第7章空間解析幾何

1、第七章空間解析幾何與向量代數(shù)內(nèi)容概要名稱主要內(nèi)容（7-1，7-2，7-3）向量及線性運(yùn)算向量的加減法三角形法則平行四邊形法則向量與數(shù)的乘法：當(dāng)時(shí)，表示和同向，的向量；當(dāng)，表示和反向，的向量；主要性質(zhì)：（1）單位化向量為，（2）向量的坐標(biāo)的距離：向量的代數(shù)運(yùn)算向量的模、方向余弦：，向量在軸上的投影：數(shù)量積向量積混合積數(shù)量積定義及運(yùn)算：主要性質(zhì)：（1）；（2），（3）向量積定義運(yùn)算的模為，方向?yàn)橹赶虼竽粗阜较蛐再|(zhì)：（1）表示以、為鄰邊的平行四邊形面積；（2）混合積定義及運(yùn)算：性質(zhì)：（1） （2）共面的充要條件：習(xí)題7-11填空：（1） 要使成立，向量應(yīng)滿足（2） 要使成立，向量應(yīng)滿足，且同向2設(shè)，

2、試用表示向量知識點(diǎn)：向量的線性運(yùn)算解：3設(shè)兩點(diǎn)的向徑分別為，點(diǎn)在線段上，且，證明點(diǎn)的向徑為知識點(diǎn)：向量的線性運(yùn)算證明：在中，根據(jù)三角形法則，又，4已知菱形的對角線，試用向量表示。知識點(diǎn)：向量的線性運(yùn)算解：根據(jù)三角形法則， ，又為菱形，（自由向量），5把的邊五等分，設(shè)分點(diǎn)依次為，再把各分點(diǎn)與點(diǎn)連接，試以表示向量和。知識點(diǎn)：向量的線性運(yùn)算解：見圖7-1-5，圖7-1-5根據(jù)三角形法則，同理：習(xí)題7-21在空間直角坐標(biāo)系中，指出下列各點(diǎn)在哪個(gè)卦限？； ； ； 答：在第四卦限，在第五卦限，在第八卦限，在第三卦限2在坐標(biāo)面上和坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)各有什么特征？并指出下列各點(diǎn)的位置：知識點(diǎn)：空間直角坐標(biāo)答：

3、在各坐標(biāo)面上點(diǎn)的坐標(biāo)有一個(gè)分量為零，坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)有兩個(gè)分量為零，點(diǎn)在xoy坐標(biāo)面上；在yoz坐標(biāo)面上；在x軸上；在y軸上。3求點(diǎn)關(guān)于（1）各坐標(biāo)面；（2）各坐標(biāo)軸；（3）坐標(biāo)原點(diǎn)的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)。答：（1）關(guān)于xoy面的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為；關(guān)于xoz面的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為； 關(guān)于yoz面的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為。 （2）關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為；關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為；關(guān)于z軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為 （3）關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為4過點(diǎn)分別作平行于z軸的直線和平行于xoy坐標(biāo)面的平面，問在它們上面的點(diǎn)的坐標(biāo)各有什么特點(diǎn)？答：過點(diǎn)平行于z軸的直線上的點(diǎn)x、y坐標(biāo)一定為，因此坐標(biāo)為；過點(diǎn)平行于xoy坐標(biāo)面的平面上的

4、點(diǎn)的豎坐標(biāo)一定為，因此坐標(biāo)為5求點(diǎn)到各坐標(biāo)軸的距離。解：到x軸的距離為到x軸的距離為；同理到y(tǒng)軸的距離為；到z軸的距離為6在yoz面上，求與三點(diǎn)等距離的點(diǎn)。知識點(diǎn)：空間兩點(diǎn)的距離解：所求點(diǎn)在yoz面上，設(shè)所求點(diǎn)的坐標(biāo)為，由條件可知：，所求點(diǎn)為7已知兩點(diǎn)，試用坐標(biāo)表示式表示向量。知識點(diǎn)：空間兩點(diǎn)的距離、向量的坐標(biāo)表示及代數(shù)運(yùn)算解：；8求平行于向量的單位向量知識點(diǎn)：向量的坐標(biāo)表示及代數(shù)運(yùn)算解：平行于向量的單位向量有和同向和反向兩個(gè)，9已知兩點(diǎn)，計(jì)算向量的模、方向余弦、方向角。知識點(diǎn)：向量的坐標(biāo)表示及代數(shù)運(yùn)算解：根據(jù)向量模、方向余弦、方向角的計(jì)算公式可得：10已知向量的模為3，且其方向角，求向量。知

