空間解析幾何

1、1.1 空間解析幾何1) 理解向量的概念及其表示，掌握向量的線性運算、數(shù)量積、向量積及混合積，了解兩個向量垂直、平行的條件，掌握單位向量、方向余弦、向量的坐標(biāo)表達式以及用坐標(biāo)表達式進行向量運算的方法。2) 掌握平面的方程和直線的方程及其求法，會利用平面、直線的相互之間的位置關(guān)系解決有關(guān)問題3) 了解常用二次曲面的方程及其圖形，會求以坐標(biāo)軸為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)曲面方程及母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程，了解空間曲線的參數(shù)方程和一般方程以及空間曲線在坐標(biāo)面上的投影曲線方程.1.1 向量代數(shù)向量及其線性運算既有大小又有方向的量，如位移、速度、力等這類量，稱為向量。向量的大小稱為向量的模，記作。向量的加減法、向量

2、與數(shù)的乘法統(tǒng)稱為向量的線性運算。向量與向量的和是一個向量，利用平行四邊形法則或三角形法則則可得向量，如圖1.1-1、圖1.1-2所示。向量的加法符合下列運算規(guī)律：1) 交換律：2) 結(jié)合律：向量與向量的差定義為向量與的負(fù)向量的和，即由向量加法的三角形法則可知：；向量與實數(shù)的積記作，它是一個向量，它的模它的方向當(dāng)時，與向量相同；當(dāng)時，與向量相反。向量與數(shù)的乘積符合下列運算規(guī)律：1) 結(jié)合律2) 分配律；由向量與數(shù)的乘積的定義，可得以下定理。定理：設(shè)向量，那么，向量與向量平行的充分必要條件是：存在唯一的實數(shù)，使。向量的坐標(biāo)設(shè)有空間直角坐標(biāo)系，分別表示沿著軸正向的單位向量，是以為起點，為終點的向量，

3、則向量可表示為：或其中、稱為向量的坐標(biāo)。利用向量的坐標(biāo)，可得向量的加法、減法以及向量與數(shù)的乘法運算如下：設(shè)：則非零向量與三條坐標(biāo)軸正向的夾角稱為它的方向角。向量的模、方向角與坐標(biāo)之間有如下關(guān)系：、其中，、稱為向量的方向余弦。利用向量的坐標(biāo)可得向量的模與方向余弦如下：，由上式可得：以向量的方向余弦為坐標(biāo)的向量（、）是與向量同方向的單位向量。3數(shù)量積向量積混合積設(shè)向量和向量的夾角為，向量和向量的數(shù)量積為一個數(shù)量，記作，其大小為，即向量在軸上的投影（記作）等于向量的模乘以軸與向量的夾角的余弦，即：由數(shù)量積的定義可知，向量與向量垂直的充分必要條件是。向量的數(shù)量積符合下列運算規(guī)律：1. 交換律2. 分配

4、律3. 結(jié)合律,為實數(shù)注：數(shù)量積不滿足結(jié)合率：，該式本身就不成立，本身就是一個數(shù)量，并非向量，無法與c進行數(shù)量乘。數(shù)量積的分配率證明如下：對于平面向量：因為因此：對于空間向量因為因此：向量和向量的向量積為一個向量，記作，即，的模的方向垂直于與所決定的平面，的指向按右手法則確定。設(shè)向量、，則：或：注：上述兩式證明如下：設(shè)則：由于之間兩兩垂直，因此相互之間的點乘為，自身的點乘為，故上式即可簡化為：向量積的證明方法同上由向量的的定義可知，向量和向量平行的充分必要條件是。向量的向量積符合下列運算規(guī)律：1. ，這表明交換律對向量積不成立2. 分配律：3. 結(jié)合律：，為實數(shù)三個向量、和的混合積是一個數(shù)量，

5、這個數(shù)量通過先作向量積，再做數(shù)量積得到，混合積記作，即：設(shè)，則向量的混合積有下述幾何意義：是這樣一個數(shù)，它的絕對值表示以向量、的棱的平行六面體的體積，它的符號由向量、組成的右手系還是左手系來確定，前者為正，后者為負(fù)。注例1.1-6 已知不在一平面上的四點：、，求四面體ABCD的體積。解：四面體ABCD的體積V等于以向量、和為棱的平行六面體的體積的六分之一，由混合積的幾何意義可知，六面體的體積等于的絕對值，故：上式中符號的選擇與行列式的值的符號一致。關(guān)于“四面體ABCD的體積V等于以向量、和為棱的平行六面體的體積的六分之一”以正方體為例，對此處的六分之一進行理解：其中，即是向量、和為棱的平行六面

6、體的體積。由此，四面體的體積是平行六面體體積的六分之一。.1.2 平面1 平面的方程設(shè)平面經(jīng)過點，它的一個法向量，則平面的方程為。此方程稱為平面的點法式方程。平面的一般方程為：其中為該平面的法向量。設(shè)一平面與軸分別交于、和三點（其中，），則該平面的方程為：此方程稱為平面的截距式方程，、依次稱為平面在、軸上的截距。（注：當(dāng)時，依次考慮三種情況，可理解截距式方程）對于一些特殊的三元一次方程，應(yīng)該熟悉它們的圖形的特點：如，在方程：中，當(dāng)時，方程表示一個通過原點的平面；當(dāng)時，方程表示一個平行于軸的平面，當(dāng)時，方程表示一個平行于面的平面。類似地，可得其他情形的結(jié)論。2 兩平面的夾角兩平面的法向量的夾角稱

