王曉蕾畢業(yè)論文

1、新鄉(xiāng)學院2007級畢業(yè)論文論文題目：函數(shù)極限的計算方法姓 名 王曉蕾 學 號 2007041101022 所在院系 數(shù)學系 專業(yè)名稱 數(shù)學及應用數(shù)學 指導教師 王永忠 指導教師職稱 副教授 2011 年 3 月 1 日目錄內(nèi)容摘要 1關(guān) 鍵 詞 1Abstract 1Key words 11.引言12. 極限的計算方法 12.1四則運算法12.2函數(shù)連續(xù)性法22.3變量替換法32.4等價無窮小等換法42.5洛必達法則置換法42.6左右極限轉(zhuǎn)化法52.7數(shù)列與函數(shù)極限轉(zhuǎn)化法52.8適當放大縮小法62.9遞歸數(shù)列推導法72.10定積分前n項和綜合法82.11泰勒公式轉(zhuǎn)化法92.12導數(shù)定義法 10

2、參考文獻 11致 謝 12函數(shù)極限的計算方法王曉蕾（新鄉(xiāng)學院數(shù)學系數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè) 河南 新鄉(xiāng) 453003）內(nèi)容摘要:函數(shù)極限是數(shù)學分析的一個分支,廣泛使用現(xiàn)有的科學技術(shù)和數(shù)學方法,解決實際中的問題,助決策人員選擇最優(yōu)方針和決策,本文主要探討了函數(shù)極限的方法，從不同的角度，不同的例子給出各種不同的解題方法，而且給出它的解題思路，使其更明了.關(guān) 鍵 詞: 函數(shù)極限 方法 思路Abstract:limit of function is a branch of mathematical analysis, which is widely used in the existing science

3、technology and mathematical method to solve practical problems and help decision-making person to choose optimal policies and guidelines. This paper mainly dicuss ways of solve limit of function, there are a lot of different ways of solve limit of function for different angles and different examples

4、, there have a lot of ideas of solve limit of function,there is very clear.Key words: limit of function method ideas1函數(shù)極限簡介 函數(shù)極限是數(shù)學分析的一個重要的分支，它貫穿于整個數(shù)學分析的全部，從而可見函數(shù)極限的求出對我們的學習數(shù)學分析非常重要，而且函數(shù)極限的應用很廣貫穿于經(jīng)濟,概率論等許許多多的方面. 2極限的計算方法 2.1四則運算法 例 1求思路:對和差積商形式的函數(shù)求極限自然會想到運用極限的四則運算法則來計算極限.解：原式=-1 2.2函數(shù)連續(xù)性法 例2求的極限思路:

5、設(shè)為初等函數(shù),為的定義區(qū)間上的一點，則.(1)設(shè)在連續(xù),按定義則有 .因此若不用定義可判斷函數(shù)連續(xù)時,那么對連續(xù)函數(shù)求極限就是用代入法求函數(shù)值. (2)一切初等函數(shù)在定義域區(qū)間上連續(xù),因此,若是初等函數(shù), 屬于其定義域區(qū)間,則.(3)設(shè),若補充定義,則在連續(xù).若又有在處連續(xù),則由復合函數(shù)的連續(xù)性得.解：原式=9 2.3變量替換法 例3計算 設(shè),則.(若把改為或,上述結(jié)論仍成立.)設(shè),在連續(xù),則.重要極限與變量替換法相結(jié)合可求極限:,極限過程改為其他情形也有類似結(jié)論.設(shè),求型極限.轉(zhuǎn)化為求型極限 .解：原式2.4等價無窮小等換法 例4求思路:當時,利用等等價無窮小來計算極限.若時，無窮小,(即)

6、,則.(等式兩邊其中之一極限存在或為,則另一也是且相等)該結(jié)論表明:在求極限過程中等價無窮小因子可以替換.利用等價無窮小因子替換求極限,可以大大減小計算量.但利用等價無窮小因子替換求極限應注意以下兩點:只要求在求極限的乘除運算中使用等價無窮小因子替換.不要在求極限的加減運算中使用,再加減中等價無窮小的替換是有條件的.解:原式= 2.5洛必達法則置換法 例5求思路：對零比零，無窮比無窮等未定式的極限,?？捎寐灞剡_法則來計算若不存在也不為,不能說明不存在.,但即不存在.要驗證應用法則的條件,例如,以下運算是錯誤的:事實上,這里不是型也不是型.若還是型或型,則可連續(xù)用洛必達法則,只要符合條件,一直可