5、識點(diǎn)：向量的坐標(biāo)表示及相關(guān)概念解：根據(jù)向量、向量的模、方向余弦之間的關(guān)系可得：11設(shè)向量的方向余弦分別滿足問這些向量和坐標(biāo)軸或坐標(biāo)面的關(guān)系如何？知識點(diǎn)：向量的方向余弦解：（1）表示向量和x軸正向夾角為，因此該向量和x軸垂直，或平行于yoz面（2）表示向量和y軸正向夾角為零，因此該向量和y軸平行且方向相同（3）表示向量和x、y軸正向夾角都為，說明該向量和x、y軸都垂直，因此平行于z軸12已知與軸的夾角是，求。知識點(diǎn)：向量在軸上的投影解：根據(jù)投影公式13一向量的終點(diǎn)為，它在x軸、y軸和z軸上的投影依次為，求該向量的起點(diǎn)的坐標(biāo)。知識點(diǎn)：向量在坐標(biāo)軸上的投影解：向量的坐標(biāo)分量即為它在x軸、y軸和z軸上

6、的投影，設(shè)起點(diǎn)為，則：14求與向量平行，方向相反，且長度為75的向量。知識點(diǎn)：向量的坐標(biāo)表示及代數(shù)運(yùn)算解：由條件可得：，長度為75，和反向，習(xí)題7-31設(shè)，且兩向量的夾角，試求。知識點(diǎn)：向量的數(shù)量積及其運(yùn)算規(guī)律解：根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算規(guī)律：，2已知，求同時(shí)與垂直的單位向量知識點(diǎn)：向量的向量積解：由向量積性質(zhì)：，為同時(shí)與垂直的向量所求單位向量為3設(shè)力作用在一質(zhì)點(diǎn)上，質(zhì)點(diǎn)由沿直線移動到，求此力所做的功（設(shè)力的單位為N，位移的單位為m）知識點(diǎn)：數(shù)量積的物理意義解：數(shù)量積的物理應(yīng)用之一：力沿直線作功。位移為，4求向量在向量上的投影。知識點(diǎn)：向量在軸上的投影解：根據(jù)公式。5設(shè)，問與有怎樣的關(guān)系能使與z軸垂直

7、？知識點(diǎn)：兩向量垂直的充要條件解：根據(jù)兩向量垂直的充要條件是兩向量的數(shù)量積為零，取z軸的單位向量，則6在杠桿上支點(diǎn)的一側(cè)與點(diǎn)的距離為的點(diǎn)處，有一與成角的力作用著，在的另一側(cè)與點(diǎn)的距離為的點(diǎn)處，有一與成角的力作用著，如圖，問，符合怎樣的條件才能使杠桿保持平衡？圖7-3-6知識點(diǎn)：向量積的物理應(yīng)用解：處作用產(chǎn)生的力矩，處作用產(chǎn)生的力矩，要使杠桿平衡，只要7設(shè)，求（1）； （2）； （3）知識點(diǎn)：向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示解（1） （2） （3）8直線通過點(diǎn)和求點(diǎn)到直線的距離。知識點(diǎn)：向量積思路：在為頂點(diǎn)組成的三角形中，邊上的高即為所求距離。解：設(shè)所求的距離值為，又根據(jù)向量積的性質(zhì)：9試證向量表示向量與夾角

8、的平分角線向量的方向。思路：按題意，只要證該向量在方向上的投影和它在方向上的投影相同。解：設(shè)，而又和、在同一平面上，表示向量與夾角的平分角線向量的方向10設(shè)，其中，且。知識點(diǎn)：向量的數(shù)量積、向量積及其性質(zhì)（1）為何值時(shí)，？解：，由，（2）為何值時(shí)，與為鄰邊的平行四邊形面積為6。解：與為鄰邊的平行四邊形面積，或11設(shè)均為非零向量，其中任意兩個(gè)向量不共線，但與共線，與共線，試證。證明：與共線，與共線，可設(shè)代入可推得，又其中任意兩個(gè)向量不共線，則由不共線且為非零向量，可得：12試證向量在同一平面上，并沿和分解。知識點(diǎn)：向量的混合積及其幾何意義解：根據(jù)向量混合積的幾何意義：共面，又，共面設(shè)=，將代入1

