相似三角形綜合大題

1、相似三角形綜合大題一解答題（共30小題）1（2012昌平區(qū)二模）如圖，在RtABC中，ABC=90，過點(diǎn)B作BDAC于D，BE平分DBC，交AC于E，過點(diǎn)A作AFBE于G，交BC于F，交BD于H（1）若BAC=45，求證：AF平分BAC；FC=2HD（2）若BAC=30，請直接寫出FC與HD的等量關(guān)系2（2012香坊區(qū)二模）已知：在ABC中，ACB=90，AC=2BC，D是線段AC上一點(diǎn)，E是線段CD上一點(diǎn)，過點(diǎn)D作DFBE交BE的延長線于點(diǎn)F，連接CF（1）當(dāng)點(diǎn)D是線段AC的中點(diǎn)時(shí)（如圖1），求證：BFDF=CF：（2）當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)A重合時(shí)，在線段EF上取點(diǎn)G，使GF=DF，連接DG并延長交C

2、F于點(diǎn)H，交 BC延長線相交于點(diǎn)P（如圖2），CH：HF=4：5，EG=，求PH的長3（2012西青區(qū)一模）在ABC中，ACB=90，ABC=30，將ABC繞頂點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為 （0180），得到ABC（）如圖，當(dāng)ABCB時(shí)，設(shè)AB與CB相交于點(diǎn)D證明：ACD是等邊三角形；（）如圖，連接AA、BB，設(shè)ACA和BCB的面積分別為S1、S2求證：S1：S2=1：3；（）如圖，設(shè)AC的中點(diǎn)為E，AB的中點(diǎn)為P，AC=a，連接EP求當(dāng)為何值時(shí)，EP的長度最大，并寫出EP的最大值 （直接寫出結(jié)果即可）4（2012南崗區(qū)校級二模）在ABC中，已知BAC=45，高線CD與高線AE相交于點(diǎn)H，連接DE

3、（1）如圖1，ABC為銳角三角形時(shí)，求證：AECE=DE；（2）如圖2，在（1）的條件下，作AEC的平分線交AC于點(diǎn)F，連接DF交AE于點(diǎn)G，若BD=CF，AE=6，求GH的長5（2012徐匯區(qū)校級模擬）在OAC中，AOC=90，OB=6，BC=12，ABO+C=90，M、N分別在線段AB、AC上（1）填空：cosC=（2）如圖1，當(dāng)AM=4，且AMN與ABC相似時(shí)，AMN與ABC的面積比為；（3）如圖2，當(dāng)MNBC時(shí)，將AMN沿MN翻折，點(diǎn)A落在四邊形BCNM所在平面的點(diǎn)為點(diǎn)E，EN與射線AB交于點(diǎn)F，設(shè)MN=x，EMN與ABC重疊部分的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量的取值范

4、圍6（2012道外區(qū)二模）已知：如圖1，四邊形ABCD中，ABC=ADC=90，連接AC，tanCAD=，過點(diǎn)D作DEAB，點(diǎn)E為垂足（1）求證：AE+BC=DE；（2）連接BD，設(shè)BD與AC交于點(diǎn)F，DE與AC交于點(diǎn)G，若AG：FG=3：2，AE=6（如圖2），求線段BC的長7（2012路南區(qū)一模）如圖，在ABC中，AB=BC，ABC=120，點(diǎn)P是線段AC上的動點(diǎn)（點(diǎn)P與點(diǎn)A、點(diǎn)C不重合），連接BP將ABP繞點(diǎn)P按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角（0180），得到A1B1P，連接AA1，直線AA1分別交直線PB、直線BB1于點(diǎn)E，F(xiàn)（1）如圖，當(dāng)060時(shí)，在角變化過程中，APA1與BPB1始終存在關(guān)系（填

5、“相似”或“全等”），同時(shí)可得A1APB1BP（填“=”或“”“”關(guān)系）請說明BEF與AEP之間具有相似關(guān)系；（2）如圖，設(shè)ABP=，當(dāng)120180時(shí)，在角變化過程中，是否存在BEF與AEP全等？若存在，求出與之間的數(shù)量關(guān)系；若不存在，請說明理由；（3）如圖，當(dāng)=120時(shí)，點(diǎn)E、F與點(diǎn)B重合已知AB=4，設(shè)AP=x，S=A1BB1面積，求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式8（2012上虞市模擬）復(fù)習(xí)完“四邊形”內(nèi)容后，老師出示下題：如圖1，直角三角板的直角頂點(diǎn)P在正方形ABCD的對角線BD上移動，一直角邊始終經(jīng)過點(diǎn)C，另一直角邊交直線AB于點(diǎn)Q，連接QC求證：PQC=DBC（1）請你完成上面這道題；（2）完

