立體幾何中的軌跡問(wèn)題總結(jié)講義練習(xí)

1、立體幾何中的軌跡問(wèn)題在立體幾何中，某些點(diǎn)、線、面依一定的規(guī)則運(yùn)動(dòng)，構(gòu)成各式各樣的軌跡，探求空間軌跡與求平面軌跡類似，應(yīng)注意幾何條件，善于基本軌跡轉(zhuǎn)化對(duì)于較為復(fù)雜的軌跡，常常要分段考慮，注意特定情況下的動(dòng)點(diǎn)的位置，然后對(duì)任意情形加以分析判定，也可轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題對(duì)每一道軌跡命題必須特別注意軌跡的純粹性與完備性立體幾何中的最值問(wèn)題一般是指有關(guān)距離的最值、角的最值或面積的最值的問(wèn)題其一般方法有：1、 幾何法：通過(guò)證明或幾何作圖，確定圖形中取得最值的特殊位置，再計(jì)算它的值；ABCDEFGPOMNS2、 代數(shù)方法：分析給定圖形中的數(shù)量關(guān)系，選取適當(dāng)?shù)淖宰兞考澳繕?biāo)函數(shù)，確定函數(shù)解析式，利用函數(shù)的單調(diào)性、有界

2、性，以及不等式的均值定理等，求出最值軌跡問(wèn)題【例1】 如圖，在正四棱錐SABCD中，E是BC的中點(diǎn)，P點(diǎn)在側(cè)面SCD內(nèi)及其邊界上運(yùn)動(dòng)，并且總是保持PEAC則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡與SCD組成的相關(guān)圖形最有可能的是 ( )PPPPSCDSCDSCDSCDABCD解析：如圖，分別取CD、SC的中點(diǎn)F、G，連結(jié)EF、EG、FG、BD設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為O，連結(jié)SO，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是SCD的中位線FG由正四棱錐可得SBAC，EFAC又EGSBEGACAC平面EFG，PFG，E平面EFG，ACPE另解：本題可用排除法快速求解B中P在D點(diǎn)這個(gè)特殊位置，顯然不滿足PEAC；C中P點(diǎn)所在的軌跡與CD平行，它與CF成角，

3、顯然不滿足PEAC；D于中P點(diǎn)所在的軌跡與CD平行，它與CF所成的角為銳角，顯然也不滿足PEAC 評(píng)析：動(dòng)點(diǎn)軌跡問(wèn)題是較為新穎的一種創(chuàng)新命題形式，它重點(diǎn)體現(xiàn)了在解析幾何與立體幾何的知識(shí)交匯處設(shè)計(jì)圖形不但考查了立體幾何點(diǎn)線面之間的位置關(guān)系，而且又能巧妙地考查求軌跡的基本方法，是表現(xiàn)最為活躍的一種創(chuàng)新題型這類立體幾何中的相關(guān)軌跡問(wèn)題，如“線線垂直”問(wèn)題，很在程度上是找與定直線垂直的平面，而平面間的交線往往就是動(dòng)點(diǎn)軌跡【例2】 (1)如圖，在正四棱柱ABCD A1B1C1D1中，E、F、G、H分別是CC1、C1D1、DD1、DC的中點(diǎn)，N是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)M在四邊形EFGH及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，則M滿足 時(shí)，

4、有MN平面B1BDD1(2) 正方體ABCD A1B1C1D1中，P在側(cè)面BCC1B1及其邊界上運(yùn)動(dòng)，且總保持APBD1，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是 線段B1C (3) 正方體ABCD A1B1C1D1中，E、F分別是棱A1B1，BC 上的動(dòng)點(diǎn)，且A1E=BF，P為EF的中點(diǎn)，則點(diǎn)P的軌跡是 線段MN(M、N分別為前右兩面的中心)(4) 已知正方體ABCD A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，在正方體的側(cè)面BCC1B1上到點(diǎn)A距離為的點(diǎn)的集合形成一條曲線，那么這條曲線的形狀是 ，它的長(zhǎng)度是 ABCDD1C1B1A1PNABCDD1C1B1A1MGEHFABCDD1C1B1A1PABCDD1C1B1A1EFP(1

