第十三章 靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力分析

1、第十三章 靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力分析第一節(jié) 多跨靜定梁、斜梁一、多跨靜定梁若干根梁用中間鉸連接在一起，并以若干支座與基礎(chǔ)相連，或者擱置于其他構(gòu)件上而組成的靜定梁，稱為多跨靜定梁。在實(shí)際的建筑工程中，多跨靜定梁常用來跨越幾個(gè)相連的跨度。圖131a所示為一公路或城市橋梁中，常采用的多跨靜定梁結(jié)構(gòu)形式之一，其計(jì)算簡(jiǎn)圖如圖131b所示。 在房屋建筑結(jié)構(gòu)中的木檁條，也是多跨靜定梁的結(jié)構(gòu)形式，如圖132a所示為木檁條的構(gòu)造圖，其計(jì)算簡(jiǎn)圖如圖132b所示。 連接單跨梁的一些中間鉸，在鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)中其主要形式常采用企口結(jié)合(圖131a)，而在木結(jié)構(gòu)中常采用斜搭接或并用螺栓連接(圖132a)。從幾何組成分析可知，圖1

2、31b中AB梁是直接由鏈桿支座與地基相連，是幾何不變的。且梁AB本身不依賴梁BC和CD就可以獨(dú)立承受荷載，所以，稱為基本部分。如果僅受豎向荷載作用，CD梁也能獨(dú)立承受荷載維持平衡，同樣可視為基本部分。短梁BC是依靠基本部分的支承才能承受荷載并保持平衡，所以，稱為附屬部分。同樣道理在圖132b中梁AB，CD和EF均為基本部分，梁BC和梁DE為附屬部分。為了更清楚地表示各部分之間的支承關(guān)系，把基本部分畫在下層，將附屬部分畫在上層，分別如圖131c和圖132c所示，我們稱它為關(guān)系圖或?qū)盈B圖。從受力分析來看，當(dāng)荷載作用于基本部分時(shí)，只有該基本部分受力，而與其相連的附屬部分不受力；當(dāng)荷載作用于附屬部分時(shí)

3、，則不僅該附屬部分受力，且通過鉸接部分將力傳至 與其相關(guān)的基本部分上去。因此，計(jì)算多跨靜定梁時(shí)，必須先從附屬部分計(jì)算，再計(jì)算基本部分，按組成順序的逆過程進(jìn)行。例如圖131c，應(yīng)先從附屬梁BC計(jì)算，再依次考慮CD、AB梁。這樣便把多跨梁化為單跨梁，分別進(jìn)行計(jì)算，從而可避免解算聯(lián)立方程。再將各單跨梁的內(nèi)力圖連在一起，便得到多跨靜定梁的內(nèi)力圖。例13-1 試作圖13-3a所示多跨靜定梁的內(nèi)力圖。解：（1）作層疊圖如圖13-3b所示，AC梁為基本部分，CE梁是通過鉸C和D支座鏈桿連接在AC梁上，要依靠AC梁才能保證其幾何不變性，所以CE梁為附屬部分。（2）計(jì)算支座反力從層疊圖看出，應(yīng)先從附屬部分CE開

4、始取隔離體，如圖13-3c所示。 （） （）將反向，作用于梁AC上，計(jì)算基本部分 40×10+VB×8+10×8×4-64=0 40×210×8×464+VA×8=0 VA=58kN （） VB=18kN（）校核：由整體平衡條件得Y80十12018十5810×80， 無誤。（3）作內(nèi)力圖 除分別作出單跨梁的內(nèi)力圖，然后拼合在同一水平基線上這一方法外，多跨靜定梁的內(nèi)力圖也可根據(jù)其整體受力圖(圖133a)直接繪出。將整個(gè)梁分為AB、BD、DE三段，由于中間鉸C處是外力的連續(xù)點(diǎn)，故不必將它選為分段點(diǎn)。由內(nèi)力計(jì)算

5、法則，各分段點(diǎn)的剪力為 =5810×8=22kN=5810×818=40 kN =80120=40 kN=80 kN =80 kN據(jù)此繪得剪力圖如圖133d所示。其中AB段剪力為零的截面F距A點(diǎn)為58m。由內(nèi)力計(jì)算法則，各分段點(diǎn)的彎矩為MAB=64 kN·mMBA=64+58×810×8×4=80 kN·mMDE=80×2=160 kN·mMED=0MF=64+58×5.810×5.8×5.8/2=104.2 kN·m據(jù)此作彎矩圖如圖13-3e所示。其中AB段內(nèi)有均

