第7章矢量代數(shù)與空間解析幾何VIP

1、第七章 空間解析幾何（一）、基本內(nèi)容（一）空間直角坐標(biāo)系兩點(diǎn)間距離公式（二）空間向量1 向量的概念(1) 向量(2) 向量的模(3) 零向量(4) 單位向量(5) 反向量(6) 向量相等2 向量的運(yùn)算(1) 向量的加法(2) 向量的減法(3) 向量的數(shù)乘(4) 向量的數(shù)量積（點(diǎn)積）(5) 向量的向量積（叉積）（三）向量的坐標(biāo)1 向量的坐標(biāo)表達(dá)式2 向量運(yùn)算及性質(zhì)的坐標(biāo)表示3 向量的方向余弦（四）空間平面及方程1 平面的方程(1) 點(diǎn)法式方程(2) 一般方程(3) 截距式方程2 有關(guān)平面的幾個(gè)問(wèn)題(1) 點(diǎn)到平面的距離(2) 兩平面間的夾角余弦(3) 兩平面間位置關(guān)系（五）空間直線(xiàn)及程1.空間直

2、線(xiàn)的方程(1)對(duì)稱(chēng)式方程(2)參數(shù)方程(3)一方程,看成兩平面的交線(xiàn)2.平面束方程（六）空間曲面及方程1 球面方程2 母線(xiàn)平行于坐標(biāo)軸的柱面方程3 旋轉(zhuǎn)曲面方程4 橢球面方程5 橢圓拋物面方程6 雙面拋物面方程（又稱(chēng)鞍形曲面）7 雙曲面方程（七）空間曲線(xiàn)及方程1.空間曲線(xiàn)的方程(1)一般方程(2)參數(shù)方程 2空間曲線(xiàn)在坐標(biāo)平面上的投影練習(xí)題答案1已知，求與的夾角解：由 可得 故2求以和為鄰邊的平行四邊形對(duì)角線(xiàn)間夾角的正弦解： ， 3證明：三角形三高交于一點(diǎn) 證： 如圖，OAEDCB 只需證 因 令 ， ， ，則有 從而 于是 即 ，得證4試證 證明：如圖，令A(yù)CB 同理 則 故得證5設(shè)向量與三

3、個(gè)基本單位向量成相等的銳角，且，求解：因 ，且 故 =A6已知三角形的頂點(diǎn)，與，求從頂點(diǎn)做出的中線(xiàn)的長(zhǎng)度解：如圖DBC7（1） 過(guò)點(diǎn)及軸；（2） 過(guò)點(diǎn)平行于平面；（3） 過(guò)點(diǎn)和且垂直于平面；（4） 過(guò)軸且與平面的夾角為；（5） 由點(diǎn)及直線(xiàn)：決定；（6） 由兩條相交直線(xiàn)和決定；(7) 經(jīng)過(guò)直線(xiàn)且與平面成角解： 設(shè)：點(diǎn)代入上式得 故： 設(shè)： 將得 故： 取由點(diǎn)法式方程得： 設(shè)： ， 得 或 故： 或 直線(xiàn)過(guò)點(diǎn) 得： 故： 設(shè)則，故： 設(shè)平面：整理 則 得 故： 8求由平面與所成二面角的平面方程解：設(shè)點(diǎn) 得：或 9求過(guò)直線(xiàn)，且在軸上截距為的平面方程解：設(shè)： 整理 故：10求過(guò)直線(xiàn)，且切于球面的平面方

4、程解：設(shè)：整理 球心到的距離為解得 故： 11寫(xiě)出下列直線(xiàn)方程：(1) 過(guò)點(diǎn)且平行于直線(xiàn)；(2) 過(guò)點(diǎn)且平行于直線(xiàn)；(3) 過(guò)點(diǎn)且平行于軸；(4) 過(guò)點(diǎn)且與直線(xiàn)相交，又平行于平面解：設(shè)直線(xiàn)的方向向量均為： 過(guò) 即 故 從而 ： ：故所求直線(xiàn)12若，兩點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，且的坐標(biāo)為，求點(diǎn)的坐標(biāo)。解： ：故13已知直線(xiàn)，求在面及平面上的投影方程。解：因：故14求兩不平行直線(xiàn)和之間的距離。解：故：點(diǎn)15求兩直線(xiàn)，的公垂線(xiàn)方程，且求公垂線(xiàn)的長(zhǎng)。求公垂線(xiàn)長(zhǎng) 故：求公垂線(xiàn)方程 故： 故： 從而公垂線(xiàn)為16在平面上求一直線(xiàn)，使之與兩直線(xiàn)和都相交解：由已知得： 17直線(xiàn)繞周旋轉(zhuǎn)一周，求旋轉(zhuǎn)曲線(xiàn)的方程解：18兩球面