9、3設(shè)點(diǎn)的向徑分別為，試證：三點(diǎn)在一直線上。思路：只要證：向量和平行證明：；14已知，試?yán)眯辛惺降男再|(zhì)證明：證明：， ，而行列式 是行列式交換兩次兩行得到，。同理可證：，15試用向量證明不等式：。思路：可看作向量的模；是向量的模，而是的值。證明：設(shè)，則即：內(nèi)容概要 主要內(nèi)容（7-4，7-5，7-8）曲面及其方程旋轉(zhuǎn)曲面xoy面上曲線繞x軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)曲面方程：yoz面上曲線繞z軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)曲面方程：xoz面上曲線繞z軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)曲面方程：常見旋轉(zhuǎn)曲面（1） 圓錐面：（yoz面上曲線繞z軸旋轉(zhuǎn)而成）（2） 旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面：（zox面上的曲線繞z軸旋轉(zhuǎn)而成）柱面表示準(zhǔn)線為：母線平行于z軸的柱面表示準(zhǔn)

10、線為：母線平行于x軸的柱面表示準(zhǔn)線為：母線平行于y軸的柱面柱面方程特點(diǎn)：缺少某個(gè)變量常見柱面（1）拋物柱面：表示母線平行于z軸的拋物柱面（2）橢圓柱面：表示母線平行于y軸的橢圓柱面（3）雙曲柱面：表示母線平行于x軸的雙曲柱面二次曲面橢球面、拋物面、雙曲面空間曲線及其方程的一般方程的參數(shù)方程在坐標(biāo)面上的投影消去方程中的變量z得到的即為在xoy面上的投影柱面，就是在xoy面上的投影曲線（以此類推）習(xí)題7-41求以點(diǎn)為球心，且通過坐標(biāo)原點(diǎn)的球面方程。知識點(diǎn)：空間兩點(diǎn)的距離解：設(shè)球面上點(diǎn)的坐標(biāo)為，則根據(jù)兩點(diǎn)距離公式：，原點(diǎn)在球面上，球面方程：。2一動點(diǎn)與兩定點(diǎn)（2，3，1）和（4，5，6）等距離，求該

11、動點(diǎn)的軌跡方程。解：設(shè)動點(diǎn)的坐標(biāo)為（），則根據(jù)等距離的條件：動點(diǎn)的軌跡方程為：3方程表示什么曲面？解：方程可化為：該方程表達(dá)的是以為球心、半徑為4的球面。4將xoz坐標(biāo)面上的拋物線繞x軸旋轉(zhuǎn)一周，求所生成的旋轉(zhuǎn)曲面方程。知識點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)曲面解：xoz坐標(biāo)面上的拋物線是繞x軸旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)曲面方程為5將xoz坐標(biāo)面上的拋物線繞z軸旋轉(zhuǎn)一周，求所生成的旋轉(zhuǎn)曲面方程。解：xoz坐標(biāo)面上的拋物線是繞z軸旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)曲面方程為。6指出下列方程在平面解析幾何中和空間解析幾何中分別表示什么圖形？（1）； （2）； （3）； （4）答：（1）在平面解析幾何中表示y軸，在空間解析幾何中表示yoz坐標(biāo)面（2）在平面解析幾何中表

12、示一條直線，在空間解析幾何中表示平行于z軸，在xoy坐標(biāo)面上投影為的一個(gè)平面。（3）在平面解析幾何中表示xoy面上，原點(diǎn)為心、半徑為2的圓線，在空間解析幾何中表示準(zhǔn)線為xoy面上的圓線，母線平行于z軸的圓柱面。（4）在平面解析幾何中表示xoy面上的雙曲線，在空間解析幾何中表示準(zhǔn)線為xoy面上的雙曲線，母線平行于z軸的雙曲柱面。7說明下列旋轉(zhuǎn)曲面是怎樣形成的：（1）； （2）； （3）。知識點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)曲面解：方程可變化為，方程表達(dá)的是：xoy坐標(biāo)面上的曲線繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)曲面注：方程也可看作是：xoz坐標(biāo)面上的曲線繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)曲面8指出下列各方程表示哪種曲面：（1）； （2）；

13、 （3）（4）； （5）； （6）（7）； （8）； （9）答：（1）方程表達(dá)開口向著z軸正向的圓拋物面（或旋轉(zhuǎn)拋物面）（2）或，表達(dá)兩個(gè)垂直于xoy面的平面：；（3）表示z軸（4）平行于x軸且經(jīng)過yoz面上的直線的平面（5）和這兩個(gè)平行于xoz坐標(biāo)面的平面（6）準(zhǔn)線為xoy坐標(biāo)面上的橢圓，母線平行于z軸的橢圓柱面（7）準(zhǔn)線為xoy坐標(biāo)面上的雙曲線，母線平行于z軸的雙曲柱面（8）準(zhǔn)線為xoy坐標(biāo)面上的拋物線，母線平行于z軸的拋物柱面（9）yoz坐標(biāo)面上的直線繞z軸旋轉(zhuǎn)一周所得的圓錐面習(xí)題7-51畫出下列曲線在第一象限內(nèi)的圖形：（1） ； （2）； （3）解（1）7-5-1-（1）（2）7-5-

