第25題綜合題分類討論思想市北初級尤文奕整理

1、第25題分類討論（市北初級尤文奕整理）（說明：分類討論思想是綜合題中常見的數(shù)學(xué)思想，運用分類討論思想的綜合題比比皆是，因此在這里我們僅選取了部分常見的體現(xiàn)不同解題思路的綜合題供老師們參考）（一）等腰三角形1、如圖，在半徑為6，圓心角為90°的扇形OAB的弧AB上，有一個動點P，PHOA，垂足為H，OPH的重心為G（1）當(dāng)點P在弧AB上運動時，線段GO、GP、GH中，有無長度保持不變的線段？如果有，請指出這樣的線段，并求出相應(yīng)的長度；（2）設(shè)PH=x, GP=y求y關(guān)于x的函數(shù)解析式,并寫出函數(shù)定義城；（3）如果PGH是等腰三角形,試求出線段PH長.（答案：（1）GH=2；（2）y=（

2、0<x<6）；（3）或2）2、已知，在中，.（1）求的長（如圖a）；（2）、分別是、上的點，且，連結(jié)并延長，交的延長線于點，設(shè)（如圖b）.求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出的定義域；當(dāng)為何值時，是等腰三角形？27.（1）BC=4（2）若，矛盾不存在. 1分若，則,，矛盾不存在. 1分若，過點作,垂足為點.1分1分整理得，又，解得（舍）1分當(dāng)時，是等腰三角形. 1分3、如圖5，在以O(shè)為圓心的兩個同心圓中，小圓的半徑為1，AB與小圓相切于點A，與大圓相交于B，大圓的弦BCAB，過點C作大圓的切線交AB的延長線于D，OC交小圓于E（1） 求證：AOBBDC；圖5（2） 設(shè)大圓的半徑為，CD的長為

3、，求與之間的函數(shù)解析式，并寫出定義域（3） BCE能否成為等腰三角形？如果可能，求出大圓半徑；如果不可能，請說明理由25解：（1）略；（2）函數(shù)解析式為，定義域為（3）當(dāng)EB=EC時，ECB=EBC，而ECB=OBC，EBEC當(dāng)CE=CB時，OC=CE+OE=CB+OE=2+1=3（1分）當(dāng)BC=BE時，BEC=ECB=OBC，則BCEOCB（1分）則設(shè)OC = x,則CE=,(負值舍去).OC=.（1分）綜上所述，BCE能成為等腰三角形，這時大圓半徑為3或（二）直角三角形ABPCM1、如圖，在ABC中，AB=AC=5cm，cosB=，點P為BC邊上一動點（不與點B、C重合），過點P作射線PM

4、交AC于點M，使APM=B（1）設(shè)BP=x，CM=y求 y與x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域（2）當(dāng)PCM為直角三角形時, 求點P、B之間的距離（答案：（1）y=（0<x<8）；（2）或4）2、已知：如圖，在梯形ABCD中，ADBC，ABCD5，AD6，BC12，點E在AD邊上，且AE：ED1：2，連接CE，點P是AB邊上的一個動點，（P不與A，B重合）過點P作PQCE，交BC于Q，設(shè)BPx，CQy，（1）求CosB的值；（2）求 y與x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；（3）連接EQ，試探索EQC有無可能是直角三角形，若可能，試求出x的值，若不能，請簡要說明理由。 A E D

5、P B Q C25解：（1）過點A作AHBC，則BH=3，從而cosB=。（3分） （2）過點E作EFAB，則BF=AE=2，EF=AB=5，F(xiàn)C=10，又BP=x，BQ=12-y, 不難得BPQFEC，即，（6分）， （8分） （3）顯然 ECQ90°，且tgECQ=，CE=，cosECQ=，（9分） 若EQC=90°，則 CQ=7，即y=7, 從而 x=；（11分） 若QEC=90°，則 cosECQ=，即， y=， 從而 x=；（13分） 綜上，x=或x= （14分）DAOB圖4（三）相似1、如圖4：一次函數(shù)y=x+m的圖象與二次函數(shù)y=ax2+bx4的圖象

6、交于x軸上一點A，且交y軸于點B，點A的坐標(biāo)為（2，0）（1）求一次函數(shù)的解析式； （2）設(shè)二次函數(shù)y=ax2+bx4的對稱軸為直線x=n（n<0），n是方程2x23x2=0的一個根，求二次函數(shù)的解析式； （3）在（2）條件下，設(shè)二次函數(shù)交軸于點D，在軸上有一點C，使以點A、B、C組成的三角形與ADB相似.試求出C點的坐標(biāo).（答案：（1）y=x2；（2）y=2x2+2x4；（3）若點C在點A的右邊，由（1）得：OA=OB，CAB=45而沒有一個角等于45，所以這種情況不存在；1，若點C在點A的左邊，由（1）（2）可知：點B、D的坐標(biāo)分別為、 1， AB= BD=2 OA=2ABD=CAB