5、和的交線(xiàn)在平面上的投影是什么曲線(xiàn)，寫(xiě)出它的方程解： 是橢圓19求過(guò)兩圓周和的球面方程解： 故球面方程為 20已知曲面，從原點(diǎn)沿方向余弦為的方向作射線(xiàn)交曲面于，證明：證明：設(shè)則將代入即證測(cè)試題（七-1）答案1已知向量(1).(2).(3).(4).解：2 解：已知向量，與。計(jì)算：（1） （2）（3） （4）解： ， 3設(shè)(1)；（2）（3）解：4問(wèn)在直線(xiàn)方程中各系數(shù)應(yīng)當(dāng)滿(mǎn)足哪些條件才會(huì)使（1）（2）（3）（4）直線(xiàn)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)；解：5.  設(shè)點(diǎn)解：直線(xiàn)故點(diǎn)ACB6一直線(xiàn)通過(guò)點(diǎn)解：如圖7設(shè)直線(xiàn)，則(1)(2)解：平行。到故于是：8 在直線(xiàn)解：設(shè)點(diǎn) 得 故點(diǎn)為9解：10指出下列方程表示什么曲

6、面，若是旋轉(zhuǎn)曲面，指出它們是什么曲線(xiàn)繞什么軸旋轉(zhuǎn)而產(chǎn)生的。解：， 兩個(gè)平面拋物柱面橢球面 ， 是雙曲拋物面拋物面， 是測(cè)驗(yàn)題（七-2）答案1下列說(shuō)法是正確的，為什么？是單位向量。不適單位向量；解：不正確，此向量模為 ； 不正確，2已知平行四邊形邊和的中點(diǎn)為，且，求和解：ABCDL故 故 3(1)設(shè)，而, (2)證明證明 : 則故 故 幾何意義：平行四邊形面積的兩倍等于以它的對(duì)角線(xiàn)為邊的平行四邊形的面積。4寫(xiě)出垂直與平面，且與它的交線(xiàn)在平面上的平面方程。解：故可設(shè)又由 故5平面過(guò)軸，且與平面求此平面方程解：設(shè)平面,得故：6設(shè)直線(xiàn)試判斷它們的位置關(guān)系，若相交，則求交點(diǎn)。解： 故得 ，故交點(diǎn)為7已知

7、平面，試求出直線(xiàn)解： 設(shè)則 因于是 得 故8設(shè) 及解：下面求設(shè)故下面求設(shè)將故所求直線(xiàn)為9求下列曲線(xiàn)形成的旋轉(zhuǎn)曲面方程(1). (2).(3).解： 10求球面三個(gè)坐標(biāo)平面上的投影。解： ， ，第八章 多元函數(shù)微分法一、基本內(nèi)容（一）元函數(shù)的基本概念1基本概念 （1）鄰域 （2）內(nèi)點(diǎn) （3）邊界點(diǎn) （4）開(kāi)集 （5）區(qū)域 2二元函數(shù)的極限與連續(xù)（二）偏導(dǎo)數(shù)和全微分1 偏導(dǎo)數(shù)2 全微分3 全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用（三）復(fù)合函數(shù)的微分法1 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則2 一階微分形式不變性（四）隱函數(shù)的微分法 1 一個(gè)方程的情形 2，方程組情形（五）微分法在幾何上的應(yīng)用 1空間曲線(xiàn)的切線(xiàn)與法平面 2曲面的切平面

8、與法線(xiàn) 3微分的幾何意義（六）方向?qū)?shù)和梯度 1方向?qū)?shù) 2梯度（七）多元函數(shù)的極值1 多元函數(shù)的極值2 條件極值練習(xí)題8.1. 確定下列函數(shù)的定義域(1)(2)(3)(4)解答：(1)得（2），時(shí)有定義.即時(shí)時(shí)包含錐面在內(nèi)的圓錐（3）得，即上半平面（4）得旋轉(zhuǎn)拋物面的內(nèi)部（不含表面）o8.2.設(shè)函數(shù),求 解答：8.3.設(shè) 求，解答：8.4.設(shè),求解答：8.5.設(shè)試討論在點(diǎn)的連續(xù)性，可微性。解答：（1）（）（2）不存在綜上（1），（2）在點(diǎn)連續(xù)，但不可微8.6.求下列二重極限(1) (2)(3) (4)解答：（1）（2）（3）此極限隨K改變而改變，因此極限不存在。（4）8.7求下列函數(shù)的一階偏

9、導(dǎo)數(shù)和全微分（1），解答：（2），解答：, 8.8求下列方程所確定函數(shù)的全微分（1）（2）解答：(1)令則 ， ， (2) 令則8.9函數(shù)由方程所確定，求。解答：方程兩端同時(shí)對(duì)求偏導(dǎo)，得則8.10設(shè), 求。解答：由確定了兩個(gè)函數(shù)方程組*對(duì)求導(dǎo)得解得 8.11設(shè)函數(shù)由方程確定。證明。證明：方程兩側(cè)分別同時(shí)對(duì)求偏導(dǎo)得 故得證8.12設(shè)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求。解答：8.13 設(shè) 求。解答：確定二個(gè)函數(shù)上二等式兩端同時(shí)對(duì)求導(dǎo)由法則8.14 方程組 確定了隱函數(shù)，當(dāng)，時(shí)，求解答：方程組對(duì)x求導(dǎo)得將代入上式得又8.15求曲面上平行于平面的切平面方程。解答：設(shè)滿(mǎn)足條件所求切平面與曲面的切點(diǎn)為則又則由解得故所