14、1-（2）（3）07-5-1-（3）2方程組在平面幾何與空間解析幾何中各表示什么？答：方程組在平面幾何中表示兩條直線的交點(diǎn)，在空間解析幾何中表示垂直于xoy坐標(biāo)面的兩平面的交線。3方程組在平面幾何與空間解析幾何中各表示什么？答：方程組在平面幾何中表示一個(gè)點(diǎn)（2，0），在空間解析幾何中表示橢圓柱面和平面的交線：。4求曲面與yoz平面的交線。解：yoz平面方程為，交線為5分別求母線平行于x軸及y軸而且通過曲線的柱面方程。知識點(diǎn)：曲線在坐標(biāo)面上的投影柱面及投影曲線解：要求過曲線且母線平行于x軸的柱面方程，只要方程組消去變量x所求柱面方程為要求過曲線且母線平行于y軸的柱面方程，只要方程組消去變量y所求

15、柱面方程為6求曲線 在xoy面上的投影方程。知識點(diǎn)：曲線在坐標(biāo)面上的投影柱面及投影曲線解：要求曲線 在xoy面上的投影方程，只需方程組消去變量z所求柱面方程為：7求曲線 在xoz面上的投影方程。解：要求曲線 在xoz面上的投影方程，只需方程組消去變量y所求投影方程為：8將曲線 化為參數(shù)方程。思路：若將代入，可得，因此可通過橢圓方程的參數(shù)式求出曲線的參數(shù)式。解：將代入，可得，該方程可用參數(shù)式表達(dá)為：，曲線的參數(shù)式為9將曲線的一般方程 化為參數(shù)方程。解：將代入，可得：，該圓方程的參數(shù)式為：，曲線 的參數(shù)方程為：。10指出下列各方程組表示什么曲線：（1） （2） （3）（4） （5）答：（1）兩平面

16、的交線，該直線平行于z軸（2）表示球面與平行于xoy面的平面的交線，為一在平面上的圓線：（3）表示單葉雙曲面和平面的交線，為一在平面上的橢圓線：（4）表示雙曲拋物面（即馬鞍面）與平面的交線，為一在平面上的拋物線：（5）表示雙曲拋物面（即馬鞍面）與平面的交線，為一在平面上的雙曲線：11求旋轉(zhuǎn)拋物面在三坐標(biāo)面上的投影。知識點(diǎn)：曲面的投影和空間區(qū)域的投影解：見圖7-5-11，圖7-5-11（1）由于旋轉(zhuǎn)拋物面投影到xoy面上時(shí)，它的邊界線是，在xoy面上的投影為：；（2）由于旋轉(zhuǎn)拋物面投影到y(tǒng)oz面上時(shí)，它的邊界線是：在yoz面上的投影為：（3）同理，旋轉(zhuǎn)拋物面在xoz面上的投影為：12假定直線在y

17、oz平面上的投影方程為，而在zox平面上的投影方程為，求直線在xoy面上的投影方程。解：直線在yoz平面上的投影方程為，直線一定在投影柱面上，同理，直線也一定在投影柱面上，直線方程為，消去z得到直線在xoy面上的投影方程：內(nèi)容概要 主要內(nèi)容（7-6，7-7）空間平面及其方程平面的點(diǎn)法式方程過，法矢為的平面方程：平面的一般方程平面的截距式方程點(diǎn)到平面的距離：兩平面的夾角：（：，：）空間直線及其方程對稱式方程過，方向矢為的直線方程：對稱式方程和一般方程的關(guān)系：一般方程參數(shù)方程兩直線的夾角： （的方向矢，的方向矢）直線和平面的夾角：（直線： ，的方向矢為；平面：），的法矢為平面束方程（為一般方程式）

18、：習(xí)題7-61求通過點(diǎn)且與平面平行的平面方程。知識點(diǎn)：平面及其方程思路：已知平面上的一點(diǎn)和平面的法矢，可求出平面方程解：所求平面與已知平面平行，的法矢，由平面的點(diǎn)法式方程可得：2求過點(diǎn)且與連接坐標(biāo)原點(diǎn)及點(diǎn)的線段垂直的平面方程。知識點(diǎn)：平面及其方程解：所求平面與垂直，的法矢，又過點(diǎn)，：3求過點(diǎn)三點(diǎn)的平面方程。思路：根據(jù)條件，平面過已知點(diǎn)，若能求出平面的法矢就可得平面方程。解：所求平面過三點(diǎn)，平面的法矢應(yīng)滿足：，；可選擇，：注：三點(diǎn)組成的任意兩個(gè)向量的向量積都可作為平面的法矢4平面過原點(diǎn)，且垂直于平面，求此平面方程。思路：根據(jù)條件，已知平面過原點(diǎn)，若能求出平面的法矢就可得平面方程。解：設(shè)所求平面和