7、=1351）當(dāng)時， OC=4 點C的坐標(biāo)為 1， 2）當(dāng)時， OC=6 點C的坐標(biāo)為 1，點C的坐標(biāo)為或.）2、拋物線yx2x6與x軸有兩個交點A、B（點A在點B的左邊），與y軸交于點C，直線ykxb經(jīng)過點A、C點D（0，m）（其中m6）在y軸上，經(jīng)過點B、D的直線與直線ykxb交于點M，（1）求k和b的值；（2）如果以點M、C、D為頂點的三角形與以點M、A、B為頂點的三角形相似，求點D、M的坐標(biāo)；（3）在第（2）小題的條件下，求MCD與MAB的面積比DMBOxyAC27、解：（1）k，b6（2）由上面的條件可以知道OA8，OB3，OC6 當(dāng)m0時，即點D（0，m）在y軸的負半軸上時，設(shè)有MC

8、DMBA， MDCMAB，RtOACRtODB，OD4，點D（0，4）1 經(jīng)過點B、D的直線為yx4，ABMCxyOD聯(lián)列yx4和yx6成為方程組，可以解得x，y，點M1（，）1當(dāng)0m6時，即點D在線段OC上時，設(shè)有MCDMBA，MDCMAB， 即 BDOCAO，RtOACRtODB，OD4，點D（0，4）1經(jīng)過點B、D的直線為yx4，聯(lián)列yx4和yx6成為方程組，可以解得x，y，點M2（，）1（3）當(dāng)m0時，SMCDSMAB（CDAB）2（105）241 當(dāng)0m6時，SMCDSMAB（CDAB）2（25）2425 3、（圖七）BCPANM已知：如圖七，在RtABC中，C90°，BC

9、6，AC8點P是邊AB的中點，以P為頂點，作MPNA，MPN的兩邊分別與邊AC交于點M、N（1）當(dāng)MPN是直角三角形時，求CM的長度；（2）當(dāng)MPN繞點P轉(zhuǎn)動時，下列式子：（甲）CM·AN，（乙）CN·AM的值是否保持不變？若保持不變，試求出這個不變的值，并證明你的結(jié)論；（3）連接BM，是否存在這樣的點M，使得BMP與ANP相似？若存在，請求出這時CM的長；若不存在，請說明理由25解：（1）顯然MPN90°，若PMN90°，則CM4（1分） 若PNM90°，則PN3，CN4，MN，CM（2分）（2）（甲）CM·AN 的值不確定（顯然，

10、CM可以為0，從而CM·AN的值為0）；（乙）CN·AM的值保持不變，且CN·AM25（2分）證明如下：連CP，由已知：ACB90°，AB10，點P是AB中點，CPAP5（1分）PCAPACMPNPMACPNCPNAMP（2分）CNAPCPAM， CN·AM25（1分）（3）解：MPNA，APNANPAPNBPM，ANPBPM（1分）要使BMP與ANP相似， 若MBP=A，則BM=AM，又P是AB中點， MPAB，AMPABC AM，從而 CM；（2分） 若BMPA，則BMPMPN，BMPBAMBM5，從而 CM （2分）（四）點在直線（射線）

11、上運動ABD第（2）題CP1、如圖，ABBD，CDBD，B、D分別為垂足.(1)已知：APC=90º，求證：ABPPDC.(2)已知：AB=2，CD=3，BD=7，點P是線段BDABD第（3）題CP上的一動點，若使點P分別與A、B和C、D構(gòu)成的兩個三角形相似，求線段PB的值.(3)已知：AB=2，CD=3，點P是直線BD上的一動點，設(shè)PB=x，BD=y，使點P分別與A、B和C、D構(gòu)成的兩個三角形相似，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式.（答案：（1）證略；（2）PB的值取1或6或；（3）點P在射線BE上的時， 或者點P在線段BD上的時，或者. 點P在射線DF上的時， 解得：.(注：定義域不寫不扣

