第一章極限與連續(xù)

1、第一章極限與連續(xù)第一節(jié)函數(shù)函數(shù)是微積分研究的對(duì)象，中學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用“集合”與“對(duì)應(yīng)”已經(jīng)給出了函數(shù)概念，并在此基礎(chǔ)上討論了函數(shù)的一些簡(jiǎn)單性質(zhì).在這里除對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)的函數(shù)及其性質(zhì)重點(diǎn)復(fù)習(xí)外，根據(jù)需要將對(duì)函數(shù)作進(jìn)一步討論.一、函數(shù)的概念在日常生活、生產(chǎn)活動(dòng)、經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中，經(jīng)常遇到各種不同的量.這些量可分為兩類.一類是常量，一類是變量.而在某個(gè)變化過(guò)程中往往會(huì)出現(xiàn)多個(gè)變量，這些變量之間不是彼此孤立的，而是相互聯(lián)系和制約的，一個(gè)量的變化會(huì)引起另一個(gè)量的變化，如：球的半徑與該球的體積的關(guān)系可用式子給出，當(dāng)半徑在內(nèi)任取一個(gè)值時(shí)，體積有確定的值與之對(duì)應(yīng)，我們稱體積是半徑的函數(shù).1.函數(shù)的概念定義1設(shè)有兩個(gè)變量、，如

2、果變量在一個(gè)非空數(shù)集內(nèi)每取一個(gè)數(shù)值時(shí)，變量按照某個(gè)對(duì)應(yīng)法則都有唯一一個(gè)確定的數(shù)值與之對(duì)應(yīng)，則稱變量是變量的函數(shù)，記作.其中稱為自變量，稱為因變量或函數(shù)，是函數(shù)符號(hào)，表示與的對(duì)應(yīng)規(guī)則，有時(shí)函數(shù)符號(hào)也可用其他字母表示，如，等.數(shù)集稱為函數(shù)的定義域.當(dāng)自變量在其定義域內(nèi)取定某確定值時(shí)，因變量按照所給函數(shù)關(guān)系求出的對(duì)應(yīng)值稱為當(dāng)時(shí)的函數(shù)值，記作或.函數(shù)值的集合稱為函數(shù)的值域.例1已知，求，.解：例2求下列函數(shù)的定義域（1）（2）（3）（4）（5）（6）解：(1)函數(shù)的定義域?yàn)?2)要使函數(shù)有意義，須滿足.即：且，即定義域?yàn)?3) 要使函數(shù)有意義，須滿足0，解得22，即定義域?yàn)?4) 要使函數(shù)有意義，須滿

3、足，解得，即定義域?yàn)?5) 要使函數(shù)有意義，須滿足11，解得0，即定義域?yàn)?6) 要使函數(shù)有意義，須滿足0且，解得33且，即定義域?yàn)樾枰⒁獾氖?，在?shí)際應(yīng)用問(wèn)題中，除了要根據(jù)解析式本身來(lái)確定自變量的取值范圍以外，還要考慮變量的實(shí)際意義.如半徑為的球的體積這個(gè)函數(shù)，從函數(shù)本身來(lái)說(shuō)，可取任意實(shí)數(shù)，從它的實(shí)際意義來(lái)說(shuō)，半徑不能取負(fù)數(shù)，因此它的定義域是區(qū)間.2.函數(shù)的兩個(gè)要素函數(shù)的定義反映了自變量與因變量之間的依賴關(guān)系.它涉及到定義域，對(duì)應(yīng)法則和值域.顯然，只要定義域和對(duì)應(yīng)法則確定，則值域也就確定了.因此，函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則是確定函數(shù)的兩個(gè)要素.兩個(gè)函數(shù)，只要它們的定義域和對(duì)應(yīng)法則相同，就是相同的