19、已知平面、的法矢分別為、，可選擇的法矢，：5指出下列各平面的特殊位置：（1）； （2）； （3）； （4）；（5）； （6）； （7）。答：（1）該平面平行于yoz面；（2）該平面平行于xoz面；（3）該平面平行于z軸；（4）該平面平行于z軸且過原點(diǎn)，即過z軸；（5）該平面平行于x軸；（6）該平面平行于y軸且過原點(diǎn)，即過y軸（7）該平面過原點(diǎn)6求平面和各坐標(biāo)軸的夾角余弦知識點(diǎn)：平面及向量的方向余弦解：平面的法矢，和x、y、z軸的夾角余弦分別為：7已知和，求平行于所在的平面且與它的距離等于2的平面方程。思路：可先借鑒本單元的習(xí)題3，求出過的平面的法矢，也是所求平面的法矢。解：設(shè)所求平面的法矢為，

20、設(shè)的平面一般方程為：，有條件所在的平面與的距離等于2點(diǎn) 到平面的距離的方程為： 或 8確定的值，使平面適合下列條件之一：（1）經(jīng)過點(diǎn)； （2）與垂直； （3）與平行；（4）與成角； （5）與原點(diǎn)的距離等于3； （6）在y軸上的截距為。解：（1）平面經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)代入平面方程可得：（2）平面與平面垂直，兩平面的法矢垂直，（3）平面與平面平行，兩平面的法矢平行（4）平面與平面成角，兩平面的法矢夾角為（5）平面與原點(diǎn)的距離等于3，（6）平面在y軸上的截距為，根據(jù)平面的截距式方程：9求點(diǎn)到平面的距離。解：根據(jù)點(diǎn)到平面的距離公式：10求平行于平面且與球面相切的平面方程。思路：所求平面/平面，所以可知的法矢，

21、由與球面相切的條件又可知球心到平面的距離。解：所求平面/平面，的法矢，設(shè)的方程為：，與球面相切，球心到平面的距離為球半徑10，：11求平面與的夾角的平分面的方程。知識點(diǎn)：平面與平面的夾角、點(diǎn)到平面的距離思路：兩平面的夾角平分面上的點(diǎn)應(yīng)滿足到兩平面的距離相等解：設(shè)所求平面上的動點(diǎn)坐標(biāo)，是平面與平面的夾角的平分面，到兩平面的距離相等，于是：，習(xí)題7-71求過點(diǎn)且平行于直線的直線方程。知識點(diǎn)：直線的對稱式方程解：所求直線/直線，的方向矢，又已知過點(diǎn)：2求過兩點(diǎn)和的直線方程。知識點(diǎn)：直線的對稱式方程解：所求直線過兩點(diǎn)和，的方向矢可取為，：3用對稱式方程及參數(shù)方程表示直線。知識點(diǎn)：直線的各種表達(dá)式之間的

22、轉(zhuǎn)換解：直線表達(dá)為兩平面交的一般方程形式：，則的方向矢和兩平面的法矢都垂直，取上的一點(diǎn)：令，的對稱式方程：，的參數(shù)方程：4證明兩直線與平行。證明：根據(jù)上一題解答可知直線的方向矢直線的方向矢，/5求過點(diǎn)且與兩直線和都平行的平面方程。思路：所求平面和兩直線平行，則說明的法矢和兩直線的方向矢都垂直。解：設(shè)所求平面的法矢為；兩直線：和：的方向矢分別為。/，/，其中，：6求過點(diǎn)且與兩平面和平行的直線方程。思路：所求直線與兩已知平面平行，所以的方向矢和兩平面的法矢都垂直。解：設(shè)所求直線的方向矢為，兩平面：和：的法矢分別為，：7求過點(diǎn)且通過直線的平面方程。思路：易知：已知點(diǎn)不在直線上，所以通過點(diǎn)和直線的平面