12、分) （08年1月普陀初三定位考第27題）AB（備用圖）CDABPCFDE（第25題第（1）小題）2、在矩形ABCD中，AB=4，AD=5，P是射線BC上的一個動點，作PEAP，PE交射線DC于點E，射線AE交射線BC于點F，設(shè)BP=x，CE=y（1）如圖，當(dāng)點P在邊BC上時（點P與點B、C都不重合），求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域；（2）當(dāng)x=3時，求CF的長；（3）當(dāng)tgPAE=時，求BP的長（答案：（1），定義域為0<x<5；（2）CF=3；（3）（i）當(dāng)點P在邊BC上時，BP=3；（ii）當(dāng)點P在邊BC的延長線上時，BP=7）（08年1月靜安、浦東等區(qū)初三定位考第

13、27題）3、已知直角坐標(biāo)系中，點A（6，0），點B（0，8），點C（- 4，0）。點M從點C出發(fā)，沿著CA方向，以每秒2個單位的速度向點A運動；點N從點A出發(fā)，沿著AB方向，以每秒5個單位的速度運動，MN與y軸的交點為P。點M、N同時開始運動，當(dāng)點M到達點A時，運動停止。在運動過程中，設(shè)運動的時間為t秒， （1）當(dāng)t為多少時， MNAB；（2）在點M從點C到點O的運動過程中（不包括O點），的值是否會發(fā)生變化？若不變，試求出這個不變的值，若會發(fā)生變化，試說明理由；（3）在整個運動過程中，BPN是否可能是等腰三角形？若能，試求出相應(yīng)的t的值，若不能，試說明理由。xyOABC備用圖OxyNABCMP

14、（答案：（1）；（2）不變；（3）當(dāng)點N在線段AB上時，；當(dāng)點N在線段AB的延長線上時，）（08年1月寶山初三定位考第27題）4、已知在ABC中，C=90，AC=BC=4，在射線AC、CB上分別有兩動點M、N，且 AM=BN，連結(jié)MN交AB于點P.（1）如圖1：當(dāng)點M在邊AC（與點A、C不重合）上，線段PM與線段PN之間有怎樣的大小關(guān)系？試證明你得到的結(jié)論；（2）當(dāng)點M在射線AC上，若設(shè)AM=，BP=，求與之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出它的定義域；（3）過點M作直線AB的垂線，垂足為點Q，隨著點M、N的移動，線段PQ的長能確定嗎？若能確定，請求出PQ的長；若不能確定，請簡要說明理由.AMCBNP圖1

15、AMCBNP備用圖（答案：（1）PM=PN，證略；（2）若點M在線段AC上（圖2），定義域為；若點M在線段AC的延長線上（圖3），定義域為；（3）若點M在線段AC上，PQ=；若點M在線段AC的延長線上，PQ=，線段PQ的長能確定且PQ=）AMCBNP圖3KQAMCBNPD圖2Q（05嘉定第25題）5、如圖1,在四邊形ABCD中，BCAD，BC=20，DC=16，AD=30，動點P從點D出發(fā)，沿射線DA的方向以每秒2個單位長的速度運動，動點Q從點C出發(fā)，在線段CB上以每秒1個單位長的速度向點B運動，點P、Q分別從點D、C同時出發(fā)，當(dāng)點Q運動到點B時，點P隨之停止運動，設(shè)運動時間為t（秒）(1)設(shè)

16、BPQ的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式;(2)當(dāng)t為何值時，以B、P、Q三點為頂點的三角形是等腰三角形;(3)當(dāng)線段PQ與線段AB相交于點0，且2AO=OB時，求BQP的正切值;(4)是否存在時刻t，使得PQBD?若存在，求出t的值;若不存在，請說明理由.（答案：（1）S8t160；（2）秒或秒；（3）如圖2：BQP的正切值為1；（4）如圖3：秒）（06崇明第25題）6、如圖，在等腰直角三角形ABC中，O是斜邊AC的中點，P是斜邊AC上的一個動點，D為射線BC上的一點，且PB=PD， 過D點作AC邊上的高DE。（1）求證：PE=BO；（2）設(shè)AC=8，AP=x，為y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系

17、式，并寫出自變量x的取值范圍；（3）是否存在這樣的P點，使得的面積是面積的，如果存在，求出AP的長；如果不存在，請說明理由。（答案：（1）P在AO上（如下左圖）：PE=BO；P在OC上（如下右圖）：PE=BO；（2）P在AO上（如下左圖）：=（0<x4）；P在OC上（如下右圖）：；（3）AP等于2或6）（06奉賢第25題）7、已知邊長為3的正方形ABCD中，點E在射線BC上，且BE=2CE，連結(jié)AE交射線DC于點F，若ABE沿直線AE翻折，點B落在點處. （1）如圖6：若點E在線段BC上，求CF的長； （2）求的值；（3）如果題設(shè)中“BE=2CE”改為“”，其它條件都不變，試寫出ABE翻

