研究生考試上海同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)歸納

1、第一講: 極限與連續(xù)一. 數(shù)列函數(shù):1. 類型: (1)數(shù)列: *;* (2)初等函數(shù): (3)分段函數(shù): *; *;* (4)復(fù)合(含)函數(shù): (5)隱式(方程): (6)參式(數(shù)一,二): (7)變限積分函數(shù): (8)級(jí)數(shù)和函數(shù)(數(shù)一,三): 2. 特征(幾何):(1)單調(diào)性與有界性(判別); (單調(diào)定號(hào))(2)奇偶性與周期性(應(yīng)用). 3. 反函數(shù)與直接函數(shù): 二. 極限性質(zhì): 1. 類型: *;*(含);*(含) 2. 無窮小與無窮大(注: 無窮量):3. 未定型: 4. 性質(zhì): *有界性, *保號(hào)性, *歸并性三. 常用結(jié)論: , , , , , , ,四. 必備公式: 1. 等價(jià)無

2、窮小: 當(dāng)時(shí),; ; 2. 泰勒公式:(1); (2);(3); (4);(5).五. 常規(guī)方法: 前提: (1)準(zhǔn)確判斷(其它如:); (2)變量代換(如:) 1. 抓大棄小, 2. 無窮小與有界量乘積 () (注:) 3. 處理(其它如:) 4. 左右極限(包括):(1); (2); (3)分段函數(shù): , , 5. 無窮小等價(jià)替換(因式中的無窮小)(注: 非零因子) 6. 洛必達(dá)法則(1)先”處理”,后法則(最后方法);(注意對(duì)比: 與)(2)冪指型處理: (如: )(3)含變限積分; (4)不能用與不便用 7. 泰勒公式(皮亞諾余項(xiàng)): 處理和式中的無窮小 8. 極限函數(shù): (分段函數(shù))

3、六. 非常手段 1. 收斂準(zhǔn)則: (1) (2)雙邊夾: *, * (3)單邊擠: * * *2. 導(dǎo)數(shù)定義(洛必達(dá)?): 3. 積分和:, 4. 中值定理: 5. 級(jí)數(shù)和(數(shù)一三): (1)收斂, (如)(2),(3)與同斂散七.常見應(yīng)用: 1. 無窮小比較(等價(jià),階): *(1) (2)2. 漸近線(含斜): (1)(2),() 3. 連續(xù)性: (1)間斷點(diǎn)判別(個(gè)數(shù)); (2)分段函數(shù)連續(xù)性(附:極限函數(shù), 連續(xù)性)八. 上連續(xù)函數(shù)性質(zhì) 1. 連通性: (注:, “平均”值:) 2. 介值定理:(附: 達(dá)布定理) (1)零點(diǎn)存在定理: (根的個(gè)數(shù)); (2).第二講:導(dǎo)數(shù)及應(yīng)用(一元)(

4、含中值定理)一. 基本概念:1. 差商與導(dǎo)數(shù):; (1)(注:連續(xù)) (2)左右導(dǎo): ;(3)可導(dǎo)與連續(xù); (在處, 連續(xù)不可導(dǎo); 可導(dǎo))2. 微分與導(dǎo)數(shù): (1)可微可導(dǎo); (2)比較與的大小比較(圖示);二. 求導(dǎo)準(zhǔn)備: 1. 基本初等函數(shù)求導(dǎo)公式; (注: )2. 法則: (1)四則運(yùn)算; (2)復(fù)合法則; (3)反函數(shù)三. 各類求導(dǎo)(方法步驟): 1. 定義導(dǎo): (1)與; (2)分段函數(shù)左右導(dǎo); (3)(注: , 求:及的連續(xù)性) 2. 初等導(dǎo)(公式加法則): (1), 求:(圖形題);(2), 求: (注: ) (3),求及 (待定系數(shù))3. 隱式()導(dǎo):(1)存在定理; (2)微