23、方程和通過三點(diǎn)的平面方程的求法相似。解：設(shè)所求的平面的法矢為，直線：的方向矢，在上，；取直線上的一點(diǎn)，和已知點(diǎn)組成向量，易知：，：8求直線與平面的夾角。知識點(diǎn)：直線與平面的夾角解：設(shè)直線：的方向矢為，平面：的法矢為，直線與平面的夾角為。則，可取9試確定下列各組中的直線和平面間的關(guān)系：（1）和； （2）和；（3）和。思路：通過直線和平面的夾角即可確定它們的關(guān)系解：在每道小題中都設(shè)直線的方向矢為，平面的法矢為，直線與平面的夾角為。則（1），又上的點(diǎn)不滿足，不在上，（2）（3）又上的點(diǎn)滿足，在上。10求點(diǎn)在平面上的投影。思路：根據(jù)點(diǎn)在平面上的投影的定義可知求投影點(diǎn)的過程：（1）過點(diǎn)作平面的垂線；（2

24、）垂線和平面的交點(diǎn)（即投影點(diǎn)）解：過點(diǎn)作平面：的垂線，設(shè)的方向矢為，平面的法矢為，則可選，：，將的參數(shù)方程代入求出和的交點(diǎn)（即投影點(diǎn)）：11設(shè)是直線外一點(diǎn)，是直線上任意一點(diǎn)，且直線的方向向量為，試證：點(diǎn)到直線的距離。知識點(diǎn)：向量積和空間直線及其方程思路：畫簡圖可知：距離是由、以及當(dāng)把的起點(diǎn)放在時(shí)的終點(diǎn)坐標(biāo)三點(diǎn)組成的三角形底邊上的高，見圖7-7-11圖7-7-11解：設(shè)當(dāng)把的起點(diǎn)放在時(shí)的終點(diǎn)坐標(biāo)為，即為底邊上的高根據(jù)向量積的性質(zhì)可知的面積，又12求直線在平面上的投影直線方程。方法一：可根據(jù)求投影直線的過程逐步求得：（1）求過直線垂直于的平面；（2）與的交線即為在上的投影直線。解：過的平面束方程為

25、，此平面束中和垂直的平面應(yīng)滿足：，過直線垂直于的平面：，在平面上的投影直線方程為：方法二：可通過求和的交點(diǎn)以及的方向矢寫出所求投影直線的對稱式方程解：和的交點(diǎn)滿足：的方向矢，設(shè)的法矢為，則和它的投影直線組成平面的法矢滿足：且投影直線的方向矢應(yīng)滿足：且投影直線方程：13已知直線，求：（1）直線在yoz平面上的投影方程； （2）直線在xoy平面上的投影方程；（3）直線在平面上的投影直線方程。解：（1）由曲線在坐標(biāo)面上投影知識可知： 中消去x，可得在yoz面上的投影：注：也可參照習(xí)題12的方法做（2）中消去在，可得在xoy面上的投影：注：也可參照習(xí)題12的方法做（3）過的平面束方程為，此平面束中和垂

26、直的平面應(yīng)滿足：無解，說明這些平面都不垂直于，過且不在平面束方程中的平面只有一個(gè)：，此平面設(shè)為，確有：，即為過直線且垂直于的平面在平面上的投影直線方程為：14證明直線與直線相交，并求它們交角的平分線方程。知識點(diǎn)：直線及其方程證：將直線：化為參數(shù)式：，代入直線（題有問題？）習(xí)題7-81 畫出下列方程所表示的曲面：（1）； （2）； （3）。圖7-8-1-1圖7-8-1-2圖7-8-1-32指出下列方程所表示的曲線：（1）； （2）；（3）； （4）。答：（1）平面上的圓；（2）平面上的橢圓； （3）平面上的雙曲線；（4）平面上的拋物線3畫出下列各曲面所圍成的立體的圖形：（1）；圖7-8-3-1圖

27、7-8-3-1（2）圖7-8-3-2（3），在第一卦限內(nèi)。圖7-8-3-3（4），在第一卦限內(nèi)。0圖7-8-3-4總習(xí)題七1已知為單位向量，且滿足，計(jì)算。知識點(diǎn)：向量的數(shù)量積解：， （1）同理可得： （2） （3）（為單位向量）向量的數(shù)量積滿足交換律，將（1）、（2）、（3）式相加2設(shè)三角形的三邊，三邊中點(diǎn)依次為、，試證明知識點(diǎn)：向量及其線性運(yùn)算證明：根據(jù)向量線性運(yùn)算的三角形法則，同理可得：；，3設(shè)，求。知識點(diǎn)：向量的數(shù)量積及其性質(zhì)解：；。4已知，問：系數(shù)為何值時(shí)，向量與垂直知識點(diǎn)：向量的數(shù)量積及其性質(zhì)解：根據(jù)兩向量垂直的充要條件，要使向量與垂直，必須，由已知條件，5求與向量共線且滿足方程的向