18、折后與正方形ABCD公共部分的面積與的關(guān)系式及定義域.（只要寫出結(jié)論，不要解題過程） ADCB備用圖圖6ADCFEB（答案：（1）；（2）若點E在線段BC上，如圖1，=；若點E在邊BC的延長線上，如圖2，=；（3）若點E在線段BC上，定義域為；若點E在邊BC的延長線上，定義域為）（07嘉定第25題）ADCBBN圖2EF圖1ADCFEBBM128、如圖，在梯形ABCD中，ADBC，APBC，垂足為點P，AB=CD=2，BC=5，B=60°，（1）求AD的長；（2）若把三角尺的頂點與點重合，使三角尺繞點P旋轉(zhuǎn)，該60°角的兩邊PE與PF（看作射線）分別與邊AD交于點E（點E不與

19、點A、點D重合），與射線DC交于點F (點F不與點C重合)，如設(shè)AE為x，CF為y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；（3）在第（2）小題的條件下，三角尺繞點旋轉(zhuǎn)過程中，PED與PDF這兩個三角形中，哪一個三角形可能成為等腰三角形？如有可能，請指出是哪一個三角形，并求出AE的長；如不能，請說明理由（07年1月青浦初三定位考第25題）（答案：（1）AD=3；（2）點F在線段CD上，y=2-2x（0<x<1）；點F在線段DC的延長線上，y=2x-2（1<x<3）；（3）只有點F在線段DC的延長線上，當(dāng)AE=時，PDF為等腰三角形）（07年1月青浦初三定位考地25

20、題）EFNEFM提示：過點E作EMAB交BC于點M，可證EMPPCF；提示：過點P作ENAB交AD于點N，可證ENPFCP9、已知梯形ABCD中，AB/CD，AD=BC=2，AB=5，M為邊AB上的一點，且DMC=A=60O（1）求出AM的長，并請寫出圖中所有的相似三角形；（2）DMC繞點M順時針旋轉(zhuǎn)后，得到D1MC1（點D1、C1依次與點D、C對應(yīng)），射線M D1交線段于點，射線MC1交直線CB于點F，設(shè)DE= x，BF= y求y與x的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍.備用圖ADCB第28題圖ADCB（答案：（1）ADMBMCMCD；（2）當(dāng)AM=1且點F在線段BC上時，y=2-2x(0x1)

21、；當(dāng)AM=1且點F在線段CB的延長線上時，y=2x-2（1x3）；當(dāng)AM=4時，此時點E在CD上運動時，點F總在線段BC上，y=2-（0x3）（08年1月奉賢初三定位考第28題）10、已知：RtPOQ中，POQ=90°，PO=6，QO=8OABCQPRtABC中，B=90°，ABBC6，點P是AB的中點如圖，將ABC以點P為旋轉(zhuǎn)中心進行旋轉(zhuǎn)，當(dāng)ABC的某一條邊同時與直線PO、直線QO都有交點（設(shè)與直線PO的交點為點E，與直線QO的交點為點F）時，OEF是否可能會與OPQ相似？如果OEF會與OPQ相似，那么請求出OE的長；如果OEF不會與OPQ相似，那么請說明理由（答案：當(dāng)O

22、E的長為或1或時，ABC的某一條邊同時與x、y軸都有交點（設(shè)與x軸的交點為點E，與y軸的交點為點F），且OEF與OPQ相似）（07年1月閘北初三定位考地25題）附歷年中考同類型題目：01年中考27已知在梯形ABCD中，ADBC，ADBC，且AD5，ABDC2（1）如圖8，P為AD上的一點，滿足BPCA求證；ABPDPC求AP的長（2）如果點P在AD邊上移動（點P與點A、D不重合），且滿足BPEA，PE交直線BC于點E，同時交直線DC于點Q，那么當(dāng)點Q在線段DC的延長線上時，設(shè)APx，CQy，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；當(dāng)CE1時，寫出AP的長（不必寫出解題過程）02年中考27操作：將一把三角尺放在邊長為1的正方形ABCD上，并使它的直角頂點P在對角線AC上滑動，直角的一邊始終經(jīng)過點B，另一邊與射線DC相交于點Q圖5圖6圖7探究：設(shè)A、P兩點間的距離為x（1）當(dāng)點Q在邊CD上時，線段PQ與線段PB之間有怎樣的大小關(guān)系？試證明你觀察得到結(jié)論；（2）當(dāng)點Q在邊CD上時，設(shè)四邊形PBCQ的面積為y，求y