矩陣的合同變換

1、矩陣的合同變換摘要：矩陣的合同變換是高等代數(shù)矩陣?yán)碚撝?，基本交換。在高等代數(shù)里，我們僅討論簡單而直接的變換，而矩陣的合同變換與矩陣相似變換，二次型等有著諸多相同性質(zhì)和聯(lián)系。關(guān)鍵詞：矩陣 秩 合同 對角化定義1：如果矩陣A可以經(jīng)過一系列初等變換變成B，則積A與B等價(jià)，記為定義2：設(shè)A，B都是數(shù)域F上的n階方陣，如果存在數(shù)域F上的n階段可逆矩陣P使得，則稱A和B相似定義3：設(shè)A，B都是數(shù)域F上的n階矩陣，如果存在數(shù)域F上的一個(gè)n階可逆矩陣P，使得那么就說，在數(shù)域F上B與A合同。以上三個(gè)定義，都具有自反性、傳逆性、對稱性、 性。定理1：合同變換與相似變換都是等價(jià)變換證明：僅證合同變換，相似變換完全相

2、似因?yàn)镻可逆，所以P存在一系列初等矩陣的乘積，即。此時(shí)邊為一系列初等矩陣的乘積若 則B由A經(jīng)過一系列初等變換得到。所以，從而知合同變換是等價(jià)變換。定理2：合同變換與相似變換，不改變矩陣的秩證明：由 知，合同變換與相似變換都是等價(jià)變換，所以不改變秩定理3：相似矩陣有相同特征多項(xiàng)式證明：共又因?yàn)闉閷ΨQ矩陣所以 注合同不一定有相同特征多項(xiàng)式定理4：如果A與B都是n階實(shí)對稱矩陣，且有相同特征根，則A與B相似且合同論：設(shè)A，B為特征根均為，因?yàn)锳與B實(shí)對稱矩陣，所以則在n階正 矩陣，使得從而有由從而有從而又由于為正交矩陣所以且定時(shí)5：兩合同矩陣，若即，若A為對稱矩陣，則B為對稱陣，而兩相似矩陣則不一定有

3、些性質(zhì)證明：即，若對稱陣，則 所以B邊為對稱陣注：相似矩陣對此結(jié)論不具有一般性，它在什么情況下成立呢？引理6：對稱矩陣相似于對角陣A的每一個(gè)特征根有秩，S為的重?cái)?shù).證明：任給對稱的n階矩陣A一個(gè)特征根，以其重?cái)?shù)以秩，則，線性無關(guān)的解向量個(gè)數(shù)為個(gè)，即5個(gè)又因?qū)俨煌卣鞲奶卣飨蛄烤€性無關(guān)n階對稱陣A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量n階對稱陣可對角化從定理5，引理6中我們發(fā)現(xiàn)了合同在應(yīng)用中的側(cè)重點(diǎn)，如對二次型應(yīng)用例 求一非線性替換，把二次型二次型矩陣為對A相同列與行初等變換，對矩陣E，施行列初等變換可把二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型解法（2）此時(shí)此時(shí)非線性退化替換為發(fā)現(xiàn)在注1：任意對稱陣合同的對角陣及其變換陣不是唯一確

4、定的特性1：在合同變換中具有變換和結(jié)果的多樣性注：在對角陣上元素相等及其它元素元素邊相等情況下又有哪些性質(zhì)呢？例3用可逆性變換化二次型解：對二次型矩陣為標(biāo)準(zhǔn)形，則注當(dāng)P改變兩行的位置交換后，發(fā)現(xiàn)定理2：在A為對角線上元素相等，其余元素也相等，則若有，則調(diào)整P的任意兩行，對角陣形式不變。證明：設(shè)初等變換的對調(diào)變換矩陣為J，顯然于是有而P與JP相比僅是行的排列順序不同，因此任意調(diào)整P的行，所得對角陣相同。注以上為特殊條件下成立，如果在一般情況下呢？例4求實(shí)對稱矩陣求可逆陣P使得為對角陣我們得到定理7：設(shè) 對稱矩陣，B為對角矩陣，若要調(diào)換B對角線上任意兩個(gè)元素的位置得到，則只要調(diào)控B中對左的兩列，可