6、布荷載，故需在直線彎矩圖（圖中虛線）的基礎(chǔ)上疊加相應(yīng)簡(jiǎn)支梁在跨中間（簡(jiǎn)稱跨中）荷載作用的彎距圖。多跨靜定梁比相同跨度的簡(jiǎn)支梁的彎矩要小，且彎矩的分布比較均勻，此即多跨靜定梁的受力特征。多跨靜定梁雖然比相應(yīng)的多跨簡(jiǎn)支梁要經(jīng)濟(jì)些，但構(gòu)造要復(fù)雜些。一個(gè)具體工程，是采用單跨靜定梁，還是多跨靜定梁或其它型式的結(jié)構(gòu)，需要作技術(shù)經(jīng)濟(jì)比較后，從中選出最佳方案。二、斜梁1、斜梁的荷載梁式結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)是，在豎直荷載作用下只產(chǎn)生豎向支座反力。梁不一定是水平放置的，由樓梯簡(jiǎn)化成的斜梁，也是梁式結(jié)構(gòu)，如圖134所示。斜梁通常承受兩種形式的均布荷載： 圖134（1）沿水平方向均布的荷載q(圖135a)。樓梯斜梁承受的人群荷

7、載就是沿水平方向均勻分布的荷載。 （2）沿斜梁軸線均勻分布的荷載q(圖135b)。等截面斜梁的自重就是沿梁軸均勻分布的荷裁。2荷載q換算成q由于斜梁按水平均勻分布的荷載計(jì)算起來更為方便，故可根據(jù)總荷載不變的原則，將q等效換算成q后再作計(jì)算，即由得 （13-1）式（13-1）表明：沿斜梁軸線分布的荷載q除以cos就可化為沿水平分布的荷載q。這樣換算以后，對(duì)斜梁的一切計(jì)算都可按圖13-5c的簡(jiǎn)圖進(jìn)行。例132 斜梁如圖136a所示。已知其傾角為，水平跨度為，承受沿水平方向集度為q的均布載荷作用。試作該斜梁的內(nèi)力圖，并與相應(yīng)水平梁的內(nèi)力圖作比較。解：（1）求支座反力；以全梁為分離體，由靜力平衡條件求

8、得支座反力為： HA=0， VA=（2）求內(nèi)力列彎矩方程。設(shè)任一截面K距左端為，取分離體如圖136b所示；由0，可得彎矩方程為： 故知彎矩圖為一拋物線，如圖136c所示，跨中彎矩為?？梢娦绷褐凶畲髲澗氐奈恢茫嚎缰校┖痛笮。ǎ┡c直梁是相同的。求剪力和軸力時(shí)，將反力VA和荷載沿截面方向(v方向)和桿軸方向(u方向)分解(圖136b)，由v = 0，得 由，得： 根據(jù)以上二式分別作出剪力圖和軸力圖，如圖136d、e所示。 圖136f所示，為與上述斜梁的水平跨度相等并承受相同載荷的簡(jiǎn)支梁。由截面法可求得任一截面K的彎矩、剪力和軸力的方程為 ， ， 作得內(nèi)力圖如圖136g、h、i所示。將斜梁與水平梁的

9、內(nèi)力加以比較，可知二者有如下關(guān)系：， ， 三、靜定平面剛架（一）靜定平面剛架的特點(diǎn)1剛架(亦稱框架)是由橫梁和柱共同組成的一個(gè)整體承重結(jié)構(gòu)。剛架的特點(diǎn)是具有剛結(jié)點(diǎn),即梁與柱的接頭是剛性連接的，共同組成一個(gè)幾何不變的整體。如圖137a所示簡(jiǎn)支剛架，圖137b所示懸臂剛架，圖137c所示三角剛架，圖137d所示門式剛架，其中的梁與柱均用剛結(jié)點(diǎn)連接。 剛架中的所謂剛結(jié)點(diǎn)，就是在任何荷載作用下，梁、柱在該結(jié)點(diǎn)處的夾角保持不變。如圖137a、b、c、d所示剛架在荷載作用下均產(chǎn)生變形，剛結(jié)點(diǎn)因而有線位移和轉(zhuǎn)動(dòng)，但原來結(jié)點(diǎn)處梁、柱軸線的夾角大小保持不變。2在受力方面，由于剛架具有剛結(jié)點(diǎn)，梁和柱能作為一個(gè)整體

