第七講 摩擦角及其它

1、第七講 摩擦角及其它1、“千斤頂”中的學問【例1】在固定的斜面上放一物體，并對它施加一豎直向下的壓力，物體與斜面間的摩擦因數(shù)為。求斜面傾角的最大值，使得當m時，無論豎直向下的壓力有多大，物體也不會滑下。分析：如圖，物體受四個力，重力和壓力的合力為G+F，靜摩擦力Fs，斜面支持力FN。將G+F分解為F1和F2，根據(jù)平衡條件得 FN = F2=（G+F）cos Fs= F1=（G+F）sin物體不會滑下的條件是Fs小于最大靜摩擦力Fm，而Fm=FN ，從而有 （G+F）sin（G+F）cos化簡得 arctan所以只要arctan，無論F有多大，物體也不會滑下。說明： “千斤頂”螺旋實際可以看作是

2、的彎曲斜面。2、推力的極大值（自鎖）【例2】在機械設計中，常用到下面的力學裝置，如圖只要使連桿AB與滑塊m所在平面法線的夾角小于某個值，那么無論連桿AB對滑塊施加多大的作用力，都不可能使之滑動，且連桿AB對滑塊施加的作用力越大，滑塊就越穩(wěn)定，工程力學上稱為自鎖現(xiàn)象。則自鎖時應滿足什么條件？設滑塊與所在平面間的動摩擦因數(shù)為。分析：將連桿AB對滑塊施加的推力F分解，且F遠遠大于mg，可以忽略。則滑塊m 不產(chǎn)生滑動的條件為 FsinFcos化簡得自鎖的條件為 arctan。3、運動員的彎道技術【例3】在田徑比賽、摩托車賽、自行車賽等運動項目中，當通過彎道時，運動員必須傾斜與路面保持一定的角度才能順利

3、通過彎道，這就是運動員的彎道技術。路面的彎道半徑越小，運動員的速度越快，運動員的傾斜角就越大。設在摩托車比賽中，摩托車與路面間的摩擦因數(shù)為，試求摩托車所能達到的最大傾角。分析：運動員要穩(wěn)定地平動，路面對摩托車的力必須通過整體的重心，所以靜摩擦力F1與支持力F2的夾角等于運動員與路面的傾斜角度。而路面對摩托車整體的力F是F1和F2的合力，由圖知 F1= F2tan=mg tan對摩托車的最大靜摩擦力為 Fm=F2=mg則摩托車不傾倒的條件是 F1Fm 化簡得 arctan所以摩托車所能達到的最大傾角為m= arctan。4、拉力的極小值【例4】在水平面上放有一質(zhì)量為m的物體，物體與地面的動摩擦因

4、數(shù)為，現(xiàn)用力F拉物體，使其勻速運動，怎樣施加F才能最小。分析：設拉力與水平面間的夾角為，將拉力F分解，并列出平衡方程，由動摩擦力公式得 Fcos=（mg-Fsin），化簡為 （其中令）當時F有最小值： ， 且 = arctan。5、破冰船中的道理【例5】1999年，中國首次北極科學考察隊乘坐我國自行研制的“雪龍”號科學考察船。“雪龍”號科學考察船不僅采用特殊的材料，而且船體的結構也滿足一定的條件，以對付北極地區(qū)的冰塊和冰層。它是靠本身的重力壓碎周圍的冰塊，同時又將碎冰塊擠向船底，如果碎冰塊仍擠在冰層與船體之間，船體由于受到巨大的側(cè)壓力而可能解體。為此，船體與豎直方向之間必須有一傾角。設船體與冰

5、塊之間的動摩擦因數(shù)為。試問使壓碎的冰塊能被擠壓向船底，角應滿足的條件。分析：冰塊受到三個力：冰層對冰塊的水平向后的擠壓力，船體對冰塊的側(cè)壓力F，以及沿船體方向的摩擦力（冰塊的重力和浮力可以忽略）。將F分解，如圖 FN = F1=Fcos Ff =FN 能使壓碎的冰塊被擠壓向船底必須滿足的條件為F2Ff ，有Fsin Fcos 化簡得 arctan6、壓延機原理【例6】壓延機由兩輪構成，兩輪的直徑均為d=50mm，輪間的間隙為a=5mm，兩輪按反方向轉(zhuǎn)動，如圖中箭頭所示。已知燒紅的鐵板和鑄鐵輪之間的摩擦因數(shù)為=0.1，問能壓延的鐵板厚度b是多少？分析：鐵板的A、B兩點和鑄鐵輪接觸，接觸點與轉(zhuǎn)軸連