5、)(2)(3)(4)若將“在正方體的側(cè)面BCC1B1上到點(diǎn)A距離為的點(diǎn)的集合”改為“在正方體表面上與點(diǎn)A距離為的點(diǎn)的集合” 那么這條曲線的形狀又是 ，它的長(zhǎng)度又是 ABCDD1C1B1A1P【例3】 (1)(04北京)在正方體ABCD-A1B1C1D1中，P是側(cè)面BB1C1C內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，若P到直線BC與直線C1D1的距離相等，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡所在的曲線是 ( D )A A直線 B圓 C雙曲線 D拋物線lABC變式：若將“P到直線BC與直線C1D1的距離相等”改為“P到直線BC與直線C1D1的距離之比為1：2(或2：1)”， 則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡所在的曲線是 橢圓 (雙曲線)(2)(06北京)平面的斜線A

6、B交于點(diǎn)B，過(guò)定點(diǎn)A的動(dòng)直線l與AB垂直，且交于點(diǎn)C，則動(dòng)點(diǎn)C的軌跡是 (A )A一條直線B一個(gè)圓 C一個(gè)橢圓 D雙曲線的一支ABCDD1C1B1A1MP解：設(shè)l與l¢是其中的兩條任意的直線，則這兩條直線確定一個(gè)平面，且斜線AB垂直這個(gè)平面，由過(guò)平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知直線垂直可知過(guò)定點(diǎn)A與AB垂直所有直線都在這個(gè)平面內(nèi)，故動(dòng)點(diǎn)C都在這個(gè)平面與平面的交線上，故選A(3)已知正方體ABCD A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，M在棱AB上，且AM=，點(diǎn)P到直線A1D1的距離與點(diǎn)P到點(diǎn)M的距離的平方差為1，則點(diǎn)P的軌跡為 拋物線 ABCDD1C1B1A1MN3323(4)已知正方體ABC

7、D A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為3，長(zhǎng)為2的線段MN點(diǎn)一個(gè)端點(diǎn)M在DD1上運(yùn)動(dòng)，另一個(gè)端點(diǎn)N在底面ABCD上運(yùn)動(dòng)，則MN的中點(diǎn)P的軌跡與正方體的面所圍成的幾何體的體積為 【例4】 (04重慶)若三棱錐A-BCD的側(cè)面ABC內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)P到底面BCD的距離與到棱AB的距離相等，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡與ABC組成圖形可能是：( D )ABCPABCPABCPABCPABCD【例5】 四棱錐P-ABCD，AD面PAB，BC面PAB，底面ABCD為梯形，AD=4，BC=8，AB=6，APD=CPB，滿足上述條件的四棱錐的頂點(diǎn)P的軌跡是()A圓B不完整的圓C拋物線D拋物線的一部分PABCD分析：AD面PAB，BC平面P

8、ABADBC且ADPA，CBPBAPD=CPBtanAPD=tanCPB=PB=2PA在平面APB內(nèi)，以AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A(-3，0)、B(3，0)，設(shè)P(x，y)(y0)，則(x-3)2+y2=4(x+3)2+y2(y0)即(x+5)2+y2=16(y0)P的軌跡是(B)立體幾何中的軌跡問(wèn)題（教師版）1在正方體ABCD-A1B1C1D1的側(cè)面AB1內(nèi)有一點(diǎn)P到直線AB與到直線B1C1的距離相等，則動(dòng)點(diǎn)P所在曲線的形狀為（D） A線段 B一段橢圓弧 C雙曲線的一部分 D拋物線的一部分 簡(jiǎn)析本題主要考查點(diǎn)到直線距離的概念，線面垂直及拋物線的定義因?yàn)锽1C

9、1面AB1，所以PB1就是P到直線B1C1的距離，故由拋物線的定義知：動(dòng)點(diǎn)的軌跡為拋物線的一段，從而選D2在正方體ABCD-A1B1C1D1的側(cè)面AB1內(nèi)有一點(diǎn)P到直線AB的距離與到直線B1C1的距離之比為2：1，則動(dòng)點(diǎn)P所在曲線的形狀為（B） A線段 B一段橢圓弧 C雙曲線的一部分 D拋物線的一部分3在正方體ABCD-A1B1C1D1的側(cè)面AB1內(nèi)有一點(diǎn)P到直線AB的距離與到直線B1C1的距離之比為1：2，則動(dòng)點(diǎn)P所在曲線的形狀為（C） A線段 B一段橢圓弧 C雙曲線的一部分 D拋物線的一部分4在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為AA1的中點(diǎn)，點(diǎn)P在其對(duì)角面BB1D1D內(nèi)運(yùn)動(dòng)，若EP總

