研究生入學(xué)考試概率考題及解析

1、2006年研究生入學(xué)考試概率考題及解析（6）設(shè)隨機變量相互獨立，且均服從區(qū)間上的均勻分布，則 .【分析】 利用的獨立性及分布計算.【詳解】 由題設(shè)知，具有相同的概率密度.則.【評注】 本題屬幾何概型，也可如下計算，如下圖：則（13）設(shè)為隨機事件，且，則必有(A) (B) (C) (D) B 【分析】 利用事件和的運算和條件概率的概念即可.【詳解】 由題設(shè)，知 ，即.又.故應(yīng)選().（14）設(shè)隨機變量服從正態(tài)分布，服從正態(tài)分布，且則必有(A) (B) (C) (D) D 【分析】 利用標準正態(tài)分布密度曲線的幾何意義可得.【詳解】 由題設(shè)可得，則，即.其中是標準正態(tài)分布的分布函數(shù).又是單調(diào)不減函數(shù)

2、，則，即.故選(A).（22）（本題滿分9分）設(shè)隨機變量的概率密度為，令為二維隨機變量的分布函數(shù).()求的概率密度().【分析】 求一維隨機變量函數(shù)的概率密度一般先求分布，然后求導(dǎo)得相應(yīng)的概率密度或利用公式計算.【詳解】 （I）設(shè)的分布函數(shù)為，即，則1) 當(dāng)時，；2) 當(dāng)時， .3) 當(dāng)時，.4) 當(dāng)，.所以.（II） .（23）（本題滿分9分）設(shè)總體的概率密度為其中是未知參數(shù)，為來自總體的簡單隨機樣本，記為樣本值中小于1的個數(shù)，求的最大似然估計.【分析】 先寫出似然函數(shù)，然后用最大似然估計法計算的最大似然估計.【詳解】 記似然函數(shù)為，則.兩邊取對數(shù)得，令，解得為的最大似然估計.2006年研究

3、生入學(xué)考試概率考題及解析（5）設(shè)隨機變量相互獨立，且均服從區(qū)間上的均勻分布，則 .【分析】 利用的獨立性及分布計算.【詳解】 由題設(shè)知，具有相同的概率密度.則.（6）設(shè)總體的概率密度為為總體的簡單隨機樣本，其樣本方差為，則 【分析】利用樣本方差的性質(zhì)即可. 【詳解】因為 ， 所以 ，又因是的無偏估計量，所以 .（14）設(shè)隨機變量服從正態(tài)分布，服從正態(tài)分布，且則必有(B) (B) (C) (D) A 【分析】 利用標準正態(tài)分布密度曲線的幾何意義可得.【詳解】 由題設(shè)可得，則，即.其中是標準正態(tài)分布的分布函數(shù).又是單調(diào)不減函數(shù)，則，即.故選(A).（22）（本題滿分13分）設(shè)隨機變量的概率密度為，令為二維隨機變量的分布函數(shù).()求的概率密度；() ；().【分析】 求一維隨機變量函數(shù)的概率密度一般先求分布，然后求導(dǎo)得相應(yīng)的概率密度或利用公式計算.【詳解】 （I） 設(shè)的分布函數(shù)為，即，則5) 當(dāng)時，；6) 當(dāng)時， .7) 當(dāng)時，.8) 當(dāng)，.所以.（II） ，而 ， ，所以 .() .（23）（本題滿分13分）設(shè)總體的概率密度為其中是未知參數(shù)，為來自總體的簡單隨機樣本，記為樣本值中小于1的個數(shù).（）求的矩估計；（）求的最大似然估計【分析】 利用矩估計法和最大似然