10、共同承擔(dān)荷載的作用，結(jié)構(gòu)整體性好，剛度大，內(nèi)力分布較均勻。在大跨度、重荷載的情況下，是一種較好的承重結(jié)構(gòu)，所以剛架結(jié)構(gòu)在工業(yè)與民用建筑中，被廣泛地采用。（二 ）靜定剛架的內(nèi)力計(jì)算及內(nèi)力圖1、內(nèi)力計(jì)算如同研究梁的內(nèi)力一樣，在計(jì)算剛架內(nèi)力之前，首先要明確剛架在荷載作用下，其桿件橫截面將產(chǎn)生什么樣的內(nèi)力?，F(xiàn)以圖138a所示靜定懸臂剛架為例作一般性的討論。剛架是在任意荷載作用下，現(xiàn)研究其中任意一截面mm產(chǎn)生什么內(nèi)力。先用截面法假想將剛架從mm截面處截?cái)?，取其中一部分隔離體圖138b。在這隔離體上，由于作用荷載，所以截面mm上必產(chǎn)生內(nèi)力與之平衡。從，知截面上將會(huì)有一水平力，即截面的剪力Q，與荷載在x軸上

11、的投影平衡；從，知截面將會(huì)有一垂直力，即截面的軸向力N，與荷載在y軸上的投影平衡；再以截面的形心O為矩心，從，知截面必有一力偶，即截面的彎矩M，與荷載對(duì)O點(diǎn)之矩平衡。因此可得出結(jié)論：剛架受荷載作用產(chǎn)生三種內(nèi)力：彎矩、剪力和軸力。 要求出靜定剛架中任一截面的內(nèi)力(M、Q、N)也如同計(jì)算梁的內(nèi)力一樣，用截面法將剛架從指定截面處截開，考慮其中一部分隔離體的平衡，建立平衡方程，解方程從而求出它的內(nèi)力。 因此，關(guān)于靜定梁的彎矩和剪力計(jì)算的一般法則，對(duì)于剛架來說同樣是適用的。現(xiàn)將計(jì)算法則重復(fù)說明如下(注意與前面的提法內(nèi)容是一致的)： “任一截面的彎矩?cái)?shù)值等于該截面任一側(cè)所有外力(包括支座反力)對(duì)該截面形心

12、的力矩的代數(shù)和”。 “任一截面的剪力數(shù)值等于該截面任一側(cè)所有外力(包括支座反力)沿該截面平面投影或稱切向投影的代數(shù)和”。 “任一截面的軸力數(shù)值等于該截面任側(cè)面所有外力(包括支座反力)在該截面法線方向投影(或稱法向投影)的代數(shù)和”。2內(nèi)力圖的繪制在作內(nèi)力圖時(shí)，先根據(jù)荷載等情況確定各段桿件內(nèi)力圖的形狀，之后再計(jì)算出控制截面的內(nèi)力值，這樣即可作出整個(gè)剛架的內(nèi)力圖。對(duì)于彎矩圖通常不標(biāo)明正負(fù)號(hào)，而把它畫在桿件受拉一側(cè)，而剪力圖和軸力圖則應(yīng)標(biāo)出正負(fù)號(hào)。 在運(yùn)算過程中，內(nèi)力的正負(fù)號(hào)規(guī)定如下：使剛架內(nèi)側(cè)受拉的彎矩為正，反之為負(fù)；軸力以拉力為正、壓力為負(fù)；剪力正負(fù)號(hào)的規(guī)定與梁相同。 為了明確的表示各桿端的內(nèi)力，

13、規(guī)定內(nèi)力字母下方用兩個(gè)腳標(biāo)，第一個(gè)腳標(biāo)表示該內(nèi)力所屬桿端，第二個(gè)腳標(biāo)表示桿的另端。如AB桿A端的彎矩記為MAB，B端的彎矩記為MBA；CD桿C端的剪力記為QCD 、D端的剪力記為QDC等等。 全部?jī)?nèi)力圖作出后，可截取剛架的任一部分為隔離體，按靜力平衡條件進(jìn)行校核。例133 計(jì)算圖139a所示剛架結(jié)點(diǎn)處各桿端截面的內(nèi)力。解：（1）用整體的三個(gè)平衡方程求出支座反力，如圖139a所示；（2）計(jì)算剛結(jié)點(diǎn)C處桿端截面內(nèi)力剛結(jié)點(diǎn)C有Cl 、C2兩個(gè)截面，沿Cl和C2切開，分別取Cl下邊、C2右邊，即ClA（包括A支座）和C2B（包括B支座）兩個(gè)隔離體，分別建立平衡方程，確定桿端截面Cl和C2的內(nèi)力。 對(duì)C