7、用到求出極限為止.其他類型的未定式（,等）先化成或型,再用洛必達法則.使用洛必達法則也要用到一些技巧,如結(jié)合應用變量替換,等價無窮小因子替換，極限的四則算法則，有確定非零極限的因子應先求出等.解：= = = = 2.6左右極限轉(zhuǎn)化法例6求思路:利用左右極限極限等于函數(shù)極限求解,求分段函數(shù)在連接點出的極限,或函數(shù)表達式中含有左,右極限不相等的項(如時, ,)時,要分別求左右極限求得函數(shù)極限.根據(jù)定理:=A對于分段函數(shù) 考察是否存在就要分別求= 與 .解:注意:.因此極限為:=2.7數(shù)列與函數(shù)極限轉(zhuǎn)化法例7求數(shù)列極限w=思路:若則當時,有.即若可看成某函數(shù)在一串點上的函數(shù)值:=,而則特別地,若,則

8、 .求數(shù)列極限轉(zhuǎn)化為函數(shù)極限的主要目的是為了用洛必達法則解:由得.用等價無窮小因子替換得w=引入（x0）,則W=2.8適當放大縮小法例8設(shè)a0為常數(shù)思路:如n個數(shù)之和不超過最大數(shù)乘n,不小于最小數(shù)乘n;分子與分母同為正數(shù),把分母放大則分數(shù)值縮小;若干正數(shù)的乘積中,把小魚1的因子略去則乘積放大,把大于1的因子略去則乘積縮小(1) 簡單的放大縮小手段(2) 利用極限的不等式性質(zhì)進行放大或縮小(3) 對積分的極限可利用積分的性質(zhì)進行放大或縮小.解:先放大縮小后可以簡化:而=由夾逼定理知:=2.9遞歸數(shù)列推導法例9設(shè)思路:數(shù)列如果滿足遞歸方程是已知的一元連續(xù)函數(shù),則稱為遞歸數(shù)列,由遞歸數(shù)列知,由可求出

9、,由可求出,以此類推可求出任意項,分兩步走:(1):想證明遞歸數(shù)列收斂(常用單調(diào)有界數(shù)列必收斂),然后設(shè),在對遞歸方程取極限得,最后解出即可.(2):先設(shè)對遞歸方程取極限后解得A再用某種方法證明.事實上遞歸數(shù)列的單調(diào)性與函數(shù)的單調(diào)性有關(guān).解:顯然.令則, ,于是在x0單調(diào)上升,從而是單調(diào)有界，故存在極限,對遞歸方程取極限得A=解得A= 因此: 2.10定積分前n項和綜合法例10思路：在求某些特殊的極限時直接求求不出來可以將其化成定積分加以求解例如1.通過恒等變形化為可用極限四則運算的情形.2.取對數(shù)后變成項和數(shù)的數(shù)列;3.化為積分和利用定積分求極限;4.,用數(shù)值級數(shù)求和的方法解：記是在區(qū)間上的

10、一個積分和。由于在上連續(xù),故可積,于是.因此,我們對用適當放大縮小法,將求轉(zhuǎn)化為求積分和的極限.因此又.于是由夾逼定理得 2.11泰勒公式轉(zhuǎn)化法例11思路:利用泰勒公式求極限可以簡化其過程,讓其很容易求出.再求這類的極限時利用泰勒公式的帶皮亞諾余項與拉格朗日余項的n階泰勒公式.設(shè)在處階可導,則有帶皮亞諾余項的階泰勒公式():.現(xiàn)設(shè),并以求得與的泰勒公式:,其中,則=.當,的泰勒公式易求,而,的導數(shù)計算較復雜時，可考慮用泰勒公式求極限.在應用方法時,必須熟記某些基本初等函數(shù)的泰勒公解:由題可得到=,=又所以=2.12導數(shù)定義法例12設(shè)則思路：設(shè)存在,若所求極限可化為如下類型:則按導數(shù)定義即是,由

11、數(shù)列極限與函數(shù)極限的關(guān)系又可得其中我們必須熟記的函數(shù)導數(shù):1.2.3.4.5.6.7.解：補充定義則有于是參考文獻1:盛祥曉.高等數(shù)學輔導M.北京.清華大學出版社1983.8: 142148.2：華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析M.上海.高等教育出版社.2007.5: 1517.3：李永樂.考研數(shù)學復習M.北京.國際上行出版社.2010.9: 180.4：茆詩松.概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程M.上海. 高等教育出版社.2004.8：1519.5: 李永樂.考研歷年這題解析M. 北京.國際上行出版社.2010.9: 1730.6:蔡子華.考研數(shù)學模擬試卷及精析M.北京.原子能出版社.2010.11: 1735.7：毛綱源.考研數(shù)學三考題型及其解題方法技巧歸納M.武漢.華中科技大學出版社.2003.10: 1517. 8:李永樂.考研數(shù)學最后沖刺135分M.北京.國家行政書院出版社.2010.10: 1319.9:李永樂.數(shù)學全程預測100題M.北京.新華出版社.2010.11: 1925.10:李正元.數(shù)學全程復習M.北京.新華出版社.2010.9: 1234.致謝本文是在王永忠老師精心指導和大力支持下完成的。王老師以其嚴謹求實的治學態(tài)度，高度的敬業(yè)精神，兢兢業(yè)業(yè)、孜孜