5、分法(一階微分的形式不變性). (3)對(duì)數(shù)求導(dǎo)法. 4. 參式導(dǎo)(數(shù)一,二): ,求: 5. 高階導(dǎo)公式:; ; 注: 與泰勒展式: 四. 各類應(yīng)用:1. 斜率與切線(法線); (區(qū)別: 上點(diǎn)和過點(diǎn)的切線) 2. 物理: (相對(duì))變化率速度; 3. 曲率(數(shù)一二): (曲率半徑, 曲率中心, 曲率圓) 4. 邊際與彈性(數(shù)三): (附: 需求, 收益, 成本, 利潤)五. 單調(diào)性與極值(必求導(dǎo))1. 判別(駐點(diǎn)): (1); ; (2)分段函數(shù)的單調(diào)性 (3)零點(diǎn)唯一; 駐點(diǎn)唯一(必為極值,最值). 2. 極值點(diǎn): (1)表格(變號(hào)); (由的特點(diǎn)) (2)二階導(dǎo)() 注(1)與的匹配(圖形中

6、包含的信息); (2)實(shí)例: 由確定點(diǎn)“”的特點(diǎn). (3)閉域上最值(應(yīng)用例: 與定積分幾何應(yīng)用相結(jié)合, 求最優(yōu))3. 不等式證明() (1)區(qū)別: *單變量與雙變量? *與? (2)類型: *; * *; * (3)注意: 單調(diào)性端點(diǎn)值極值凹凸性. (如: )4. 函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù): 單調(diào)介值六. 凹凸與拐點(diǎn)(必求導(dǎo)!):1. 表格;() 2. 應(yīng)用: (1)泰勒估計(jì); (2)單調(diào); (3)凹凸.七. 羅爾定理與輔助函數(shù): (注: 最值點(diǎn)必為駐點(diǎn)) 1. 結(jié)論: 2. 輔助函數(shù)構(gòu)造實(shí)例:(1)(2)(3) (4);3. 有個(gè)零點(diǎn)有個(gè)零點(diǎn) 4. 特例: 證明的常規(guī)方法:令有個(gè)零點(diǎn)(待定) 5.

7、注: 含時(shí),分家!(柯西定理) 6. 附(達(dá)布定理): 在可導(dǎo),使:八. 拉格朗日中值定理 1. 結(jié)論: ; () 2. 估計(jì): 九. 泰勒公式(連接之間的橋梁)1. 結(jié)論: ; 2. 應(yīng)用:在已知或值時(shí)進(jìn)行積分估計(jì)十. 積分中值定理(附:廣義): 注:有定積分(不含變限)條件時(shí)使用第三講: 一元積分學(xué)一. 基本概念: 1. 原函數(shù): (1); (2); (3) 注(1)(連續(xù)不一定可導(dǎo));(2) (連續(xù)) 2. 不定積分性質(zhì):(1); (2);二. 不定積分常規(guī)方法 1. 熟悉基本積分公式 2. 基本方法: 拆(線性性) 3. 湊微法(基礎(chǔ)): 要求巧,簡,活()如: 4. 變量代換:(1)

8、常用(三角代換,根式代換,倒代換): (2)作用與引伸(化簡): 5. 分部積分(巧用):(1)含需求導(dǎo)的被積函數(shù)(如); (2)“反對(duì)冪三指”: (3)特別: (*已知的原函數(shù)為; *已知)6. 特例: (1); (2)快速法; (3)三. 定積分: 1. 概念性質(zhì): (1)積分和式(可積的必要條件:有界, 充分條件:連續(xù)) (2)幾何意義(面積,對(duì)稱性,周期性,積分中值) *; * (3)附: , ) (4)定積分與變限積分, 反常積分的區(qū)別聯(lián)系與側(cè)重2: 變限積分的處理(重點(diǎn)) (1)可積連續(xù), 連續(xù)可導(dǎo) (2); ; (3)由函數(shù)參與的求導(dǎo), 極限, 極值, 積分(方程)問題3. 公式

