第四章級數(shù)(習(xí)題四)解答

1、第四章級數(shù)（習(xí)題四）解答設(shè)已給復(fù)數(shù)序列，如果，其中是一有限復(fù)數(shù)，那么（復(fù)數(shù)列極限的算術(shù)平均法則）證明（方法）記，則由復(fù)數(shù)列收斂與實數(shù)列收斂的關(guān)系以及實數(shù)列極限的算術(shù)平均法則得，于是再由復(fù)數(shù)列收斂與實數(shù)列收斂的關(guān)系得（方法）由得，對任意，存在正整數(shù)，當(dāng)時，于是，當(dāng)時，又，所以存在正整數(shù)，當(dāng)時從而取，當(dāng)時，即注意：此題中，當(dāng)時，結(jié)論不一定成立例如，取顯然，從而，但當(dāng)時，（），當(dāng)時，（），所以不存在這表明關(guān)于復(fù)數(shù)列的算術(shù)平均法則對無窮大量的情形不一定成立，這一點與實數(shù)列的算術(shù)平均法則有所不同證明：任何有界的復(fù)數(shù)序列一定有一個收斂的子列（復(fù)數(shù)域上的致密性定理）證明記有界的復(fù)數(shù)序列為，由，知，實數(shù)列和也

2、有界由實數(shù)域上的致密性定理得有收斂的子列，同理的子列也有收斂的子列，我們把它仍記為，于是由復(fù)數(shù)列收斂與實數(shù)列收斂的關(guān)系得的子列也收斂證明在兩相乘級數(shù)中，一個收斂，一個絕對收斂時，它們的柯西乘積一定收斂，且和為這兩個級數(shù)的和的乘積證明記級數(shù)收斂，級數(shù)絕對收斂，其和分別為，（方法）記，由復(fù)級數(shù)收斂與實級數(shù)收斂的關(guān)系得和都收斂，和都絕對收斂又由數(shù)學(xué)分析中柯西乘積的收斂性得都收斂所以再由復(fù)級數(shù)收斂與實級數(shù)收斂的關(guān)系得收斂，且（方法）由級數(shù)收斂，級數(shù)絕對收斂知，存在正數(shù)，使得對任何正整數(shù)，有，又由柯西準(zhǔn)則，對任意，存在正整數(shù)，當(dāng)時，對任意自然數(shù)，有，再注意到，記為的部分和，當(dāng)為奇數(shù)時，當(dāng)為偶數(shù)時，于是當(dāng)

3、充分大時（如時），有，由易得所以注意：課本上61面順數(shù)第13行的等式有誤，應(yīng)分兩種情況改為當(dāng)為奇數(shù)時，當(dāng)為偶數(shù)時，（方法）設(shè)級數(shù)收斂，級數(shù)絕對收斂，并記，由題設(shè)，因為因此要證成立，只須證明成立即可下面我們證明這一事實事實上，由和絕對收斂，并注意到收斂數(shù)列的有界性和數(shù)列收斂的定義以及級數(shù)收斂的柯西準(zhǔn)則可得，存在正數(shù)，使得，且對任意，存在正整數(shù)，當(dāng)時，于是，當(dāng)時，即所以4證明定理2.1（考慮內(nèi)閉一致收斂的情形，課本上一致收斂的情形是此情形的特殊情況）和定理2.2證明任取，并取，使得，注意到在上一致收斂于，且在連續(xù)，以及易得在點連續(xù)，從而在上連續(xù)由于在簡單曲線上一致收斂于，且在簡單曲線上連續(xù)，由定理

4、2.1，在簡單曲線上也連續(xù)，再注意到由積分的估值性易得試求下列冪級數(shù)的收斂半徑：（）（）；（）；（），其中是一正整數(shù)；（）；（）；（），其中，和是復(fù)常數(shù)，但不是零或負(fù)整數(shù)解（）由知，收斂半徑為，此時收斂圓為（）由于，所以收斂半徑為，此時收斂圓為（）由知，收斂半徑為，此時收斂圓為（）由于，所以收斂半徑為，此時收斂圓為（）由知，收斂半徑為，此時收斂圓為（）當(dāng)是零或負(fù)整數(shù)或當(dāng)是零或負(fù)整數(shù)時，易得收斂半徑為，此時收斂圓為當(dāng)不是零或負(fù)整數(shù)且當(dāng)也不是零或負(fù)整數(shù)時，由知，收斂半徑為，此時收斂圓為設(shè)在內(nèi)解析的函數(shù)有泰勒展式，試證：（）令，我們有（關(guān)于冪級數(shù)展式的系數(shù)的柯西不等式），在這里；（）由（）再證劉維爾