4、函數(shù).例3判定下列各對(duì)函數(shù)是否相同（1）與（2）與（3）與解：（1）的定義域是，的定義域是，它們的定義域不同，所以這兩個(gè)函數(shù)不是相同的函數(shù).（2）這兩個(gè)函數(shù)的定義域都是，但是它們的對(duì)應(yīng)法則不同，所以它們不是相同的函數(shù).（3）這兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則均相同，所以它們是相同的函數(shù).3.函數(shù)的表示法常見(jiàn)的函數(shù)表示法有三種：解析法、表格法和圖像法.現(xiàn)舉例如下：（1）這是用解析法表示的函數(shù)，它的定義域.（2）我國(guó)近幾年出口額（單位：億元）如表1.1所示：表1.1年份198519901995199820002002出口額2746211488183724923256這是用表格法表示的函數(shù)，定義域1985

5、，1990，1995，1998，2000，2002.（3）小紅以200米/分的速度起跑后，先勻加速跑5分，每分提高速度20米/分，又勻速跑10分，這段時(shí)間內(nèi)她跑步的速度（單位：米/分）與跑步時(shí)間（單位：分）變化的函數(shù)關(guān)系如圖1-1所示.圖1-14.分段函數(shù)上例中，與之間的函數(shù)關(guān)系可由解析式表示為：像這樣，由兩個(gè)或兩個(gè)以上的式子表示的一個(gè)函數(shù)叫分段函數(shù).需要注意的是：分段函數(shù)是用幾個(gè)解析式合起來(lái)表示的一個(gè)函數(shù)，而不是幾個(gè)函數(shù)；畫它的圖像時(shí)，要在同一個(gè)坐標(biāo)系內(nèi)分段來(lái)畫；它的定義域是各段自變量取值范圍的并集；求函數(shù)值時(shí)要根據(jù)自變量的不同的取值范圍，選用不同的對(duì)應(yīng)規(guī)則進(jìn)行計(jì)算.例4設(shè)函數(shù)，求，及函數(shù)的

6、定義域，并畫出函數(shù)的圖像.解：，定義域?yàn)椋鋱D像如圖1-2所示.圖1-2二、函數(shù)的性質(zhì)1.有界性設(shè)函數(shù)在集合上有定義，如果存在一個(gè)正數(shù)，對(duì)于所有的，恒有，則稱在上有界.否則稱在上無(wú)界.函數(shù)在區(qū)間上有界的幾何意義是：函數(shù)在區(qū)間上的圖像位于二直線與之間.如圖1-3.圖1-3如，在上有界，因?yàn)?，1，而在內(nèi)無(wú)界.2.單調(diào)性設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有定義，若對(duì)任意的，當(dāng)時(shí)，有，則稱在內(nèi)單調(diào)增加，如果對(duì)任意的，當(dāng)時(shí)，有，則稱在內(nèi)單調(diào)減少.如：，當(dāng)時(shí)，在內(nèi)單調(diào)增加；當(dāng)時(shí)，在內(nèi)單調(diào)減少.3.奇偶性設(shè)函數(shù)在集合上有定義，若對(duì)于任意的，恒有，則稱為偶函數(shù)；若，則稱為奇函數(shù).如：在內(nèi)為奇函數(shù)，在內(nèi)為偶函數(shù)，既不是奇函數(shù)，也

7、不是偶函數(shù).4.周期性設(shè)在集合上有定義，若存在不為零的數(shù)，使得對(duì)于任意的，有恒成立，則稱此函數(shù)為周期函數(shù).滿足這個(gè)等式的最小正數(shù)，稱為函數(shù)的最小正周期，簡(jiǎn)稱周期.如：，是以為周期的周期函數(shù).三、反函數(shù)在函數(shù)關(guān)系中，自變量與因變量的確定并不是一成不變的，二者是相對(duì)的，于是就有了反函數(shù)的概念.定義1.2已知函數(shù)，其值域設(shè)為，如果對(duì)于中的每一個(gè)確定的值，由關(guān)系式能唯一確定一個(gè)值與之相對(duì)應(yīng)，那么就得到了一個(gè)定義在上的以為自變量，為因變量的函數(shù)，稱它為的反函數(shù)，記作.習(xí)慣上總是用表示自變量，表示函數(shù)，通常把改寫為.與互為反函數(shù).已知函數(shù)，求它的反函數(shù)，只須將解出來(lái)，并交換字母、即可.例5求函數(shù)的反函數(shù).