6、成上題后，同學(xué)們在老師的啟發(fā)下進(jìn)行了反思，提出許多問題，如：如圖2，若將題中的條件“正方形ABCD”改為“矩形ABCD”，其余條件都不變，是否仍能得到PQC=DBC？如圖3，若將題中的條件“正方形ABCD”改為“直角梯形ABCD”，其余條件都不變，是否仍能得到PQC=DBC？請你對上述反思和作出判斷，在下列橫線上填寫“是”或“否”：；并對、中的判斷，選擇其中一個(gè)說明理由9（2012上海模擬）已知：在RtABC中，C=90，AC=4，A=60，CD是邊AB上的中線，直線BMAC，E是邊CA延長線上一點(diǎn)，ED交直線BM于點(diǎn)F，將EDC沿CD翻折得EDC，射線DE交直線BM于點(diǎn)G（1）如圖1，當(dāng)CD

7、EF時(shí)，求BF的值；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)F的右側(cè)時(shí)；求證：BDFBGD；設(shè)AE=x，DFG的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出x的取值范圍；（3）如果DFG的面積為，求AE的長10（2012道外區(qū)一模）已知：點(diǎn)P為正方形ABCD內(nèi)部一點(diǎn)，且BPC=90，過點(diǎn)P的直線分別交邊AB、邊CD于點(diǎn)E、點(diǎn)F（1）如圖1，當(dāng)PC=PB時(shí)，則SPBE、SPCF SBPC之間的數(shù)量關(guān)系為；（2）如圖2，當(dāng)PC=2PB時(shí)，求證：16SPBE+SPCF=4SBPG；（3）在（2）的條件下，Q為AD邊上一點(diǎn)，且PQF=90，連接BD，BD交QF于點(diǎn)N，若Sbpc=80，BE=6求線段DN的長11（2012

8、太原一模）如圖1，已知四邊形ABCD是正方形，對角線AC、BD相交于點(diǎn)E，以點(diǎn)E為頂點(diǎn)作正方形EFGH，使點(diǎn)A、D分別在EH和EF上，連接BH、AF（1）判斷并說明BH和AF的數(shù)量關(guān)系；（2）將正方形EFGH繞點(diǎn)E順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)（0360），設(shè)AB=a，EH=b，且a2b如圖2，連接AG，設(shè)AG=x，請直接寫出x的取值范圍；當(dāng)x取最大值時(shí)，直接寫出的值；如果四邊形ABDH是平行四邊形，請?jiān)趥溆脠D中補(bǔ)全圖形，并求a與b的數(shù)量關(guān)系12（2012武漢模擬）（1）如圖1，在ABC中，點(diǎn)D，E在邊BC上，BD：DE：CE=1：2：3，線段FGBC，分別交線段AD，AE于M、N兩點(diǎn)，則有FM：MN：NG=

9、（2）如圖2，在ABC中，BAC=90，正方形DEGF的四個(gè)頂點(diǎn)有ABC的三邊上，線段FG分別交線段AD，AE于M、N兩點(diǎn)，若BD=4，EC=9，求MN的長？（3）如圖3，在ABC中，BAC=90，正方形DEGF的四個(gè)頂點(diǎn)在ABC的三邊所在的直線上，DA與EN的延長線分別交直線FG于M、N兩點(diǎn)，求證：MN2=MFNG13（2012香坊區(qū)校級模擬）已知，等邊ABC中，D為BC上一點(diǎn)，DEAC交AB于C，M是AE上任意一點(diǎn)（M不與A、E重合），連DM，作DN平分MDC交AC于N（1）若BD=DC（如圖1），求證：EM+NC=DM；（2）在（1）的條件下，如圖2，作DFAC于F，若NF：FC=3：5