14、1A隔離體(圖139b)，則 ， ， ， ， ， ， (AC桿內(nèi)側(cè)即右側(cè)受拉)對(duì)C2B隔離體(圖139c)，有 ， ， ， ， ， (CB桿內(nèi)側(cè)即下側(cè)受拉)（3）取結(jié)點(diǎn)C為隔離體校核(圖139d)。 校核時(shí)畫出分離體的受力圖應(yīng)注意：a）必須包括作用在此分離體上的所有外力，以及計(jì)算所得的內(nèi)力M、Q和N；b）圖中的M、Q和N都應(yīng)按求得的實(shí)際方向畫出并不再加注正負(fù)號(hào)。 ， 88=0 ， 66=0 ， 2424=0 無誤。例13-4 計(jì)算圖1310所示剛架剛結(jié)點(diǎn)C，D處桿端截面的內(nèi)力。解：利用平衡求出支座反力，如圖1310所示；（1）計(jì)算剛結(jié)點(diǎn)C處桿（2）端截面內(nèi)力取ACl(相當(dāng)取ACl段為研究對(duì)象，

15、包括支座A)，得 ， kN ， ， kN·m (AC桿內(nèi)側(cè)即右側(cè)受拉。)取AC2桿(相當(dāng)取AC2為研究對(duì)象，包括支座A)，得 ， ， kN ， kN·m (CD桿內(nèi)側(cè)即下側(cè)受拉)（3）計(jì)算剛結(jié)點(diǎn)D處桿端截面內(nèi)力。取BDl桿(相當(dāng)取BD1為研究對(duì)象，包括支座B)，得 ， kN ， kN ， 取BD2桿(相當(dāng)取D2DB為研究對(duì)象，包括剛結(jié)點(diǎn)D和支座B)，得 ， kN ， kN ， （4）取結(jié)點(diǎn)C或D為分離體進(jìn)行校核。例13-5作圖13-11a所示剛架的內(nèi)力圖。解：（1）計(jì)算支座反力（圖1311a）；（2）計(jì)算各桿端內(nèi)力取CD桿：kN·m（左側(cè)受拉）kN取DB桿： kN

16、·m（下側(cè)受拉）kN取AD桿： kN·m（右側(cè)受拉） kN kN Kn（3）作M、Q、N內(nèi)力圖彎矩圖畫在桿的受拉側(cè)。桿CD和BD上無荷載，將桿的兩端桿端彎矩的縱坐標(biāo)以直線相連，即得桿CD和BD的彎矩圖。桿AD上有均布荷載作用，將桿AD兩端桿端彎矩值以虛直線相連，以此虛直線為基線，疊加以桿AD的長(zhǎng)度為跨度的簡(jiǎn)支梁受均布荷載作用下的彎矩圖，即得桿AD的彎矩圖。疊加后，AD桿中點(diǎn)截面E的彎矩值為 kN·m(右側(cè)受拉) 剛架的M圖如圖1311b所示。剪力圖的縱坐標(biāo)可畫在桿的任一側(cè)，但需標(biāo)注正負(fù)號(hào)。將各桿桿端剪力縱坐標(biāo)用直線相連(各桿跨中均無集中力作用)，即得各桿的剪力圖。

17、剛架的剪力圖如圖1311c所示。軸力圖的作法與剪力圖類似，可畫在任意一側(cè)，需注明正負(fù)號(hào)。剛架的軸力圖如圖1311d所示。（4）校核取結(jié)點(diǎn)D為隔離體（如圖13-11e所示） ， 44=0 ， 77=0 ， 4+2428=0 無誤例13-6 作圖1312a所示剛架的彎矩圖。解：（1）利用平衡方程計(jì)算支反力；（2）計(jì)算桿端彎矩取AC桿：求CE桿E端彎矩時(shí)，可取ECA隔離體（從C面截開）KN·m（左側(cè)受拉）取EA桿（包括剛結(jié)點(diǎn)E，從C2面截開）：KN·m（上側(cè)受拉）取DB桿（從C5面截開）： ， KN·m（右側(cè)受拉）取DB桿（從C6面截開）：KN·m（右側(cè)受拉）

