòu)有關(guān)外，更大程度上與積分區(qū)域的特點(diǎn)有關(guān).下面就針對積分對于計(jì)算物體體積和質(zhì)量的問題進(jìn)行分析.一、定積分的微小元素法1、內(nèi)容要點(diǎn)abx定積分概念的引入，體現(xiàn)了一種思想，它就是：在微觀意義下，沒有什么“曲、直”之分，曲頂?shù)膱D形可以看成是平頂?shù)?，“不均勻”的可以看成是“均勻”的。簡單地說，就是以“直”代“曲”，以“不變”代“變”；用這一思想來指導(dǎo)我們的實(shí)際應(yīng)用，許多計(jì)算公式可以比較便利地得出來。比如，求右圖所示圖形的

4、面積時(shí)，在a, b上任取一點(diǎn)x，此處任給一個(gè)“寬度”，那么這個(gè)微小的“矩形”的面積為此時(shí)我們把稱為“面積微元”。把這些微小的面積全部累加起來，就是整個(gè)圖形的面積了。這種累加通過什么來實(shí)現(xiàn)呢？當(dāng)然就是通過積分，它就是。這些“面積微元”，幾乎就是細(xì)線段，當(dāng)這些數(shù)都數(shù)不清的“細(xì)線段”一根一根地累加起來，就形成了整個(gè)圖形的面積。打一個(gè)不很嚴(yán)格的比方，這些“細(xì)線段”的厚度，就好比我們課本紙張的厚度，當(dāng)很多很多的紙張疊在一起的時(shí)候，這個(gè)面積就出來了。不是嗎？頁數(shù)很多的書不是比較厚嗎？人們就是在這樣一個(gè)思想下解決問題的。我們把這樣的思想方法稱為“微元法”。再比如，求變速直線運(yùn)動的質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)行路程的時(shí)候，我們在

5、T0到T1的時(shí)間內(nèi)，任取一個(gè)時(shí)間值t，再任給一個(gè)時(shí)間增量，那么在這個(gè)非常短暫的時(shí)間內(nèi)（內(nèi)）質(zhì)點(diǎn)作勻速運(yùn)動，質(zhì)點(diǎn)的速度為v ( t )，其運(yùn)行的路程當(dāng)然就是就是“路程微元”，把它們?nèi)坷奂悠饋碇缶褪牵河眠@樣的思想方法，將來我們還可以得出“弧長微元”、“體積微元”、“質(zhì)量微元”和“功微元”等等。這是一種解決實(shí)際問題非常有效、可行的好方法。2、曲邊梯形的面積計(jì)算方法，定積分的定義面積面積元素=3、計(jì)算面積的元素法步驟：（1）畫出圖形； （2）將這個(gè)圖形分割成個(gè)部分，這個(gè)部分的近似于矩形或者扇形；（3）計(jì)算出面積元素；（4）在面積元素前面添加積分號，確定上、下限。二、空間立體的體積1、平行截面面積為

6、已知的立體體積定理一：設(shè)V是位于a,b間的一空間立體，A(x)（）是截面積的函數(shù)，且在a,b上連續(xù)，則立體V的體積為證明：在x,x+dx上的體積微元是dV=A(x)dx,則體積為：解析：設(shè)某空間立體垂直于一定軸的各個(gè)截面面積已知,則這個(gè)立體的體積可用微元法求解.不失一般性,不妨取定軸為軸,垂直于軸的各個(gè)截面面積為關(guān)于的連續(xù)函數(shù),的變化區(qū)間為.該立體體積對區(qū)間具有可加性.取為積分變量,在內(nèi)任取一小區(qū)間,其所對應(yīng)的小薄片的體積用底面積為,高為的柱體的體積近似代替,即體積微元為于是所求立體的體積【例2】 求由雙曲拋物面、平面與所圍立體的體積。分析 該立體如圖10-14（a）所示。由于它不是一個(gè)旋轉(zhuǎn)體

7、，因此只能通過先求出截面面積函數(shù)，而后再求定積分的方法來計(jì)算立體體積。從我們對雙曲拋物面的認(rèn)識可以知道，垂直于z軸的截面形狀是一族雙曲線弓形（示于圖10-14（b），垂直于x軸的截面形狀是一族拋物弓形（示于圖10-14（c）。若能求得截面面積函九A（z）或A（x），便有解 下面人出兩種解法，以便于進(jìn)行比較。解法一 在計(jì)算A（z）時(shí)，應(yīng)把z看作在0,1上的任一固定實(shí)數(shù)。此時(shí)，水平截線是一族雙曲線（每個(gè)z的值對應(yīng)一條雙曲線），或?qū)懽饔谑撬箅p曲線弓形的面積為 由此便有現(xiàn)分別計(jì)算右邊三個(gè)積分如下：所以解法二 類似地，在計(jì)算A（x）時(shí)應(yīng)把x看作在0,1上取定的任一實(shí)數(shù)。此時(shí)，垂直于x軸的截線是一族拋物