10、求切平面方程為：或化簡(jiǎn)8.16證明曲面和在點(diǎn)處相切。（即有公共切面）。解答：在點(diǎn)的切平面的法向量8.17設(shè)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)有 (是自然數(shù))，試證：曲面上任意一點(diǎn)的切平面相交于一定點(diǎn)。（設(shè)在任意點(diǎn)處）。證明：由令兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo)令為曲面上任一點(diǎn)，則且=曲面在點(diǎn)的切平面為整理得即此平面必過(guò)原點(diǎn)（0，0，0），故得證。8.18求空間曲線(xiàn)，在點(diǎn)處的切線(xiàn)和法平面方程。解答：設(shè) ，于是，它們?cè)邳c(diǎn)的值為由 得曲線(xiàn)在（1，1，1）的切線(xiàn)方程。 即 曲線(xiàn)在（1，1，1）的法平面方程為 即 8.19求函數(shù)在點(diǎn)沿方向的方向?qū)?shù)。解答：8.20求函數(shù)在點(diǎn)沿此點(diǎn)向徑方向的方向?qū)?shù)。解答：=8.21求函數(shù)在處

11、與軸的正向成135°角的方向的方向?qū)?shù)。解答：在M(1,2)處的值8.22求函數(shù)的極值。解答：求得穩(wěn)定點(diǎn)在點(diǎn)(1,2)處不是極值點(diǎn)在點(diǎn)(2,1)處極小值在點(diǎn)(-1,-2) 處不是極值點(diǎn)在點(diǎn)(-2,-1) 處是極大值點(diǎn)z極小(2,1)=-28, z極大(-2,-1)=288.23求函數(shù)在的條件下的極值。解答：令則得因?yàn)樗詷O值8.24求函數(shù)在條件下的極值。解答：設(shè)則解得且等號(hào)只在時(shí)才成立,故是極大值.測(cè)驗(yàn)題(八1)一、求下列函數(shù)的定義域（1）u=arcsin (2)z=解：(2)，二、求下列二重極限(1) (2)解：(1) (2)三、證明不存在證明： 此極限值隨的改變而不同，故得證.四

12、、求下列函數(shù)的指定的偏導(dǎo)數(shù)或全微分1、 設(shè)u=，其中具有=階偏導(dǎo)數(shù)，g為可導(dǎo)函數(shù)。求和解：2、 設(shè)方程確定了隱函數(shù) 求解：等式兩端同時(shí)對(duì)x求偏導(dǎo)則3、 設(shè)而 由方程組 確定求解：方程組確定了一組函數(shù)方程組對(duì)x求導(dǎo)則4、 設(shè)，（），求解：五、求函數(shù)在點(diǎn)是否可微？為什么？解：六、求在點(diǎn)沿曲線(xiàn)在該點(diǎn)法線(xiàn)（指向原點(diǎn)）方向的方向?qū)?shù)。解：,曲線(xiàn)在點(diǎn)切線(xiàn)斜率為法線(xiàn)斜率為由法線(xiàn)指向原點(diǎn)方向得 ，故 七、證明錐面的所有切平面都通過(guò)錐面的頂點(diǎn) 解：設(shè)錐面在點(diǎn)的切平面為又因?yàn)闈M(mǎn)足此平面恒過(guò)點(diǎn)八、求在閉域上的最大值與最小值。解：首先考慮函數(shù)在區(qū)域上的穩(wěn)定點(diǎn)求得唯一穩(wěn)定點(diǎn)（1，2），且再考慮函數(shù)在邊界上的情況在邊界上，此時(shí)，又,在邊界上，此時(shí)又在邊界上，此時(shí)經(jīng)比較,測(cè)驗(yàn)題（八2）一、確定的定義域，并證明此函數(shù)在其定義域上是連續(xù)的。解： = =當(dāng)故此函數(shù)在定義域上是連續(xù)的.二、1.設(shè)其中可微，有偏導(dǎo)數(shù)，求2.設(shè)其中可微，此方程確定一函數(shù),求。解：等式分別對(duì)x,y求導(dǎo)得 ,3設(shè)有連續(xù)二階偏導(dǎo)，二階可導(dǎo)求三、設(shè)確定了隱函數(shù)當(dāng)時(shí)，求解：方程組對(duì)x求導(dǎo)解得則當(dāng)時(shí)，有四、在曲線(xiàn)上求一點(diǎn) ，使曲線(xiàn)在此點(diǎn)處的切線(xiàn)平行于平面解：設(shè)曲線(xiàn)上任一點(diǎn)對(duì)應(yīng)的切向量為平面的法向量為 由曲線(xiàn)平行于平面得 故從而故即為所求點(diǎn)。五、在曲面上求一點(diǎn)，使這點(diǎn)的法線(xiàn)垂直于平面,并求此法線(xiàn)方程.解：設(shè)曲面上任一點(diǎn)對(duì)應(yīng)的法向