18、取FB桿（從C3面截開）：KN·m（右側(cè)受拉）取FB桿（從C4面截開）：KN·m（上側(cè)受拉）（3）作M圖桿EF上作用均布荷載，將桿EF兩端的彎矩值用虛線相連，以虛直線為基線，疊加簡(jiǎn)支梁受均布荷載作用的彎矩圖（桿中央截面彎矩疊加值為），由此得桿EF上的彎矩圖，其余各桿將桿端彎矩的縱坐標(biāo)用直線相連。注意D截面彎矩有突變。剛架的彎矩圖如圖13-12b所示。（4）校核取結(jié)點(diǎn)E為隔離體。（略）例13-7 試作圖1313a所示剛架的彎矩圖。解：（1）利用平衡方程計(jì)算支反力；（2）計(jì)算桿端彎矩 取AC桿（桿上荷載不包括力偶）： KN·m（下側(cè)受拉）取BC桿（從C左邊截開，桿上荷

19、載不包括力偶）： KN·m（下側(cè)受拉）取DE桿： KN·m（右側(cè)受拉）DC桿的D端彎矩與ED桿D端彎矩值相同，即 KN·m（右側(cè)受拉） 求DC桿C端彎矩時(shí)可取CDE隔離體（桿上荷載不包括力偶）： KN·m（右側(cè)受拉）。（3）作M圖AC桿中央截面彎矩 KN·m（4）校核取結(jié)點(diǎn)C為隔離體，如圖13-13c所示。顯然滿足。通過以上例題可看出，作剛架內(nèi)力圖的常規(guī)步驟，一般是先求反力，再逐桿分段、定點(diǎn)、聯(lián)線作出。在作彎矩圖之前，如果先作一番判斷，則常常可以少求一些反力(有時(shí)甚至不求反力)，而迅速作出彎矩圖。判斷內(nèi)容：1熟練掌握MQq之間的微分關(guān)系；2鉸結(jié)

20、點(diǎn)處彎矩為零；3剛結(jié)點(diǎn)力矩平衡。如圖1314a，各桿端彎矩與力偶荷載的代數(shù)和應(yīng)等于零。對(duì)于兩桿剛結(jié)點(diǎn)，如結(jié)點(diǎn)上無力偶荷載作用時(shí)，則兩桿端彎矩?cái)?shù)值必相等且受拉側(cè)相同(即同為外側(cè)受拉或同為內(nèi)側(cè)受拉)，如圖1314b所示。在剛結(jié)點(diǎn)處，除某一桿端彎矩外，其余各桿端彎矩若均已知，則該桿端彎矩的大小和受拉側(cè)便可根據(jù)剛結(jié)點(diǎn)力矩平衡條件推出。例13-8 作圖1315a所示結(jié)構(gòu)的M圖。解：由整體水平力平衡可知XA10 kN（），則MEA30kN·m，右側(cè)受拉；=10×610×3=30kN.m，右側(cè)受拉；根據(jù)結(jié)點(diǎn)C力矩平衡，MCD30kN·m，下側(cè)受拉；BD桿無剪力，則BF

21、段無M圖，F(xiàn)D段M保持常數(shù)，為5kN·m左側(cè)受拉；根據(jù)剛結(jié)點(diǎn)力矩平衡，MDC5kN·m，下側(cè)受拉。有了各控制截面的彎矩豎標(biāo)，再據(jù)無荷載區(qū)間M圖為直線，集中力偶處彎矩有突變。畫出整個(gè)M圖，如圖1315b所示。上述過程無須筆算，僅根據(jù)M圖特點(diǎn)即可作出M圖。例13-9 作圖1316a所示剛架的M圖。解：AB和BD桿段間無荷載，故M圖均為直線。因MDC6kN·m，下側(cè)受拉，MCD0，故kN，上側(cè)受拉；由剛結(jié)點(diǎn)B力矩平衡，kN·m，左側(cè)受拉；MAB15kN·m，左側(cè)受拉。有了各控制截面彎矩，即可作出整個(gè)結(jié)構(gòu)M圖，如圖 1316b所示。四、截面法1截面法原

22、理用結(jié)點(diǎn)法計(jì)算桁架的內(nèi)力時(shí)，是按一定順序逐個(gè)結(jié)點(diǎn)計(jì)算，這種方法前后計(jì)算相互影響，即后一結(jié)點(diǎn)的計(jì)算要用到前一結(jié)點(diǎn)計(jì)算的結(jié)果。若前面的計(jì)算錯(cuò)了，就會(huì)影響到后面的計(jì)算結(jié)果。另外，當(dāng)桁架結(jié)點(diǎn)數(shù)目較多時(shí)，而問題又只要求桁架中的某幾根桿件的軸力，這時(shí)用結(jié)點(diǎn)法求解就顯得繁瑣了，這種情況下可采用另一種方法就是截面法。 截面法是用一個(gè)截面截?cái)嗳舾筛鶙U件將整個(gè)桁架分為兩部分，并任取其中一部分(包括若干結(jié)點(diǎn)在內(nèi))作為隔離體，建立平衡方程求出所截?cái)鄺U件的內(nèi)力。顯然。作用于隔離體上的力系，通常為平面一般力系。因此，只要此隔離體上的未知力數(shù)目不多于三個(gè)，可利用一般力系的三個(gè)靜力平衡方程，直接把截面上的全部未知力求出。2截