5、定理（）當(dāng)時，證明（）由冪級數(shù)的系數(shù)與和函數(shù)的關(guān)系（或泰勒定理及冪級數(shù)展式的惟一性）得，再注意到第章的柯西不等式即得（）設(shè)為整函數(shù)且有界，即在復(fù)平面上解析，且存在，使得在復(fù)平面上，由泰勒定理，在復(fù)平面（）上，取為任意大的正數(shù)，顯然，由（）得，當(dāng)時，即時，所以在復(fù)平面上，（）因圓周為閉集，由冪級數(shù)的收斂性，在上一致收斂且絕對收斂，從而也在上一致收斂且絕對收斂（這是因為），于是，由絕對收斂級數(shù)的乘積性得，在圓周上絕對收斂且一致收斂（注意上式變形中用到了）令，則在上絕對收斂且一致收斂由一致收斂級數(shù)的逐項積分性并注意到即得，即證明：如果在及內(nèi)，我們分別有，其中，而且在上連續(xù)，那么在內(nèi)證明（方法）對任意

6、，當(dāng)時，有，所以由冪級數(shù)的內(nèi)閉一致收斂性在上一致收斂又由題設(shè)易知在上有界，所以在上也一致收斂于是由逐項積分性并注意到即得（方法）由題設(shè)和冪級數(shù)的內(nèi)閉一致收斂性及絕對收斂性易得在圓周上一致收斂，于是，由逐項積分性并注意到，當(dāng)時，；當(dāng)時，可得，即設(shè)是任一復(fù)數(shù)，證明證明因?qū)θ我鈴?fù)數(shù)，所以而所以求下列解析函數(shù)或多值函數(shù)的解析分支在的泰勒展式：（）；（）；（）；（）；（）（計算到的系數(shù)）其中是滿足的主值支，是滿足的主值支解（），（）（）因時，所以時，（）記在解析，且在內(nèi)，（注意：上式計算過程中用到了柯西乘積）所以，逐項積分得），其中（）在內(nèi)解析，令，則，即再由待定系數(shù)法得（）設(shè)是一整函數(shù)，并且假定存在著

7、一個正整數(shù)，以及兩個正數(shù)及，使得當(dāng)時，證明是一個至多次的多項式或常數(shù)證明因為整函數(shù)，即在復(fù)平面上解析，由泰勒定理，在復(fù)平面（）上，任取，由題設(shè)，由第6題（）得，當(dāng)時，即時，所以在復(fù)平面上，即是一個至多次的多項式或常數(shù)求下列解析函數(shù)或多值函數(shù)的解析分支在指定區(qū)域內(nèi)的洛郎展式：（）在內(nèi)；（）在內(nèi)；（）在內(nèi)；（）在內(nèi)；（）在內(nèi)，其中，；（）在及內(nèi)，解（）顯然在內(nèi)解析，且在內(nèi)，（注意：第個展式用到了把缺的奇數(shù)項補齊），所以（）顯然在內(nèi)解析，且用待定系數(shù)法可將分解為且在內(nèi)所以在內(nèi)（）顯然在內(nèi)解析，且而在內(nèi)所以在內(nèi)（）顯然在內(nèi)解析，且，所以利用基本展式及兩次求和的可交換性，在內(nèi)其中（）由于的支點，所以在內(nèi)

8、解析，而在內(nèi)，其中由已知初值求終值的公式得，所以在內(nèi)其中（）易知在及內(nèi)都解析，且，而在內(nèi)，所以在內(nèi)同理可得，在內(nèi)注意：在計算過程中用到，以及對數(shù)函數(shù)主值支的展式，問下列各函數(shù)有哪些孤立奇點？各屬于哪一類？（）；（）；（），其中是一常數(shù)；（）；（）解（）易知的孤立奇點為，和，且是的一階零點，是的二階零點，且，所以是的一階極點，是二階極點，是可去奇點（）顯然的孤立奇點為，它們都是一階極點由于，所以是非孤立奇點（）易知的孤立奇點為，為整數(shù)，當(dāng)時，它們是二階極點（因為此時它們是的二階零點）；當(dāng)時，它們是一階極點因為此時它們是的一階零點）是非孤立奇點（因為它們以為聚點）（）易知，為整數(shù)，都是一階極點，而

9、是非孤立奇點由第15題(3)知是本性奇點（）由孤立奇點分類的定義知，是本性奇點又，所以是可去奇點證明：在擴充復(fù)平面上只有一個一階極點的解析函數(shù)必有下面形式：，證明設(shè)是在擴充平面上惟一的一個一階極點，當(dāng)時，記在的主要部分為，則為整函數(shù)且以為可去奇點，所以，即，結(jié)論成立；當(dāng)時，記在的主要部分為，則為整函數(shù)且仍以為可去奇點，所以，即，顯然結(jié)論也成立綜上所述，在擴充復(fù)平面上只有一個一階極點的解析函數(shù)必有形式：，；反之，若函數(shù)有形式：，易知它在擴充平面上只有一個一階極點設(shè)函數(shù)在解析，并且它不恒等于一常數(shù)，試證是的階零點的充分必要條件是為的階極點證明是的階零點在的某鄰域內(nèi)，其中在點解析且在的某去心鄰域內(nèi)，