9、: (在上必須連續(xù)!) 注: (1)分段積分,對(duì)稱性(奇偶), 周期性 (2)有理式,三角式,根式 (3)含的方程.4. 變量代換:(1), (2)(如:) (3), (4); , (5),5. 分部積分 (1)準(zhǔn)備時(shí)“湊常數(shù)”(2)已知或時(shí), 求 6. 附: 三角函數(shù)系的正交性:四. 反常積分: 1. 類型: (1) (連續(xù)) (2): (在處為無窮間斷) 2. 斂散; 3. 計(jì)算: 積分法公式極限(可換元與分部) 4. 特例: (1); (2)五. 應(yīng)用: (柱體側(cè)面積除外) 1. 面積, (1) (2); (3); (4)側(cè)面積: 2. 體積: (1); (2) (3)與 3. 弧長:

10、(1) (2) (3): 4. 物理(數(shù)一,二)功,引力,水壓力,質(zhì)心,5. 平均值(中值定理): (1); (2), (以為周期:)第四講: 微分方程一. 基本概念 1. 常識(shí): 通解, 初值問題與特解(注: 應(yīng)用題中的隱含條件) 2. 變換方程: (1)令(如歐拉方程) (2)令(如伯努利方程)3. 建立方程(應(yīng)用題)的能力二. 一階方程:1. 形式: (1); (2); (3) 2. 變量分離型: (1)解法: (2)“偏”微分方程: ; 3. 一階線性(重點(diǎn)): (1)解法(積分因子法): (2)變化: ; (3)推廣: 伯努利(數(shù)一) 4. 齊次方程: (1)解法: (2)特例: 5

11、. 全微分方程(數(shù)一): 且6. 一階差分方程(數(shù)三): 三. 二階降階方程 1. : 2. : 令 3. : 令四. 高階線性方程: 1.通解結(jié)構(gòu): (1)齊次解: (2)非齊次特解: 2. 常系數(shù)方程: (1)特征方程與特征根: (2)非齊次特解形式確定: 待定系數(shù); (附: 的算子法) (3)由已知解反求方程.3. 歐拉方程(數(shù)一): , 令五. 應(yīng)用(注意初始條件): 1. 幾何應(yīng)用(斜率, 弧長, 曲率, 面積, 體積); 注: 切線和法線的截距 2. 積分等式變方程(含變限積分); 可設(shè) 3. 導(dǎo)數(shù)定義立方程: 含雙變量條件的方程 4. 變化率(速度) 5. 6. 路徑無關(guān)得方程(

12、數(shù)一): 7. 級(jí)數(shù)與方程:(1)冪級(jí)數(shù)求和; (2)方程的冪級(jí)數(shù)解法:8. 彈性問題(數(shù)三) 第五講: 多元微分與二重積分一. 二元微分學(xué)概念 1. 極限, 連續(xù), 單變量連續(xù), 偏導(dǎo), 全微分, 偏導(dǎo)連續(xù)(必要條件與充分條件), (1) (2) (3) (判別可微性) 注: 點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)與全微分的極限定義:2. 特例: (1): 點(diǎn)處可導(dǎo)不連續(xù); (2): 點(diǎn)處連續(xù)可導(dǎo)不可微;二. 偏導(dǎo)數(shù)與全微分的計(jì)算: 1. 顯函數(shù)一,二階偏導(dǎo): 注: (1)型; (2); (3)含變限積分 2. 復(fù)合函數(shù)的一,二階偏導(dǎo)(重點(diǎn)):熟練掌握記號(hào)的準(zhǔn)確使用 3. 隱函數(shù)(由方程或方程組確定):(1)形式:

13、*; *(存在定理)(2)微分法(熟練掌握一階微分的形式不變性): (要求: 二階導(dǎo)) (3)注: 與的及時(shí)代入 (4)會(huì)變換方程.三. 二元極值(定義?); 1. 二元極值(顯式或隱式):(1)必要條件(駐點(diǎn)); (2)充分條件(判別) 2. 條件極值(拉格朗日乘數(shù)法) (注: 應(yīng)用) (1)目標(biāo)函數(shù)與約束條件: , (或: 多條件) (2)求解步驟: , 求駐點(diǎn)即可. 3. 有界閉域上最值(重點(diǎn)). (1) (2)實(shí)例: 距離問題四. 二重積分計(jì)算:1. 概念與性質(zhì)(“積”前工作): (1), (2)對(duì)稱性(熟練掌握):*域軸對(duì)稱; *奇偶對(duì)稱; *字母輪換對(duì)稱;*重心坐標(biāo); (3)“分塊

14、”積分: *; *分片定義; *奇偶 2. 計(jì)算(化二次積分): (1)直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)選擇(轉(zhuǎn)換): 以“”為主; (2)交換積分次序(熟練掌握). 3. 極坐標(biāo)使用(轉(zhuǎn)換): 附: ; ;雙紐線 4. 特例: (1)單變量: 或 (2)利用重心求積分: 要求: 題型, 且已知的面積與重心5.無界域上的反常二重積分(數(shù)三)五: 一類積分的應(yīng)用(): 1. “尺寸”: (1); (2)曲面面積(除柱體側(cè)面); 2. 質(zhì)量, 重心(形心), 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量; 3. 為三重積分, 格林公式, 曲面投影作準(zhǔn)備.第六講: 無窮級(jí)數(shù)(數(shù)一,三)一. 級(jí)數(shù)概念 1. 定義: (1), (2); (3) (如)

15、注: (1); (2)(或); (3)“伸縮”級(jí)數(shù):收斂收斂. 2. 性質(zhì):(1)收斂的必要條件: ; (2)加括號(hào)后發(fā)散,則原級(jí)數(shù)必發(fā)散(交錯(cuò)級(jí)數(shù)的討論); (3); 二. 正項(xiàng)級(jí)數(shù) 1. 正項(xiàng)級(jí)數(shù): (1)定義: ; (2)特征:; (3)收斂(有界) 2. 標(biāo)準(zhǔn)級(jí)數(shù): (1), (2), (3) 3. 審斂方法: (注:,) (1)比較法(原理):(估計(jì)), 如; (2)比值與根值: *(應(yīng)用: 冪級(jí)數(shù)收斂半徑計(jì)算)三. 交錯(cuò)級(jí)數(shù)(含一般項(xiàng)): () 1. “審”前考察: (1) (2); (3)絕對(duì)(條件)收斂? 注: 若,則發(fā)散 2. 標(biāo)準(zhǔn)級(jí)數(shù): (1); (2); (3) 3. 萊

16、布尼茲審斂法(收斂?) (1)前提: 發(fā)散; (2)條件: ; (3)結(jié)論: 條件收斂. 4. 補(bǔ)充方法: (1)加括號(hào)后發(fā)散, 則原級(jí)數(shù)必發(fā)散; (2). 5. 注意事項(xiàng): 對(duì)比 ; ; ; 之間的斂散關(guān)系四. 冪級(jí)數(shù): 1. 常見形式:(1), (2), (3) 2. 阿貝爾定理: (1)結(jié)論: 斂; 散 (2)注: 當(dāng)條件收斂時(shí) 3. 收斂半徑,區(qū)間,收斂域(求和前的準(zhǔn)備) 注(1)與同收斂半徑 (2)與之間的轉(zhuǎn)換 4. 冪級(jí)數(shù)展開法:(1)前提: 熟記公式(雙向,標(biāo)明斂域); (2)分解: (注:中心移動(dòng)) (特別: ) (3)考察導(dǎo)函數(shù): (4)考察原函數(shù): 5. 冪級(jí)數(shù)求和法(注:

17、 *先求收斂域, *變量替換):(1) (2),(注意首項(xiàng)變化) (3), (4)的微分方程 (5)應(yīng)用:. 6. 方程的冪級(jí)數(shù)解法 7. 經(jīng)濟(jì)應(yīng)用(數(shù)三):(1)復(fù)利: ; (2)現(xiàn)值: 五. 傅里葉級(jí)數(shù)(數(shù)一):() 1. 傅氏級(jí)數(shù)(三角級(jí)數(shù)): 2. 充分條件(收斂定理): (1)由(和函數(shù)) (2) 3. 系數(shù)公式: 4. 題型:(注: ) (1)且(分段表示) (2)或 (3)正弦或余弦*(4)()*5. 6. 附產(chǎn)品: 第七講: 向量,偏導(dǎo)應(yīng)用與方向?qū)?數(shù)一)一. 向量基本運(yùn)算1.; (平行)2. ; (單位向量(方向余弦)3. ; (投影:; 垂直:; 夾角:)4. ; (法向:

18、; 面積:)二. 平面與直線1.平面 (1)特征(基本量): (2)方程(點(diǎn)法式): (3)其它: *截距式; *三點(diǎn)式 2.直線 (1)特征(基本量): (2)方程(點(diǎn)向式): (3)一般方程(交面式): (4)其它: *二點(diǎn)式;*參數(shù)式;(附: 線段的參數(shù)表示:) 3. 實(shí)用方法: (1)平面束方程: (2)距離公式: 如點(diǎn)到平面的距離(3)對(duì)稱問題; (4)投影問題.三. 曲面與空間曲線(準(zhǔn)備) 1. 曲面 (1)形式: 或; (注: 柱面) (2)法向 (或) 2. 曲線(1)形式,或; (2)切向: (或)3. 應(yīng)用 (1)交線, 投影柱面與投影曲線; (2)旋轉(zhuǎn)面計(jì)算: 參式曲線繞

19、坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn); (3)錐面計(jì)算.四. 常用二次曲面 1. 圓柱面:2. 球面: 變形: , 3. 錐面: 變形: , 4. 拋物面: , 變形: , 5. 雙曲面: 6. 馬鞍面: , 或五. 偏導(dǎo)幾何應(yīng)用1. 曲面 (1)法向: , 注: (2)切平面與法線: 2. 曲線 (1)切向: (2)切線與法平面 3. 綜合: , 六. 方向?qū)c梯度(重點(diǎn))1. 方向?qū)?方向斜率): (1)定義(條件): (2)計(jì)算(充分條件:可微): 附: (3)附: 2. 梯度(取得最大斜率值的方向) : (1)計(jì)算:; (2)結(jié)論;取為最大變化率方向;為最大方向?qū)?shù)值.第八講: 三重積分與線面積分(數(shù)一)一.

20、三重積分() 1. 域的特征(不涉及復(fù)雜空間域): (1)對(duì)稱性(重點(diǎn)): 含: 關(guān)于坐標(biāo)面; 關(guān)于變量; 關(guān)于重心 (2)投影法: (3)截面法: (4)其它: 長方體, 四面體, 橢球 2. 的特征: (1)單變量, (2), (3), (4) 3. 選擇最適合方法: (1)“積”前: *; *利用對(duì)稱性(重點(diǎn)) (2)截面法(旋轉(zhuǎn)體): (細(xì)腰或中空, , ) (3)投影法(直柱體): (4)球坐標(biāo)(球或錐體): , (5)重心法(): 4. 應(yīng)用問題: (1)同第一類積分: 質(zhì)量, 質(zhì)心, 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量, 引力 (2)公式二. 第一類線積分()1. “積”前準(zhǔn)備: (1); (2)對(duì)稱性; (3)代入