10、與直線AC成等角，則點(diǎn)P的軌跡有可能是（A） A圓或圓的一部分 B拋物線或其一部分 C雙曲線或其一部分 D橢圓或其一部分 簡(jiǎn)析由條件易知：AC是平面BB1D1D的法向量，所以EP與直線AC成等角，得到EP與平面BB1D1D所成的角都相等，故點(diǎn)P的軌跡有可能是圓或圓的一部分5已知正方體的棱長(zhǎng)為a，定點(diǎn)M在棱AB上（但不在端點(diǎn)A，B上），點(diǎn)P是平面ABCD內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)P到直線的距離與點(diǎn)P到點(diǎn)M的距離的平方差為a2，則點(diǎn)P的軌跡所在曲線為（A） A拋物線B雙曲線 C直線D圓 簡(jiǎn)析在正方體中，過(guò)P作PFAD，過(guò)F作FEA1D1，垂足分別為F、E，連結(jié)PE則PE2=a2+PF2，又PE2-PM2=a2

11、，所以PM2=PF2，從而PMPF，故點(diǎn)P到直線AD與到點(diǎn)M的距離相等，故點(diǎn)P的軌跡是以M為焦點(diǎn)，AD為準(zhǔn)線的拋物線6在正方體中，點(diǎn)P在側(cè)面BCC1B1及其邊界上運(yùn)動(dòng)，總有APBD1，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為_(kāi) 簡(jiǎn)析在解題中，我們要找到運(yùn)動(dòng)變化中的不變因素，通常將動(dòng)點(diǎn)聚焦到某一個(gè)平面易證BD1面ACB1，所以滿足BD1AP的所有點(diǎn)P都在一個(gè)平面ACB1上而已知條件中的點(diǎn)P是在側(cè)面BCC1B1及其邊界上運(yùn)動(dòng)，因此，符合條件的點(diǎn)P在平面ACB1與平面BCC1B1交線上，故所求的軌跡為線段B1C本題的解題基本思路是：利用升維，化“動(dòng)”為“靜”，即先找出所有點(diǎn)的軌跡，然后縮小到符合條件的點(diǎn)的軌跡7在正四棱錐S

12、-ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在側(cè)面SCD內(nèi)及其邊界上運(yùn)動(dòng)，總有PEAC，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為_(kāi) 答案線段MN（M、N分別為SC、CD的中點(diǎn)）8若A、B為平面的兩個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)P在外，PB，動(dòng)點(diǎn)C（不同于A、B）在內(nèi)，且PCAC，則動(dòng)點(diǎn)C在平面內(nèi)的軌跡是_（除去兩點(diǎn)的圓）9若三棱錐ABCD的側(cè)面ABC內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)P到底面BCD的距離與到棱AB的距離相等，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡與ABC組成的圖形可能是：（D） 簡(jiǎn)析動(dòng)點(diǎn)P在側(cè)面ABC內(nèi)，若點(diǎn)P到AB的距離等于到棱BC的距離，則點(diǎn)P在的內(nèi)角平分線上現(xiàn)在P到平面BCD的距離等于到棱AB的距離，而P到棱BC的距離大于P到底面BCD的距離，于是，P到棱AB的距離小于P到

13、棱BC的距離，故動(dòng)點(diǎn)P只能在的內(nèi)角平分線與AB之間的區(qū)域內(nèi)只能選D10已知P是正四面體S-ABC的面SBC上一點(diǎn)，P到面ABC的距離與到點(diǎn)S的距離相等，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡所在的曲線是（B） A圓B橢圓 C雙曲線D拋物線 解題的要領(lǐng)就是化空間問(wèn)題為平面問(wèn)題，把一些重要元素集中在某一個(gè)平面內(nèi)，利用相關(guān)的知識(shí)去解答，象平面幾何知識(shí)、解析幾何知識(shí)等11已知正方體的棱長(zhǎng)為1，在正方體的側(cè)面上到點(diǎn)A距離為的點(diǎn)的軌跡形成一條曲線，那么這條曲線的形狀是_，它的長(zhǎng)度為_(kāi) 簡(jiǎn)析以B為圓心，半徑為且圓心角為的圓弧，長(zhǎng)度為12已知長(zhǎng)方體中，在線段BD、上各有一點(diǎn)P、Q，PQ上有一點(diǎn)M，且，則M點(diǎn)軌跡圖形的面積是 提示軌跡