6、線的夾角為。在A點鐵板受到FN1和Ff1兩個力，在B點鐵板受到FN2和Ff2兩個力，如圖所示。要使鐵板能壓延鐵板所受合力必須向右，則 =arctan則鐵板的最大厚度為 bm= a+2（r-rcos）=7.48mm所以能壓延的鐵板厚度 b7.48mm【例7】物體放在水平面上，用與水平方向成30°的力拉物體時，物體勻速前進。若此力大小不變，改為沿水平方向拉物體，物體仍能勻速前進，求物體與水平面之間的動摩擦因素。答案：引進全反力R ，對物體兩個平衡狀態(tài)進行受力分析，再進行矢量平移，得到圖18中的左圖和中間圖（注意：重力G是不變的，而全反力R的方向不變、F的大小不變），m指摩擦角。再將兩圖重

7、疊成圖的右圖。由于灰色的三角形是一個頂角為30°的等腰三角形，其頂角的角平分線必垂直底邊故有：m = 15°。最后，= tgm=0.268?！纠?】(第三屆全國預賽)如圖217所示用力F推一放在水平地面上的木箱，質(zhì)量為M，木箱與地面間摩擦因數(shù)為 問：當力F與豎直成夾角j多大時，力F再大也無法推動木箱? 思路分析本題屬于物體平衡問題，一般方法是用平衡條件列方程求極值，但這里用摩擦角的概念分析，問題會更加簡單解:選物體為研究對象，受力如圖2-1-8所示，其受四個力作用而靜止，將彈力N和摩擦力f合成作出全反力F 當物體將要發(fā)生滑動時，靜摩擦角j0。滿足tgj0=m，由平衡條件知當

8、0<j<j0時，物體出現(xiàn)自瑣現(xiàn)象，也就是說此時無論用多大的力都不會使物體推動，故j角屬于范圍(0,j0)。 一個接觸面的平衡問題【例9】一物體質(zhì)量為m，置于傾角為的斜面上，物體與斜面間的動摩擦因數(shù)為，若要使物體沿斜面勻速向上滑動，求拉力的最小值。解析：本題有兩種解法，一種是根據(jù)平衡條件利用數(shù)學建模得到后再求極值，另一種是引入全反力（摩擦角）化四力平衡為三力平衡根據(jù)矢量三角形直觀快速地求解。解法一：（利用平衡條件求解）設拉力與斜面夾角為，則由平衡條件可得：即有 令，則有 解法二：（引入摩擦角）如圖1所示，設，則由平衡條件和矢量三角形可得：當拉力F垂直于全反力方向時此時F的拉力最小，即

9、：【例10】結構均勻的梯子AB，靠在光滑豎直墻上，已知梯子長為L，重為G，與地面間的動摩擦因數(shù)為，如圖所示，（1） 求梯子不滑動，梯子與水平地面夾角的最小值0；（2） 當=0時，一重為P的人沿梯子緩慢向上，他上到什么位置，梯子開始滑動？分析：本題也有兩種解法：解法一是根據(jù)物體的平衡條件求解，這是常規(guī)解法；另一解法是分析出它臨界條件0再引入摩擦角解。解法一：（1）如圖2所示，平衡條件可得：由上述3式可解得：（2）如圖3所示，由平衡條件可得：由上述3式可解得： 解法二：（1）（引入摩擦角）如圖4所示，由平衡條件可得： 所以有 （2）如圖5所示，將梯子和人的重力用其等效重力代替，當?shù)刃е亓Φ闹匦倪€在