23、面法適用范圍：（1）求聯(lián)合桁架的軸力。（2）求簡(jiǎn)單桁架中指定桿截面的軸力。例13-11 求圖13-23a所示桁架1、2、3桿的內(nèi)力N1、N2、N3。解：（1）求支座反力 KN（） KN（） KN（）（2）求內(nèi)力利用截面以左為隔離體，如圖13-23b所示。將N1分解為水平分力X1和垂直分力Y1，則由 8.625×124×88×4+5X1=0故 X1=7.900 KN（） KN（） KN（壓力）由 8.625481.975Y2=0故 Y2=5.350 KN（），X2=5.350 KN（） KN（壓力）求N3仍利用圖13-23b的示力圖。由 37.9005.350+N3

24、=0故 N3=16.25 KN（拉力）校核 用圖1323b中未用過的力矩方程進(jìn)行校核。=3×48.625×8+4×4+16.250×4=0 無誤3、結(jié)點(diǎn)法和截面法的聯(lián)合應(yīng)用 結(jié)點(diǎn)法和截面法是計(jì)算桁架內(nèi)力的兩種基本方法，對(duì)于簡(jiǎn)單桁架求所有桿軸里力無論用哪一種方法計(jì)算都比較方便，但對(duì)有些求指定桿內(nèi)力的簡(jiǎn)單桁架用聯(lián)合法更加方便。對(duì)于聯(lián)合桁架來說（圖1318b），僅用結(jié)點(diǎn)法或截面法來分析內(nèi)力就會(huì)遇到困難，這時(shí)，一般先用截面法求出聯(lián)合處桿件的內(nèi)力，然后可對(duì)組成聯(lián)合桁架的各簡(jiǎn)單桁架內(nèi)力用結(jié)點(diǎn)法進(jìn)行計(jì)算。 圖1324a所示的桁架是簡(jiǎn)單桁架，求桁架1、2、3、4桿的內(nèi)力

25、Nl、N2、N3、N4 時(shí)，聯(lián)合使用截面法和結(jié)點(diǎn)法較為簡(jiǎn)便。作II截面，取左部分為隔離體(圖1324b)，由和分別求出N4和Nl 。然后截取結(jié)點(diǎn)D(圖1324c)，由，得N2N3。最后作截面(圖1324a、d)，由即可求出N2和N3。4、幾種桁架受力性能的比較現(xiàn)取工程中常用的平行弦、三角形和拋物線形三種桁架，以相同跨度、相同高度、相同節(jié)間及相同荷載作用下的內(nèi)力分布(圖1325a、b、c)加以分析比較。從而了解桁架的形式對(duì)內(nèi)力分布和構(gòu)造上的影響，以及它們的應(yīng)用范圍，以便在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)或?qū)﹁旒茏鞫ㄐ苑治鰰r(shí)，可根據(jù)不同的情況和要求，選用適當(dāng)?shù)蔫旒苄问?。平行弦桁架（圖1325a）的內(nèi)力分布很不均勻。上弦桿

26、和下弦桿內(nèi)力值均是靠支座處小，向跨度中間增大。腹桿則是靠近支座處內(nèi)力大，向跨中逐漸減小。如果按各桿內(nèi)力大小選擇截面，弦桿截面沿跨度方向必須隨之改變，這樣結(jié)點(diǎn)的構(gòu)造處理較為復(fù)雜。如果各桿采用相同截面，則靠近支座處弦桿材料性能不能充分利用，造成浪費(fèi)。其優(yōu)點(diǎn)是結(jié)點(diǎn)構(gòu)造劃一，腹桿可標(biāo)準(zhǔn)化，因此，可在輕型桁架中應(yīng)用。三角形桁架(圖1325b)的內(nèi)力分布是不均勻的。其弦桿的內(nèi)力從中間向支座方向遞增，近支座處最大。在腹桿中，斜桿受壓，而豎桿則受拉(或?yàn)榱銞U)，而且腹桿的內(nèi)力是從支座向中間遞增。這種桁架的端結(jié)點(diǎn)處，上下弦桿之間夾角較小，構(gòu)造復(fù)雜。但由于其兩面斜坡的外形符合屋頂構(gòu)造的要求，所以，在跨度較小、坡度