28、量。知識點(diǎn)：向量的線性運(yùn)算以及向量的數(shù)量積解：根據(jù)已知條件：與共線，可設(shè)，由6設(shè)，證明三向量共面，并用和表示知識點(diǎn)：向量的混合積解：根據(jù)向量混合積的性質(zhì)：三個(gè)向量宮面的充要條件是它們的混合積為零共面若設(shè)，7證明點(diǎn)到一通過點(diǎn)、方向平行于向量的直線的距離為，其中。證明：該題類似于習(xí)題7-7的11題，把向量的起點(diǎn)放在，設(shè)此時(shí)的終點(diǎn)坐標(biāo)為，即為底邊（即）上的高，根據(jù)習(xí)題7-7的11題的結(jié)論：8已知向量非零，且不共線，作，是實(shí)數(shù)，證明：最小的向量垂直于，并求當(dāng)，時(shí)，使最小的向量。知識點(diǎn)：向量的數(shù)量積及其性質(zhì)、一元函數(shù)的最值解：設(shè)，則由（唯一駐點(diǎn)），最小的向量，當(dāng)，時(shí)，使最小的向量9將xoy坐標(biāo)面上的雙曲

29、線分別繞x軸及y軸旋轉(zhuǎn)一周，求所生成的旋轉(zhuǎn)曲面方程。知識點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)曲面及其方程解：當(dāng)xoy坐標(biāo)面上的雙曲線繞x軸旋轉(zhuǎn)時(shí)旋轉(zhuǎn)曲面方程為：。繞y軸旋轉(zhuǎn)時(shí)旋轉(zhuǎn)曲面方程為：10求直線：繞z軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面方程。知識點(diǎn)：求旋轉(zhuǎn)曲面方程的原理解：設(shè)所求旋轉(zhuǎn)曲面上的動點(diǎn)坐標(biāo)為，且它是由直線：上的某一點(diǎn)繞z軸旋轉(zhuǎn)得到，所以，和 滿足：（1）；（2），將代入（2）可得：11求曲線在三個(gè)坐標(biāo)面上的投影曲線方程。解：（1）方程組消去z，可得在xoy面上的投影曲線方程（2）方程組消去x可得在yoz面上的投影曲線方程（3）方程組消去y可得在yoz面上的投影曲線方程12求曲線在三個(gè)坐標(biāo)面上的投影方程。解：（1）方程組消去

30、z，可得在xoy面上的投影曲線方程（2）方程組消去x可得在yoz面上的投影曲線方程（3）方程組消去y可得在yoz面上的投影曲線方程13求螺旋線在三個(gè)坐標(biāo)面上的投影曲線的直角坐標(biāo)方程。解：（1）螺旋線消去z，可得螺旋線在xoy面上的投影曲線方程：總是滿足：投影方程為 （2）螺旋線消去x，可得螺旋線在yoz面上的投影曲線方程： ，代入，投影方程為 （3）螺旋線消去y，可得螺旋線在xoz面上的投影曲線方程：，代入，投影方程為14求由上半球面，柱面及平面所圍成的立體在xoy面和xoz面上的投影。解：（1）上半球面含在柱面內(nèi)的立體在xoy面上的投影就是：（2）當(dāng)投影到xoz面上，該立體投影的邊界為xoz

31、面上的：，立體在xoz面上的投影為：15求與已知平面平行且與三坐標(biāo)面構(gòu)成的四面體體積為1的平面方程。知識點(diǎn)：平面及其方程解：所求平面和平行，所以設(shè)的方程為，化為截距式方程：，與三坐標(biāo)面構(gòu)成的四面體體積為1，：16求通過點(diǎn)且與直線垂直的平面方程。思路：所求平面和已知直線垂直，則直線的方向矢即為平面的法矢解：設(shè)直線的方向矢，所求平面的法矢，取：17求過直線且在y軸和z軸有相同的非零截距的平面方程。思路：所求平面過直線，而又表達(dá)為一般方程，因此可用平面束方程表示解：過已知直線的平面束方程： 此方程化為：， 其中在y軸和z軸有相同的非零截距的平面應(yīng)滿足： 代入得所求平面：18在平面和平面所確定的平面束