10、其中在點解析且為的階極點設(shè)函數(shù)及滿足下列條件之一：（）及在分別有階及階零點；（）及在分別有階及階極點；（）在解析或有極點，不恒等于零，在有孤立本性奇點試問，及在具有什么性質(zhì)？解（）由題設(shè)及解析函數(shù)零點階數(shù)的判定法，其中在點解析，其中在點解析，于是，所以，當(dāng)時，點為的階零點；當(dāng)時，點為的階零點；當(dāng)時，點為的至少階零點或者恒為零由于，所以，點為的階零點由于所以，當(dāng)時，點為的階零點；當(dāng)時，點不為的零點，實際上它是的階極點；當(dāng)時，點為的可去奇點此時補充，可成為的解析點（）由題設(shè)及解析函數(shù)極點的特征，其中在解析, 且，其中在解析, 且于是所以，當(dāng)時，為階極點；當(dāng)時，為階極點；當(dāng)時，為階數(shù)不超過的極點或可

11、去奇點所以，為階極點所以，當(dāng)時，為階極點；當(dāng)時，為階零點(可去奇點要當(dāng)作解析點)；當(dāng)時, 為可去奇點(也可看作解析點)（）由題設(shè)易知仍為，及的孤立奇點，假設(shè)不是它們的本性奇點，即必是它們的可去奇點或極點，于是由（）和（）知，必是的可去奇點或極點，這與題設(shè)條件矛盾故一定是它們的本性奇點設(shè)函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析，證明：如果對某一點有，那么在區(qū)域內(nèi)為常數(shù)證明 由題設(shè)及泰勒定理得， 存在點的鄰域，使得在內(nèi)于是由解析函數(shù)的惟一性定理得， 在區(qū)域內(nèi)，即在區(qū)域內(nèi)恒為常數(shù)問是否存在著滿足下列條件，并且在原點解析的函數(shù)？（），；（）；（），在這里解（）由于, (,) 都是收斂于0, 由惟一性定理 是在原點解析并滿足的

12、惟一函數(shù), 但此函數(shù)不滿足,故滿足條件此題條件的解析函數(shù)不存在.（）由于 (,)收斂于0, 且.由惟一性定理是在原點解析且 滿足條件此題條件的惟一解析函數(shù).（）類似于（）得，滿足此題條件的解析函數(shù)不存在函數(shù)的零點所成的集有聚點，但這函數(shù)不恒等于零，問這與解析函數(shù)的惟一性是否相矛盾？解由于在點不解析，故它與解析函數(shù)的惟一性并不矛盾設(shè)區(qū)域內(nèi)含有一段實軸，又設(shè)函數(shù)及都在內(nèi)解析，求證在內(nèi)證明記含于區(qū)域內(nèi)的一段實軸為，顯然在上，所以題設(shè)的兩個函數(shù)在上相等，于是由解析函數(shù)的惟一性得，在內(nèi)按照下列步驟，證明整函數(shù)可寫成下列形式：（）其中是復(fù)常數(shù)（）用表示圓周，其中，）證明：對于，積分的值與無關(guān)；取極限求出它

13、的值同樣計算及）設(shè)整函數(shù)的展式（）在中任何緊集上一致收斂，證明對于，（）的系數(shù)可由下列積分給出：，（）如果及有（）中公式給出，那么對于，）設(shè)表示圓心在、半徑為的圓盤，證明：對任意正數(shù)，當(dāng)時，在上一致趨近于零（）最后證得：整函數(shù)有（）形的展式這一展式是惟一的，并且在中任何緊集上一致收斂（即內(nèi)閉或內(nèi)緊一致收斂）證明（）對任意，由于在上解析，由柯西積分定理，即所以與無關(guān)，于是又所以第3章習(xí)題三第16題得同理可求得，當(dāng)時，）由題設(shè)，因圓周為緊集，所以展式（）在上一致收斂注意到和在上有界 因為在上，所以都在上一致收斂再由逐項積分性，并注意到（）的結(jié)果即得，（）當(dāng)時，由柯西積分公式得假設(shè)對正整數(shù)有成立，則

14、對正整數(shù)，也有所以由數(shù)學(xué)歸納法知結(jié)論成立）對任意正數(shù)，取，并取圓周，顯然由于對任意，由積分的估值性，并注意到，有其中，所以在上一致趨近于零（）對中任何緊集，由于一定是有界閉集（因為在上，是緊集是有界閉集），則存在圓域，使得由（）得，整函數(shù)有（）形的展式，且在中任何緊集上一致收斂（即內(nèi)閉或內(nèi)緊一致收斂）至于（）形展式的惟一性由（）立即可得設(shè)是一復(fù)數(shù)序列，（）設(shè)，并且，證明級數(shù)的收斂半徑，并且它的和是在單位圓盤內(nèi)確定的單射（）設(shè)，證明：如果級數(shù)的收斂半徑不是零，那么存在，使得級數(shù)的和是在內(nèi)確定的單射（）設(shè)函數(shù)在一點的鄰域內(nèi)解析，并且，那么是在的一個鄰域內(nèi)確定的單射證明（）由題設(shè)知，收斂，而當(dāng)時，從而由正項級數(shù)的比較法則，在上絕對收斂，所以的收斂半徑下證其和函數(shù)是單位圓內(nèi)的單射事實上，對任意，因，則即，所以和函數(shù)是單位圓內(nèi)的