27、較大的屋蓋結(jié)構(gòu)中較多采用三角形桁架。 拋物線形桁架上、下弦桿內(nèi)力分布均勻。當(dāng)荷載作用在上弦桿結(jié)點(diǎn)時(shí)，腹桿內(nèi)力為零；當(dāng)荷載作用在下弦桿結(jié)點(diǎn)時(shí)，腹桿中的斜桿內(nèi)力為零，豎桿內(nèi)力等于結(jié)點(diǎn)荷載。是一種受力性能較好，較理想的結(jié)構(gòu)形式。但上弦的彎折較多，構(gòu)造復(fù)雜，結(jié)點(diǎn)處理較為困難。因此，工程中多采用的是如圖1325c所示的外形接近拋物線形的折線形桁架，且只在跨度為18米至30米的大跨度屋蓋中采用。第四節(jié) 三鉸拱一、概述除隧道、橋梁外，在房屋建筑中，屋面承重結(jié)構(gòu)也用到拱結(jié)構(gòu)（圖13-26）。拱結(jié)構(gòu)的計(jì)算簡(jiǎn)圖通常有三種(圖1327)，圖1327a和圖1327b所示無鉸拱和兩鉸拱是超靜定的，圖1327c所示三鉸拱

28、是靜定的。在本節(jié)中，將只討論三鉸拱的計(jì)算。拱結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)是：桿軸為曲線，而且在豎向荷載作用下支座將產(chǎn)生水平反力。這種水平反力又稱為水平推力，或簡(jiǎn)稱為推力。拱結(jié)構(gòu)與梁結(jié)構(gòu)的區(qū)別，不僅在于外形不同，更重要的還在于在豎向荷載作用下是否產(chǎn)生水平推力。例如圖1328所示的兩個(gè)結(jié)構(gòu)，雖然它們的桿軸都是曲線，但圖1328a所示結(jié)構(gòu)在豎向荷載作用下不產(chǎn)生水平推力，其彎矩與相應(yīng)簡(jiǎn)支梁(同跨度、同荷載的梁)的彎矩相同，所以這種結(jié)構(gòu)不是拱結(jié)構(gòu)而是一根曲梁。圖1328b所示結(jié)構(gòu)，由于其兩端都有水平支座鏈桿，在豎向荷載作用下將產(chǎn)生水平推力，所以屬于拱結(jié)構(gòu)。用作屋面承重結(jié)構(gòu)的三鉸拱，常在兩支座鉸之間設(shè)水平拉桿(圖1329b

29、)。這樣，拉桿內(nèi)所產(chǎn)生的拉力代替了支座推力的作用，在豎向荷載作用下，使支座只產(chǎn)生豎向反力。但是這種結(jié)構(gòu)的內(nèi)部受力情況與三鉸拱完全相同，故稱為具有拉桿的拱，或簡(jiǎn)稱拉桿拱。拱結(jié)構(gòu)(圖1329a)最高的一點(diǎn)稱為拱頂。三鉸拱的中間鉸通常是安置在拱頂處。拱的兩端與支座連接處稱為拱趾，或稱拱腳。兩個(gè)拱趾間的水平距離l稱為跨度。拱頂?shù)絻晒爸哼B線的豎向距離f稱為拱高。拱高與跨度之比f/l稱為高跨比。由后面可知，拱主要力學(xué)性能與高跨比有關(guān)。二、三鉸拱的內(nèi)力計(jì)算1、支反力的計(jì)算三鉸拱為靜定結(jié)構(gòu)，其全部反力和內(nèi)力可以由平衡方程算出。計(jì)算三鉸拱支座反力的方法，與三鉸剛架支座反力的計(jì)算方法相同?，F(xiàn)以圖1330a所示的三

30、鉸拱為例，導(dǎo)出支座反力的計(jì)算公式。由得 （a）由得 （b）由得 HA=HB=H （c） 從C鉸處截開，取左半拱為平衡體，利用求出 （d）為了便于理解和比較，取與三鉸拱同跨度、同荷載的簡(jiǎn)支梁如圖1330b所示。由平衡條件可得簡(jiǎn)支梁的支座反力及C截面的彎矩分別為： （e） （f） （g） 比較(a)與(e)，(b)與(f)及(d)與(g)式可見： （132） （133） （134）由式(132)、(133)可知，拱的豎向反力和相應(yīng)的簡(jiǎn)支梁的支座反力相同。由式(134)可知，三鉸拱的推力只與三個(gè)鉸的位置有關(guān)。與三個(gè)鉸之間拱軸的形狀無關(guān)。當(dāng)荷載和跨度不變時(shí)，推力H與f成反比，所以拱愈扁平，其推力就愈大