14、的圖形是一個(gè)平行四邊形13已知棱長(zhǎng)為3的正方體中，長(zhǎng)為2的線段MN的一個(gè)端點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，另一個(gè)端點(diǎn)N在底面ABCD上運(yùn)動(dòng)，求MN中點(diǎn)P的軌跡與正方體的面所圍成的幾何體的體積 簡(jiǎn)析由于M、N都是運(yùn)動(dòng)的，所以求的軌跡必須化“動(dòng)”為“靜”，結(jié)合動(dòng)點(diǎn)P的幾何性質(zhì)，連結(jié)DP，因?yàn)镸N=2，所以PD=1，因此點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)以D為球心，1為半徑的球面在正方體內(nèi)的部分，所以點(diǎn)P的軌跡與正方體的表面所圍成的幾何體的體積為球的體積的，即14已知平面平面，直線，點(diǎn)，平面、間的距離為4，則在內(nèi)到點(diǎn)P的距離為5且到直線的距離為的點(diǎn)的軌跡是（ ）A一個(gè)圓B兩條平行直線C四個(gè)點(diǎn)D兩個(gè)點(diǎn)簡(jiǎn)析：如圖，設(shè)點(diǎn)P在平面內(nèi)的射影是O，

15、則OP是、的公垂線，OP=4在內(nèi)到點(diǎn)P的距離等于5的點(diǎn)到O的距離等于3，可知所求點(diǎn)的軌跡是內(nèi)在以O(shè)為圓心，3為半徑的圓上又在內(nèi)到直線的距離等于的點(diǎn)的集合是兩條平行直線m、n，它們到點(diǎn)O的距離都等于，所以直線m、n與這個(gè)圓均相交，共有四個(gè)交點(diǎn)因此所求點(diǎn)的軌跡是四個(gè)點(diǎn)，故選C16在四棱錐中，面PAB，面PAB，底面ABCD為梯形，AD=4，BC=8，AB=6，滿足上述條件的四棱錐的頂點(diǎn)P的軌跡是（ ）A圓B不完整的圓C拋物線D拋物線的一部分簡(jiǎn)析：因?yàn)槊鍼AB，面PAB，所以AD/BC，且又，可得，即得在平面PAB內(nèi)，以AB所在直線為x軸，AB中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，則A（-3，0）、

16、B（3，0）設(shè)點(diǎn)P（x，y），則有，整理得由于點(diǎn)P不在直線AB上，故此軌跡為一個(gè)不完整的圓，選B17如圖，定點(diǎn)A和B都在平面內(nèi)，定點(diǎn)PC是內(nèi)異于A和B的動(dòng)點(diǎn)且，那么動(dòng)點(diǎn)C在平面內(nèi)的軌跡是（ ）A一條線段，但要去掉兩個(gè)點(diǎn)B一個(gè)圓，但要去掉兩個(gè)點(diǎn)C一個(gè)橢圓，但要去掉兩個(gè)點(diǎn)D半圓，但要去掉兩個(gè)點(diǎn)簡(jiǎn)析：因?yàn)?，且PC在內(nèi)的射影為BC，所以，即所以點(diǎn)C的軌跡是以AB為直徑的圓且去掉A、B兩點(diǎn)，故選B18如圖，在正方體中，P是側(cè)面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，若P到直線BC與直線的距離相等，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡所在的曲線是（ ）A直線B圓C雙曲線D拋物線簡(jiǎn)析：因?yàn)镻到的距離即為P到的距離，所以在面內(nèi)，P到定點(diǎn)的距離與P到定直線BC的

17、距離相等由圓錐曲線的定義知?jiǎng)狱c(diǎn)P的軌跡為拋物線，故選D19已知正方體的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)P是平面AC內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)P到直線的距離等于點(diǎn)P到直線CD的距離，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡所在的曲線是（ ）A拋物線B雙曲線C橢圓D直線簡(jiǎn)析：如圖4，以A為原點(diǎn)，AB為x軸、AD為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系設(shè)P（x，y），作于E、于F，連結(jié)EF，易知又作于N，則依題意，即，化簡(jiǎn)得故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為雙曲線，選B20如圖，AB是平面的斜線段，A為斜足，若點(diǎn)P在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，使得ABP的面積為定值，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是（ ）（A）圓 （B）橢圓 （C）一條直線 （D）兩條平行直線分析：由于線段AB是定長(zhǎng)線段，而ABP的面積為定值，所以動(dòng)點(diǎn)