32、內(nèi)，求兩個(gè)相互垂直的平面，其中一個(gè)平面經(jīng)過。解：過的平面束方程：，將代入：經(jīng)過的平面：平面束中和垂直的應(yīng)滿足：19用對稱式方程及參數(shù)方程表示直線。知識點(diǎn)：直線三種方程形式之間的轉(zhuǎn)換解：設(shè)直線：的方向矢為，平面的法矢，平面的法矢，再取上的一點(diǎn)，得的對稱式方程：，的參數(shù)方程：20求與兩直線和垂直且相交的直線方程。方法一：所求直線（公垂線）應(yīng)該既在過、的平面上，又在過、的平面上，所以是兩平面的交線。解：的方向矢：，的方向矢：，公垂線的方向矢過的平面束方程：，其中垂直于的平面應(yīng)滿足：，得到過、的平面：過的平面束方程：其中垂直于的平面應(yīng)滿足：得到過、的平面：方法二：所求直線，因此可求得的方向矢，再求、（

33、或、）的交點(diǎn)就可求出的對稱式方程或參數(shù)式方程解：如方法一所解，可得公垂線的方向矢設(shè)、的交點(diǎn)為，則有：，：，代入：方法三：設(shè)、的交點(diǎn)，、的交點(diǎn)，根據(jù)條件可知：，從而求得，得到過兩點(diǎn)的直線方程解：設(shè)已求出，滿足：，滿足：，由，得：，：21求與原點(diǎn)關(guān)于平面對稱的點(diǎn)。思路：過原點(diǎn)作平面的垂線，在上找出原點(diǎn)關(guān)于平面的對稱點(diǎn)。解：過原點(diǎn)垂直于平面的垂線方向式就是平面的法矢：，設(shè)在上原點(diǎn)關(guān)于平面的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為：，則有：，又和原點(diǎn)到平面的距離相等可得：，（舍去）原點(diǎn)關(guān)于平面對稱的點(diǎn)：22求點(diǎn)到直線的距離。方法一：可參照習(xí)題7-7第11題的方法做解：直線：的方向矢可取，在上取一點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離，方法二：過

34、作直線的垂直平面，和的交點(diǎn)即為在上的垂足。解：設(shè)已求出直線的方向矢，則過垂直于直線的平面：，和的交點(diǎn)：，23求直線與平面間夾角的正弦。知識點(diǎn)：直線與平面的夾角解：直線：的方向矢，平面的法矢則由直線與平面的夾角公式：24設(shè)直線通過點(diǎn)，且和兩直線，相交，求此直線方程。方法一：若設(shè)所求直線和已知直線、的交點(diǎn)分別為，直線（即）一定在過和的平面上，直線（即）也一定在過和的平面上。由此求得直線的一般方程。解：過的平面束方程為：，將代入可得無解，可驗(yàn)證包含的平面就經(jīng)過，通過點(diǎn)和直線的平面方程：過的平面束方程為：，將代入可得：，通過點(diǎn)和直線的平面方程：方法二：所求直線在過和直線的平面上，也在過和直線的平面上，

35、因此的方向矢垂直于兩平面的法矢。解：的方向矢：，上取一點(diǎn)的方向矢：，上取一點(diǎn)過和直線的平面的法矢過和直線的平面的法矢的方向矢：25求點(diǎn)在直線上的投影。思路：過點(diǎn)作已知直線的垂直平面，和的交點(diǎn)即為所求投影解：直線：的方向矢為，過點(diǎn)垂直于平面：將：代入平面，該點(diǎn)即為所求投影點(diǎn)。26求直線在平面上的投影直線方程。思路：過作垂直于的平面，投影直線在此平面上。解：過的平面束方程：，其中垂直于的平面應(yīng)滿足：則過垂直于的平面方程為：，投影直線也在上投影直線方程：27一動點(diǎn)與點(diǎn)的距離是它到平面的距離的，試求動點(diǎn)的軌跡方程，并求該軌跡曲面與yoz平面的交線。解：設(shè)動點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)條件可列式：軌跡方程：該軌跡曲面與yoz平面的交線：28設(shè)有直線及平面，光線沿直線投射到平面上，求反射線所在的直線方程圖7-28方法一：可求出過垂直于平面的平面，反射線一定在上；又可求出過和平面的交點(diǎn)且垂直于的直線，再求過該直線與平面的法矢成入射角的平面，反射線也在上。解：直線的方向矢，設(shè)的法矢為求出（1）、直線和平面的交點(diǎn)：取和成銳角的直線的方向矢，（此時(shí)）（2）、直線的方向矢和平面的法矢的夾角（入射角）成立：則和方向一致長度為的矢量，根據(jù)向量的三角形法則（見圖7-28）可知反射線的方向矢，反射線方程：注：取和成銳角的直線的方向矢，是為