7、為兩平面的夾角（通常指銳角）。設(shè)有平面和平面，則和的夾角由下式確定：由此可得：和互相垂直相當(dāng)于：（注：可用數(shù)量積證明之）和互相平行相當(dāng)于：（注：可用向量積證明之）3 點到平面的距離空間一點到平面的距離，由以下公式計算：證明：設(shè)、的坐標(biāo)分別是、。則向量。到平面的距離，即向量在法向量上的投影，用數(shù)量積的方法證明之：.1.3直線1 空間直線的方程設(shè)空間直線L是平面：和平面：的交線，則的方程為：此方程稱為空間直線的一般方程。設(shè)直線過點，它的一個方向向量為，則直線的方程為：此方程稱為直線的對稱式方程。如設(shè)參數(shù)如下：則：，此方程組稱為直線的參數(shù)式方程2 兩直線的夾角兩直線的方向向量的夾角叫做兩直線的夾角（

8、通常指銳角），設(shè)直線：和直線：則和的夾角可由下式確定：由此可得：和互相垂直相當(dāng)于：和互相平行相當(dāng)于：（用向量積證明）3 直線與平面的夾角直線和它在平面上的投影的夾角稱為直線與平面的夾角，通常規(guī)定，設(shè)直線的方程：平面的方程是：則直線與平面的夾角由下式確定：由此可得：直線與平面垂直相當(dāng)于（即與法向量平行）直線與平面平行或直線在平面上相當(dāng)于（即與法向量垂直）4 點到直線的距離設(shè)是直線外的一點，是直線上任意一點，且直線的方向向量為，則由向量積的幾何意義知表示以、為棱的平行四邊形的面積，而表示以為邊長的該平行四邊形的高，即為點到直線的距離，即：注：已知直線的一般式方程，求解對稱式方程由直線的一般式方程，

9、可知兩相交平面的法向量，兩法向量的向量積即是直線的方向向量。在求解直線的一般式方程，可得出直線上的任何一點。由方向向量以及直線上的一個點，可列出直線的對稱式方程。.1.4 柱面旋轉(zhuǎn)曲面二次曲面1 柱面平行于定直線并沿定曲線移動的直線形成的軌跡叫做柱面，定曲線叫做柱面的準(zhǔn)線，動直線叫做柱面的母線。例如，以平面上的圓為準(zhǔn)線，平行于軸的直線為母線的圓柱面。以平面上的拋物線為準(zhǔn)線，平行于軸的直線為母線的拋物柱面。在空間直角坐標(biāo)系中，如果曲面方程中，缺少某個變量，那么該方程一般表示一個柱面。例如一般表示一個母線平行于軸的柱面，方程，依次表示一個母線平行于軸、軸的柱面。以下三個方程：依次表示母線平行于軸的

10、橢圓柱面、雙曲柱面、拋物柱面。注：橢圓的概念：平面內(nèi)與兩個定點、的距離的和等于定長的點的軌跡叫做橢圓，其中兩定點、叫做橢圓的焦點，定點間的距離叫橢圓的焦距。（定長大于兩定點間的距離）。橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：雙曲線的概念：平面內(nèi)與兩個定點、的距離的差的絕對值等于常數(shù)（定長小于兩定點間的距離）的點的軌跡叫做雙曲線。雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，其中（為兩定點之間的距離）拋物線的概念：平面內(nèi)到一定點和到一條不過此點的定直線的距離相等的點的軌跡叫做拋物線。定點叫做拋物線的焦點，定直線叫做拋物線的準(zhǔn)線。拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，其中，p為焦點到準(zhǔn)線的距離。2 旋轉(zhuǎn)曲面以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面叫做

11、旋轉(zhuǎn)曲面，旋轉(zhuǎn)曲線和定直線依次叫做旋轉(zhuǎn)曲面的母線和軸。例如，定點在坐標(biāo)原點，旋轉(zhuǎn)軸為軸，半頂角為的圓錐面。已知旋轉(zhuǎn)曲面的母線的方程為：旋轉(zhuǎn)軸為軸，只要將母線的方程中的換成，便得曲面繞軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程，即：同理，若曲線繞軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為：3二次曲面三元二次方程所表示的曲面叫做二次曲面，例如：球面：圓錐面：橢圓錐面：，橢球面：橢圓拋物面：雙曲拋物面：單葉雙曲面：雙葉雙曲面：注意：以上方程是二次曲面的標(biāo)準(zhǔn)方程，還應(yīng)知道它們的變形。橢圓錐面在平面上的截痕為橢圓在平面或上的截痕為過原點的直線橢球面橢球面與三個坐標(biāo)面的交線分別為：均為橢圓單葉雙曲面平面上的截痕為橢圓時，截痕為雙曲線時，截痕為雙曲線雙葉雙曲面平面（）上的截痕為橢圓平面上的截痕為雙曲線平面上的截痕為雙曲線將單葉雙曲面與雙葉雙曲面的方程右側(cè)的換為，得到橢圓錐面的方程橢圓拋物面平面上的截痕為橢圓平面上的截痕為拋物線平面上的截痕為拋物線雙曲拋物面平面上的截痕雙曲線平面上的截痕為拋物線平面上的截痕為拋物線.1.5 空間曲線1 空間曲線的方程空間曲線可以看做是兩個曲面的交線，若空間曲線是曲面：和的交線，則的方程可用下述方程組來表示：此方程組稱為空間曲線的一般方程。若將空間曲線上動點的坐標(biāo)、表示為參數(shù)