18、P到線段AB的距離也是定值由此可知空間點(diǎn)P在以AB為軸的圓柱側(cè)面上又P在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，所以這個(gè)問(wèn)題相當(dāng)于一個(gè)平面去斜切一個(gè)圓柱(AB是平面的斜線段)，得到的切痕是橢圓P的軌跡就是圓柱側(cè)面與平面的交線 21如圖，動(dòng)點(diǎn)在正方體的對(duì)角線上過(guò)點(diǎn)作垂直于平面的直線，與正方體表面相交于設(shè)，則函數(shù)的圖象大致是（ ）ABCDMNPA1B1C1D1yxAOyxBOyxCOyxDO分析：將線段MN投影到平面ABCD內(nèi)，易得y為x一次函數(shù)22已知異面直線a，b成角，公垂線段MN的長(zhǎng)等于2，線段AB兩個(gè)端點(diǎn)A、B分別在a，b上移動(dòng)，且線段AB長(zhǎng)等于4，求線段AB中點(diǎn)的軌跡方程圖5簡(jiǎn)析：如圖5，易知線段AB的中點(diǎn)P在公垂

19、線段MN的中垂面上，直線、為平面內(nèi)過(guò)MN的中點(diǎn)O分別平行于a、b的直線，于，于，則，且P也為的中點(diǎn)由已知MN=2，AB=4，易知得則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求長(zhǎng)等于的線段的兩個(gè)端點(diǎn)、分別在、上移動(dòng)時(shí)其中點(diǎn)P的軌跡現(xiàn)以的角平分線為x軸，O為原點(diǎn)建立如圖6所示的平面直角坐標(biāo)系圖6設(shè)，則消去m、n，得線段AB的中點(diǎn)P的軌跡為橢圓，其方程為點(diǎn)評(píng)：例5和例6分別將立體幾何與解析幾何中的雙曲線與橢圓巧妙地整合在一起，相互交匯和滲透，有利于培養(yǎng)運(yùn)用多學(xué)科知識(shí)解決問(wèn)題的能力立體幾何中的軌跡問(wèn)題1在正方體ABCD-A1B1C1D1的側(cè)面AB1內(nèi)有一點(diǎn)P到直線AB與到直線B1C1的距離相等，則動(dòng)點(diǎn)P所在曲線的形狀為 （ ） A

20、線段 B一段橢圓弧 C雙曲線的一部分 D拋物線的一部分2在正方體ABCD-A1B1C1D1的側(cè)面AB1內(nèi)有一點(diǎn)P到直線AB的距離與到直線B1C1的距離之比為2：1，則動(dòng)點(diǎn)P所在曲線的形狀為（ ） A線段 B一段橢圓弧 C雙曲線的一部分 D拋物線的一部分3在正方體ABCD-A1B1C1D1的側(cè)面AB1內(nèi)有一點(diǎn)P到直線AB的距離與到直線B1C1的距離之比為1：2，則動(dòng)點(diǎn)P所在曲線的形狀為（ ） A線段 B一段橢圓弧 C雙曲線的一部分 D拋物線的一部分4在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為AA1的中點(diǎn)，點(diǎn)P在其對(duì)角面BB1D1D內(nèi)運(yùn)動(dòng)，若EP總與直線AC成等角，則點(diǎn)P的軌跡有可能是（ ） A圓

21、或圓的一部分 B拋物線或其一部分 C雙曲線或其一部分 D橢圓或其一部分5已知正方體的棱長(zhǎng)為a，定點(diǎn)M在棱AB上（但不在端點(diǎn)A，B上），點(diǎn)P是平面ABCD內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)P到直線的距離與點(diǎn)P到點(diǎn)M的距離的平方差為a2，則點(diǎn)P的軌跡所在曲線為（ ） A拋物線B雙曲線 C直線D圓6若三棱錐ABCD的側(cè)面ABC內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)P到底面BCD的距離與到棱AB的距離相等，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡與ABC組成的圖形可能是 （ ）A B C D7已知P是正四面體S-ABC的面SBC上一點(diǎn)，P到面ABC的距離與到點(diǎn)S的距離相等，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡所在的曲線是（ ） A圓B橢圓 C雙曲線D拋物線8已知平面平面，直線，點(diǎn)，平面、間的距離為4，則在內(nèi)到點(diǎn)P的距離為5且到直線的距離為的點(diǎn)的軌跡是（ ）A一個(gè)圓B兩條平行直線C四個(gè)點(diǎn)D兩個(gè)點(diǎn)9在四棱錐中，面PAB，面PAB，底面ABCD為梯形，AD=4，BC=8，AB=6，滿足上述條件的四棱錐的頂點(diǎn)P的軌跡是（ ）A圓B不完整的圓C拋物線D拋物線的一部分10如圖，定點(diǎn)A和B都在平面內(nèi)，定