31、，當(dāng)f0時(shí)，H，這時(shí)三鉸拱的三個(gè)鉸在同一條直線上，拱已成為瞬變體系。圖1330 圖1331對(duì)于圖1331a所示的有拉桿的三鉸拱來說，由整體的平衡條件，可求得 HA0， ， 。取隔離體如圖1331b所示，利用求出 (135)式中仍為相應(yīng)的簡(jiǎn)支梁截面的彎矩。計(jì)算結(jié)果表明，拉桿的拉力和無拉桿三鉸拱的水平推力H相同。在用拱作屋頂時(shí)，為了減少拱對(duì)墻或柱的水平推力，常采用拉桿拱。2、內(nèi)力計(jì)算三鉸拱的內(nèi)力符號(hào)規(guī)定如下：彎矩以使拱內(nèi)側(cè)纖維受拉為正；剪力以使隔離體順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為正；因拱常受壓力，規(guī)定軸力以壓為正。為計(jì)算三鉸拱任意截面(應(yīng)與拱軸正交)的內(nèi)力，首先在圖1330a中取K截面以左部分為隔離體，畫受力圖如圖

32、1332a所示。其相應(yīng)簡(jiǎn)支梁段的受力圖如圖1332b。由相應(yīng)簡(jiǎn)支梁段的受力圖可見，K截面內(nèi)力為 圖1332剪力QK應(yīng)沿截面方向，軸力NK應(yīng)沿垂直于截面的方向，如受力圖1332c所示。圖中內(nèi)力均按正向假設(shè)。由圖1332a 中可知，將所有力向K截面的切線的法線方向分別投影，其代數(shù)和為零。求得與相應(yīng)簡(jiǎn)支梁K截面內(nèi)力關(guān)系式為： (136) (137) (138)式（136）、（137）、（138）是三鉸拱任意截面內(nèi)力的計(jì)算公式。式中為擬求截面的傾角，將隨截面不同而改變。但是，當(dāng)拱軸曲線方程為已知時(shí)，可利用確定各截面的值；在左半拱，取正號(hào)；右半拱，取負(fù)號(hào)。需要說明：拱內(nèi)力計(jì)算公式是在豎向荷載作用下推倒出

33、來的，所以它只適用于豎向荷載作用下拱的內(nèi)力計(jì)算。例題13-12 試求圖1333所示三鉸拱截面K和D的內(nèi)力值。拱軸線方程。解：（1）利用平衡方程求各支座反力VA1794kN ()VB1708kN ()HA3124kN ()（2）根據(jù)已給拱軸線方程。分別計(jì)算K、D截面的縱坐標(biāo)及拱軸線的切線傾角： m m因?yàn)?所以 18°26故 同理得： 12°31故 由式（136）、（137）、（138）及以上數(shù)據(jù)，計(jì)算K、D截面的內(nèi)力：=110KN·mKN=（179.210×7.5）×0.3162+312.4×0.9487=329.5KN同樣地得=17

34、0.8×10-312.4×4.44=319KN·m因?yàn)榻孛鍰恰位于集中力作用點(diǎn)，所以計(jì)算該截面的剪力和軸力時(shí)，應(yīng)該分別計(jì)算該截面稍左和稍右兩個(gè)截面的剪力和軸力值，即、和、。=（200170.8）×0.9762312.4×（0.2167）=96.3KN=170.8×0.9762312.4×（0.2167）=99KN=29.2×（0.2167）+3123.4×0.9762=302.2KN =37.0+308.5=345.5KN三、三鉸拱的合理拱軸線在上述三鉸拱內(nèi)力計(jì)算公式中，可以看出，當(dāng)荷載一定時(shí)確定三鉸拱內(nèi)力的重要因素為拱軸線的形式。工程中，為了充分利用磚石等脆性材料的特性(即抗壓強(qiáng)度高而抗拉強(qiáng)度低)，往往在給定荷載下，通過調(diào)整拱軸曲線，盡量使得截面上的彎矩減小，甚至于使得截面處處彎矩值均為零，而只產(chǎn)生軸向壓力，這時(shí)壓應(yīng)力沿截面均勻分布。這種在給定荷載下使拱處于無彎矩狀態(tài)的相