10、，AM=4，連接MN將DMN沿MN翻折，翻折后的射線MD交AC于P，連接DP交MN于點(diǎn)Q，求PQ的長14（2012香坊區(qū)一模）已知：在ABC中，AB=AC，點(diǎn)P是BC上一點(diǎn)，PC=2PB，連接AP，作APD=B交AB于點(diǎn)D連接CD，交AP于點(diǎn)E（1）如圖1，當(dāng)BAC=90時(shí)，則線段AD與BD的數(shù)量關(guān)系為；（2）如圖2，當(dāng)BAC=60時(shí)，求證：AD=BD；（3）在（2）的條件下，過點(diǎn)C作DCQ=60交PA的延長線于點(diǎn)Q如圖3，連接DQ，延長CA交DQ于點(diǎn)K，若CQ=求線段AK的長15（2012秋大豐市期末）探索繞公共頂點(diǎn)的相似多邊形的旋轉(zhuǎn)：（1）如圖1，已知：等邊ABC和等邊ADE，根據(jù)（指出三

11、角形的全等或相似），可得CE與BD的大小關(guān)系為：（2）如圖2，正方形ABCD和正方形AEFG，求：的值；（3）如圖3，矩形ABCD和矩形AEFG，AB=kBC，AE=kEF，求：的值（用k的代數(shù)式表示）16（2012秋東城區(qū)期末）如圖1，在等腰直角ABC中，BAC=90，AB=AC=2，點(diǎn)E是BC邊上一點(diǎn)，DEF=45且角的兩邊分別與邊AB，射線CA交于點(diǎn)P，Q（1）如圖2，若點(diǎn)E為BC中點(diǎn)，將DEF繞著點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，DE與邊AB交于點(diǎn)P，EF與CA的延長線交于點(diǎn)Q設(shè)BP為x，CQ為y，試求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；（2）如圖3，點(diǎn)E在邊BC上沿B到C的方向運(yùn)動（不與B，

12、C重合），且DE始終經(jīng)過點(diǎn)A，EF與邊AC交于Q點(diǎn)探究：在DEF運(yùn)動過程中，AEQ能否構(gòu)成等腰三角形，若能，求出BE的長；若不能，請說明理由17（2012秋道外區(qū)期末）已知：ACB與DCE為兩個(gè)有公共頂點(diǎn)C的等腰直角三角形，且ACB=DCE=90，AC=BC，DC=EC把DCE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，在整個(gè)旋轉(zhuǎn)過程中，設(shè)BD的中點(diǎn)為N，連接CN（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)D在BA的延長線上時(shí)，連接AE，求證：AE=2CN；（2）如圖，當(dāng)DE經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，過點(diǎn)C作CHBD，垂足為H，設(shè)AC、BD相交于F，若NH=4，BH=16，求CF的長18（2012春泰興市校級期中）在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABOC是邊長為1的正方形

13、，其中點(diǎn)B、C分別在x軸和y軸上，點(diǎn)M為y軸負(fù)半軸上一動點(diǎn)，點(diǎn)N為x軸正半軸上一動點(diǎn)，且NAM=45（1）試說明OANOMA；（2）隨著點(diǎn)N的變化，探求OMN的面積是否發(fā)生變化？如果OMN的面積不變，求出OMN的面積；如果面積發(fā)生變化，請說明理由；（3）當(dāng)AMN為等腰三角形時(shí)，請求出點(diǎn)N的坐標(biāo)19（2012秋亭湖區(qū)校級期中）已知：如圖，在直角梯形ABCD中，ADBC，B=90，CD=8，BC=12，ACB=30，E為BC邊上一點(diǎn)，以BE為邊作正BEF，使正BEF和梯形ABCD在BC的同側(cè)（l）當(dāng)正BEF的頂點(diǎn)F恰好落在對角線AC上時(shí)，求BE的長；（2）將（1）問中的正BEF沿BC向右平移，記平

14、移中的正BEF為正BEF，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)停止平移設(shè)平移的距離為x，正BEF的邊BE和EF分別與AC交于點(diǎn)M和點(diǎn)N，連接DM、DN：設(shè)正BEF與ABC重疊部分的面積為S，求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍，當(dāng)DN取得最小值時(shí)，求出S的值；是否存在這樣的x，使三角形DMN是直角三角形？若存在，求出x的值；若不存在，請說明理由 20（2012秋江陰市校級期中）如果一個(gè)點(diǎn)能與另外兩個(gè)點(diǎn)能構(gòu)成直角三角形，則稱這個(gè)點(diǎn)為另外兩個(gè)點(diǎn)的勾股點(diǎn)例如：矩形ABCD中，點(diǎn)C與A、B兩點(diǎn)可構(gòu)成直角三角形ABC，則稱點(diǎn)C為A、B兩點(diǎn)的勾股點(diǎn)同樣，點(diǎn)D也是A、B兩點(diǎn)的勾股點(diǎn)（1）在矩形ABCD中，AB=