10、梯子重心下面時梯子還不會滑倒，當?shù)刃е亓Φ闹匦倪€在梯子重心上面時梯子就會滑倒，所以當人上到梯子一半即L/2時，梯子開始滑動。一 兩個接觸面的平衡問題【例11】一架均勻梯子，一端放置在水平地面上，另一端靠在豎直的墻上，梯子與地面及梯子與墻的靜摩擦系數(shù)分別為1、2，求梯子能平衡時與地面所成的最小夾角。分析：此題同樣有兩種解法，為了節(jié)省篇幅，接下來只介紹引入摩擦角的解法。此題是多點摩擦的問題，而且又是多點同時滑動，所以系統(tǒng)達到臨界平衡狀態(tài)（極限平衡狀態(tài)）時，即梯子與水平所成的夾角最小時，各處摩擦力均達到最大值。現(xiàn)把兩端點的受力用全反力表示，則梯子就只受三個力，且三個力必共點。解：如圖6所示， ，由平

11、衡條件和幾何關系可得： 即梯子與地面所成的最小的角為 想一想為什么多點摩擦同時滑動的臨界條件是多點的摩擦力同時達到最大值？思考題質(zhì)量為m的均勻梯子，一端在堅直光滑的墻上，另一端置于粗糙的水平地面上，靜摩擦系數(shù)為，一個質(zhì)量為M的人沿梯往上爬，為了保證該人的安全，對梯子的放置有什么要求？（答案：）【例12 】一梯子長為L，斜靠在豎直的墻壁上，梯子的傾角為，與水平地面間的靜摩擦系數(shù)為，與豎直墻面間的靜摩擦系數(shù)為為，不計梯子的重力，求：重為G的人沿梯子能上升的最大高度。解：以梯子和人組成的系統(tǒng)為研究對象，如圖所示，建立直角坐標系：地面對梯子的全反力F1的直線方程：y=(xLcos) （1）豎直墻面對梯

12、子的全反力F2的直線方程：y=tanx +Lsin （2）梯子AB的直線方程：y=tan（xLcos） （3）當人達最高時，梯子將要滑動，此時有： tan= tan= 代入上式由（1）、（2）兩式可得F1 與F2的交點P坐標為：x=代入（3）式得人達到的最大高度為：y=令h=Lsin 則：y=討論：（1）當tan時，y,說明人可到達梯子的頂端，即：ymax=L sin。也就是說，梯子的傾角大于某一臨界角時（tan=），梯子會處于自鎖狀態(tài)。這種情況在實際中正是人們所希望的，因此人們通常把梯子放得陡一些，使得人無論爬到梯子的任何位置，梯子都將因自鎖而不至滑倒，而且梯子與水平地面間的靜摩擦系數(shù)越大，

13、臨界角就會越小，梯子會更容易實現(xiàn)自鎖狀態(tài)。（2）、當tan時，y<h,說明人不能到達梯子的頂端，即：ymax= 如果此題考慮到梯子的重力，則上述結果便是人與梯子系統(tǒng)重心的最大高度，根據(jù)系統(tǒng)重心的計算公式，也可計算出人沿梯子上升的最大高度。小結：由于摩擦角與全反力所在直線的斜率存在著特殊的關系，所以在解決此類有關全反力及摩擦角的問題時，應首選“坐標法”，這樣可避免解繁瑣的三角形，使解題的目的性更加明確，從而達到事半功倍的效果?！纠?2 】 如圖9所示，每側(cè)梯長為的折梯置于鉛垂平面內(nèi)，已知A、B兩處動摩擦因數(shù)分別為A=0.2、B=0.6 ，不計梯重，求人能爬多高而梯不滑到。解析：這是多點摩擦不同時滑動的平衡問題，比前面的例題要復雜。如果地面與梯的摩擦系數(shù)足夠大，則梯子不會滑到，現(xiàn)兩邊的摩擦系數(shù)較小，所以梯子有可能滑到，所以必須對A、B分別分析。解：由題意可得：，如果從A開始往上爬，爬到如圖所示時梯子將滑到，此時受力如圖9所示，設此時人離A端的距離為S，則由平衡條件和幾何關系可得： 所以從A端能爬的最大