5、得到P，使得，即P的列與B中元素的對應(yīng)性。證明：初等調(diào)換矩陣為J，顯然與相比，只是列的排列順序發(fā)生了改變的列與B的對角線上元素具有對應(yīng)性自己寫例定理8：如果對角線上的元素分別擴(kuò)大得，則不要將P中對應(yīng)的對應(yīng)角線元素?cái)U(kuò)大，即可得到使得證明：設(shè)初等變換的倍乘變換矩陣為（對角線上第J個(gè)元素）形，則有中第J個(gè)元素為B的倍而，且其中對角線J個(gè)元素是P中對角線元素CJ倍。例：已知對稱矩陣求可逆矩陣P，使且對角形式解對單位陣E進(jìn)行相應(yīng)列初等變換得則有則此時(shí)有得綜上所述合同變換不僅與相似變換有著某千絲萬縷的聯(lián)系，而且其本身也有著變換矩陣多樣多樣，和結(jié)果的不確性，在對其特 性與性質(zhì)的聯(lián)系中帶來許多解題更多思路與方

6、法。主要參考文獻(xiàn)1北大數(shù)學(xué)系，高等代數(shù)第二版2上海交大線性代數(shù)編寫。線性代數(shù)（第三版）M3張禾瑞 高等代數(shù)M4付立志對稱矩陣對角化相似變換模型5王曉玲矩陣三種關(guān)系問聯(lián)系6 Brickell EF A Few Results in message Autheutication congress Numerantium 1984 43 141154矩陣的合同變換及性質(zhì)定義：設(shè)A，B是數(shù)域F上兩個(gè)階矩陣，如果存在一個(gè)階可逆矩陣P使得成立，那么 B與A合同特性：合同變換具有模型化，程序化的簡便性。引理1：在矩陣中，任意對角矩陣與合同J對角陣證明：數(shù)學(xué)歸納法當(dāng)時(shí)，定理顯然成立設(shè)時(shí)，定理對階對稱陣成立，A

7、上階對稱囝若則A本身已為對角陣不妨設(shè)（1）討論A的對角線上元素不全為0的情況，這都可通過三行或列初等變換，使得這里是階對稱陣，由歸納假設(shè)，存在則有階可逆陣，使現(xiàn)取則（2）若，由，可通過對應(yīng)的行列初等變換，使問題歸結(jié)到i的情懷合同矩陣變換的應(yīng)用，主要應(yīng)用于二次型上，而二次型主要對積矩陣，而二次型化簡，一般都?xì)w結(jié)為對稱實(shí)矩陣A的合同變換在特性1：合同變換具有模型化，程序化的簡便性定理1：若在對稱矩陣A的下六并上一個(gè)單位矩陣，作列變換，則對的行與列分別六色以一系列的對稱，初等變換使其式為對角陣時(shí)， 單位陣成為A的合同變換矩陣。特性2：合同變換具有變換和結(jié)果的多樣性，采取不同的合同變換，不僅可以得到不

8、同的對角矩陣而且還可以得到相同的對角陳例：已知實(shí)對稱矩陣求可逆矩陣P，使為對角矩陣解由于且，可見為使 為對角矩陣，實(shí)質(zhì)上是使合同于對角矩陣故可逆矩陣（2）定理3：設(shè)為對稱矩陣，B為對角矩陣，若要調(diào)換B的對角線上任意兩個(gè)元素的位置得到，則只要調(diào)換P中對應(yīng)兩列，可得到，使得，即P的列與的列與B具有對應(yīng)性。說明：沒妝等變換的對調(diào)多換矩陣為J，顯然，與相比， 列的排列順序不同，因此，P的列與B的對角線上元素具有對應(yīng)性。特性3：合同變換具有變換矩陣列但是與對角線元素的對應(yīng)性。定理4：若要將B的對角線上第j個(gè)元素?cái)U(kuò)大得到，則只要得P中對應(yīng)第j列擴(kuò)大c倍，即得到，使得證明：設(shè)初等變換的倍乘變換矩陣為（的對角線上第j個(gè)元素為c，其余為1）顯然中的第j個(gè)元素B的我們發(fā)現(xiàn)j合同變換在對角化中有簡易行，凸現(xiàn)其方法（變換矩陣）和結(jié)果（對角陣）的二、合同變換的本質(zhì)在n階實(shí)對稱陣A和B的正負(fù)慣性指標(biāo)都一樣，則有表示為A到B的合同變換矩車構(gòu)成的集合。引理1：假設(shè)實(shí)對稱矩陣A和B的正負(fù)慣性指標(biāo)都一樣，則為群證明：對于任意的，則存