8、線（每個(gè)x的值對應(yīng)一條拋物線）。因此所求拋物線弓形的面積為由此便有說明 比較解法一與解法二，顯然后者要簡單得多。由此可見，在利用截面面積求體積的問題中，選擇合適的截面是十分重要的。【例2】一平面經(jīng)過半徑為的圓柱體的底圓中心,并與底面交成角,計(jì)算這個(gè)平面截圓柱體所得契形體的體積.解取該平面與底面圓的交線為軸建立直角坐標(biāo)系,則底面圓的方程為,半圓的方程即為.在軸的變化區(qū)間內(nèi)任取一點(diǎn),過作垂直于軸的截面,截得一直角三角形,其底長為,高度為,故其面積于是體積2、旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)體是一種特殊的空間立體，它是一條平面圖形饒平面一直線l旋轉(zhuǎn)一周所得，特別地，直線為x軸，一般地，設(shè)旋轉(zhuǎn)體由曲線y=f(x),x

9、=a,x=b,以及x軸所圍的曲邊梯形饒x軸旋轉(zhuǎn)一周所得的一個(gè)立體，用垂直于x軸的平面去截立體得到截面面積為A(x)=,則旋轉(zhuǎn)體的體積為：例1例2、過點(diǎn)作拋物線的切線，求該切線與拋物線及軸所圍平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體體積解：設(shè)切點(diǎn)為切線方程Q 切點(diǎn)在切線上，（3,1）0 1 2 3 ， 切線方程：類型1:求由連續(xù)曲線,直線及軸所圍成的曲邊梯形繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成立體的體積.過任意一點(diǎn)作垂直于軸的平面,截面是半徑為的圓,其面積為,于是所求旋轉(zhuǎn)體的體積【例3】求由及所圍成的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成立體的體積.解積分變量軸的變化區(qū)間為,此處,則體積【例4】連接坐標(biāo)原點(diǎn)及點(diǎn)的直線,直線及軸圍成一個(gè)直角三

10、角形,求將它繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的圓錐體的體積.解積分變量的變化區(qū)間為,此處為直線的方程,于是體積類型2:求由連續(xù)曲線,直線及軸所圍成的曲邊梯形繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體的體積.過任意一點(diǎn),作垂直于軸的平面,截面是半徑為的圓,其面積為,于是所求旋轉(zhuǎn)體的體積【例5】求由及軸所圍成的曲邊梯形繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體的體積.解積分變量的變化區(qū)間為,此處.于是體積【例6】求橢圓分別繞軸、軸旋轉(zhuǎn)而成橢球體的體積.解若橢圓繞軸旋轉(zhuǎn),積分變量的變化區(qū)間為,此處,于是體積若橢圓繞軸旋轉(zhuǎn),積分變量的變化區(qū)間為,此處,于是體積利用定積分的元素法可以解決許多求總量的問題，將這種思想方法推廣到重積分的情形，也可以計(jì)算一些幾何、

11、物理以及其它的量值。三、重積分在幾何中的應(yīng)用利用定積分的元素法可以解決許多求總量的問題，將這種思想方法推廣到重積分的情形，也可以計(jì)算一些幾何、物理以及其它的量值。空間立體的體積 由二重積分的幾何解釋可知，利用二重積分可以計(jì)算空間立體的體積V： 若空間立體為一曲頂柱體，設(shè)曲頂曲面的方程為，且曲頂柱體的底在平面上的投影為有界閉區(qū)域D，則 (4.1)若空間立體為一上、下頂均是曲面的立體(圖4-1)，如何計(jì)算這個(gè)立體的體積V ？ 設(shè)立體上、下曲頂?shù)那娣匠谭謩e為和，且曲頂柱體在平面上的投影為有界閉區(qū)域D，則 (4.2)利用三重積分的性質(zhì)，可求一般空間立體V的體積。 。 (4.3)【例7】求兩個(gè)半徑都是

12、R的直交圓柱所圍成的立體的體積。 圖4-2解 設(shè)兩個(gè)圓柱面的方程為，圖42所繪是它在第一卦限內(nèi)的部分。由對稱性可知，知要求出圖中陰影部分的體積V1，再乘以8即可，這部分立體在面上的投影區(qū)域D可表示為。而曲面方程為 ，于是 ，故所求體積為 ?！纠?】 計(jì)算在矩形D =上方，平面以下部分空間的立體體積。 解 因在區(qū)域D上，故由(4.1)有 V = = = 。四、重積分在物理學(xué)中的應(yīng)用利用重積分可以解決平面薄片和空間物體的質(zhì)量、重心、轉(zhuǎn)動慣量、引力等許多物理問題。這里只簡單地介紹如何質(zhì)量和重心坐標(biāo)的求法。1、三重積分的概念三重積分是二重積分的推廣，同時(shí)也是從實(shí)際問題中抽象概括出來的一個(gè)數(shù)學(xué)概念。（1