8、解：由得，交換與，得，即是的反函數(shù).可以證明，在同一坐標(biāo)系內(nèi)，函數(shù)與反函數(shù)的圖像關(guān)于對(duì)稱.需要注意的是：函數(shù)在定義域上不一定存在反函數(shù).但是，將函數(shù)限定在定義域的某個(gè)子集上，就可能存在反函數(shù).如，三角函數(shù)、在各自定義域上都不存在反函數(shù).為了討論它們的反函數(shù)，限定自變量的取值范圍.例如，在上存在反函數(shù)，它的反函數(shù)就是反正弦函數(shù)；在上存在反函數(shù)，它的反函數(shù)就是反余弦函數(shù)；在上存在反函數(shù)，它的反函數(shù)就是反正切函數(shù)；在上存在反函數(shù)，它的反函數(shù)就是反余切函數(shù).第二節(jié)初等函數(shù)一、基本初等函數(shù)微積分學(xué)中通常將常數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)，這六類函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù).1.常數(shù)函

9、數(shù)它的定義域是，它的圖像是一條平行于軸的直線，如圖1-4.圖142.冪函數(shù)它的定義域隨的不同而異，但在內(nèi)總是有定義的，且圖像都過(guò)點(diǎn).當(dāng)時(shí)，在內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在內(nèi)單調(diào)遞減.如圖1-5.圖1-53.指數(shù)函數(shù)（，且）它的定義域是，值域是.當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)增加；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)減少.如圖1-6.圖1-64.對(duì)數(shù)函數(shù)（）它的定義域是，值域是.當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)增加；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)減少.如圖1-7.圖1-75.三角函數(shù)，.（1）正弦函數(shù)的定義域是，值域?yàn)?，奇函?shù)，以為周期，有界，如圖1-8.（2）余弦函數(shù)的定義域是，值域?yàn)椋己瘮?shù)，以為周期，有界，如圖1-9.（3）正切函數(shù)的定義域是，值域?yàn)椋婧瘮?shù)，以為周期，

10、無(wú)界，如圖1-10.（4）余切函數(shù)的定義域是，值域?yàn)?，奇函?shù)，以為周期，無(wú)界，如圖1-11.圖1-8圖1-9圖1-10圖1-116.反三角函數(shù)，.（1）反正弦函數(shù)的定義域是，值域?yàn)?，是單調(diào)增加的奇函數(shù)，有界，如圖1-12.（2）反余弦函數(shù)的定義域是，值域?yàn)椋菃握{(diào)減少的函數(shù)，有界，如圖1-13.（3）反正切函數(shù)的定義域是，值域?yàn)?，是單調(diào)增加的奇函數(shù)，有界，如圖1-14.（4）反余切函數(shù)的定義域是，值域?yàn)?，是單調(diào)減少的函數(shù)，有界，如圖1-15.圖1-12圖1-13圖1-14圖1-15二、復(fù)合函數(shù)定義設(shè)是的函數(shù)，是的函數(shù)，如果的值域與的定義域的交集非空，那么通過(guò)成為的函數(shù)，稱這個(gè)函數(shù)是由與復(fù)合而成的函數(shù)，簡(jiǎn)稱為復(fù)合函數(shù)，記作，其中稱為中間變量.值得注意的是：（1）并非任何兩個(gè)函數(shù)都可以復(fù)合成一個(gè)復(fù)合函數(shù).如，就不能復(fù)