15、12，BC=6，邊CD上A，B兩點(diǎn)的勾股點(diǎn)的個(gè)數(shù)為個(gè)；（2）如圖1，矩形ABCD中，AB=12，BC=6，DP=4，DM=8，AN=5過點(diǎn)P作直線l平行于BC，點(diǎn)H為M、N兩點(diǎn)的勾股點(diǎn)，且點(diǎn)H在直線l上，求PH的長；（3）如圖2，矩形ABCD中，AB=12，BC=6，將紙片折疊，折痕分別與CD、AB交于點(diǎn)F、G，若A、E兩點(diǎn)的勾股點(diǎn)為BC邊的中點(diǎn)M，求折痕FG的長21（2012春滄浪區(qū)校級期中）已知，正方形DEFG內(nèi)接于ABC中，且點(diǎn)E，F(xiàn)在BC上，點(diǎn)D，G分別在AB，AC上，（1）如圖，若ABC是等腰直角三角形，AB=AC，A=90，SADG=2，則SABC=（2）如圖，若ABC是直角三角形

16、，A=90，AB=4，AC=3，求正方形的邊長（3）如圖，若ABC是任意三角形，SADG=1，SBDE=3，SFCG=1，則正方形的邊長為（4）如圖，若ABC是任意三角形，求證：22（2012秋哈爾濱月考）如圖，ABC和CDE均為等邊三角形，BC邊上的中垂線AM交BC邊于點(diǎn)MCDE繞著點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)D落在直線AM上（點(diǎn)D不與點(diǎn)A、M重合）時(shí)停止，CDE在CD邊的下方，連接BE（1）如圖1所示，當(dāng)點(diǎn)D在線段AM上，求證：BE+DM=BC；（2）在（1）的條件下，設(shè)直線BE交直線AM于點(diǎn)N，如圖2所示，若，且CDE的面積為，求線段BN的長23（2012秋南崗區(qū)校級月考）如圖1，BD為矩形ABCD的對

17、角線，DBC的平分線BE交DC于點(diǎn)E，DKBE交BE的延長線于K（1）若tanDBC=，求證：BE=DK（2）如圖2，在（1）的條件下，BED繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至BED，BED的兩邊分別交BD、DK于點(diǎn)I、L，若已知：DL：LK=5：3，IL=5，求IB的長？24（2012秋靖江市校級月考）等邊ABC的邊長為2，P是BC邊上的任一點(diǎn)（與B、C不重合），連接AP，以AP為邊向兩側(cè)作等邊APD和等邊APE，分別與邊AB、AC交于點(diǎn)M、N，設(shè)BP=x（如圖1）（1）求證：AM=AN；（2）若BM=，求x的值；（3）連接DE，分別與邊AB、AC交于點(diǎn)G、H（如圖2），當(dāng)x取何值時(shí)，BAD=15？并判斷此

18、時(shí)以DG、GH、HE這三條線段為邊構(gòu)成的三角形是什么特殊三角形，請說明理由25（2011北塘區(qū)二模）如圖1，在ACD中，AC=2DC，AD=DC（1）求C的度數(shù)；（2）如圖2，延長CA到E，使AE=CD，延長CD到B，使DB=CE，AB、ED交于點(diǎn)O求證：BOD=45；（3）如圖3，點(diǎn)F、G分別是AC、BC上的動點(diǎn)，且SCFG=S四邊形AFGB，作FMBC，GNAC，分別交AB于點(diǎn)M、N，線段AM、MN、NB能否始終組成直角三角形？給出你的結(jié)論，并說明理由26（2011邯鄲一模）（1）如圖1，四邊形ACDG與四邊形ECBH都是正方形，且B，C，D在一條直線上，連接DE并延長交線段AB于點(diǎn)F求證：AB=DE，ABDE；（2）如果將（1）中的兩個(gè)正方形換成兩個(gè)矩形，如圖2，且=，則AB與DE的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系會發(fā)生什么變化？請說明你的看法和理由（3）如果將（1）中的兩個(gè)正方形換成兩個(gè)直角三角形，如圖3，BCE=ACD=90，且=k，且請直接寫出AB與DE的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系27（2011哈爾濱）已知：在ABC中，BC=2AC，DBC=ACB，BD=BC，CD交線段AB于點(diǎn)E（1）如圖1，當(dāng)ACB=90時(shí)，則線段DE、CE之間的數(shù)量關(guān)系為；（2）如圖2，當(dāng)ACB=120時(shí)，求證：DE=3CE；（3）如圖3，在（2）的條件