13、）、空間物體的質(zhì)量設(shè)V是三維空間R3中可求體積的有界體。，體V在點(diǎn)P的密度為，求體V的質(zhì)量。如果體V是均勻分布的立體，即在每一點(diǎn)的密度都一樣（是常數(shù)），則體V的質(zhì)量為，其中是體V的體積。但現(xiàn)在體V上每一點(diǎn)的密度都不相同，如何求體V的質(zhì)量呢？（1）分割將體V任意分成n個(gè)小體：，此分法表為T。第k個(gè)小體的體積為(k=1,2,n)。這樣就把原來的體V分為n個(gè)小體（2）代替當(dāng)?shù)趉個(gè)小體的直徑很小時(shí)，第k個(gè)小體可近似看作均勻分布的。，于是，可用作為第k個(gè)小體的密度。因此，第k個(gè)小體的質(zhì)量為，(k=1,2,n)（3）作和體V的質(zhì)量為（4）求極限當(dāng)分割很細(xì)很密時(shí)，即每個(gè)小體的直徑(k=1,2,n)都很小時(shí)，

14、上述近似式的誤差是很小的。分割越細(xì)，誤差越小。令，則時(shí)，即 2三重積分的定義由上面的例子舍去其物理意義，抽取其數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，即可得到三重積分的概念。定義 設(shè)函數(shù)在有界閉體V上有定義。（1）分割將體V任意分成n個(gè)小體：，此分法表為T。第k個(gè)小體的體積為(k=1,2,n)。（2）作乘積，作乘積，(k=1,2,n)（3）作和將上述所有乘積累加，得和式稱為函數(shù)在體V上關(guān)于分法T的積分和。（4）求極限令，時(shí)，積分和存在極限J（數(shù)J與分法T無關(guān)也與點(diǎn)的取法無關(guān)），即 則稱函數(shù)在有界閉體V上可積，J是函數(shù)在體V上的三重積分，表為 或 其中體V稱為積分區(qū)域，稱為被積函數(shù)，或稱為體積微元。3、三重積分的物理意義：設(shè)

15、有界閉體V上任意一點(diǎn)的密度為，則體V的質(zhì)量為4、三重積分的性質(zhì)三重積分的性質(zhì)與二重積分的性質(zhì)是類似的，完全可以從二重積分的性質(zhì)平行移過來五、質(zhì)量由物理學(xué)我們知道，均勻分布的物體，其質(zhì)量是很好求得的。線狀物體的質(zhì)量=物體的弧長線密度面狀物體的質(zhì)量=物體的面積面密度幾何形體的質(zhì)量=物體的體積體密度并且，這些密度（線密度、面密度、體密度）值都是常量，因此只要知道物體的幾何量值（弧長、面積、體積），物體的質(zhì)量就可以很輕松地求出來。在許多的實(shí)際應(yīng)用中，物體的質(zhì)量并不是均勻分布的，這樣我們同樣面臨矛盾轉(zhuǎn)換的問題，如何實(shí)現(xiàn)這種由非均勻到均勻的轉(zhuǎn)換呢？當(dāng)然，我們?nèi)匀唤柚拔⒃ā彼枷耄?dāng)把物體分割得非常微小的

16、時(shí)候，非均勻分布的物體就可以近似地看成均勻分布的了。【例9】平面薄片的質(zhì)量設(shè)該薄片在面上占據(jù)平面閉區(qū)域D，已知薄片在D內(nèi)每一點(diǎn) (x， y) 的面密度為，且在D上連續(xù)。在閉區(qū)域D上任取一直徑很小的閉區(qū)域，則薄片中對應(yīng)于(也表示其面積)部分的質(zhì)量可近似地表示為，這就是質(zhì)量微元，以其為被積表達(dá)式，在區(qū)域D上二重積分，得。 (4.6)特別地，如果平面薄片為均勻的，即r為常數(shù)時(shí)，上式可簡化為 (s 為D的面積)。 (4.7)類似地，有空間物體的質(zhì)量如下設(shè)該物體占有空間區(qū)域，體密度函數(shù)為，則質(zhì)量微元為：，故。【例10】設(shè)一物體占有的空間區(qū)域由曲面，圍成，密度為，求此物體的質(zhì)量。解 ?！纠?1】 設(shè)一物質(zhì)曲線（）上任一點(diǎn)的線密度的值與該點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離成正比，已知曲線在點(diǎn)（2，4）的線密度為4。求該物質(zhì)曲線的質(zhì)量。解 由已知可設(shè)物質(zhì)曲線的線密度為，已知，所以k =2。設(shè)所求的物質(zhì)曲線的質(zhì)量為m，則【例12】 一半徑為的物質(zhì)球，已知球內(nèi)任意一點(diǎn)的密度與該點(diǎn)到球心的距離的平方成正比，球該物質(zhì)求的質(zhì)量。解 在0到之間任意取定一半徑值r，任意給定半徑值的一個(gè)增量，得到球殼的體積于是，球殼的體積微元為由已知可設(shè)球的密度函數(shù)是所以球殼