用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列不等式

1、【例1】（2012全國(guó)大綱卷理22）函數(shù)，定義數(shù)列如下：，是過(guò)兩點(diǎn)、的直線(xiàn)與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).（1） 證明:；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【證】（1）證：直線(xiàn)的方程為，即，令，解得.下用數(shù)學(xué)歸納法證明： 當(dāng)時(shí)，所以. 假設(shè)當(dāng)時(shí)結(jié)論成立，即，則當(dāng)時(shí)， 由，得，即，故.由知，對(duì)一切都有.從而，故.綜上，.（2）解：由（1）知，則 ， ， ，得，故數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列. 因此，解得：.【例2】已知函數(shù)在開(kāi)區(qū)間(0，1)內(nèi)是增函數(shù)() 求實(shí)數(shù)a的取值范圍；() 若數(shù)列滿(mǎn)，證明：() 解：，由于f (x)在(0，1)內(nèi)是增函數(shù)， ，即 在x(0，1)時(shí)恒成立 恒成立，而 2x21， ，即 ， 即為所

2、求() 證明： 當(dāng)n=1時(shí)，由題設(shè)知a1(0，1) 假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，不等式成立，即ak(0，1)，則當(dāng)n=k+1時(shí)，由()知，f(x)=ln(2x)+x在(0，1)上是增函數(shù)，即ak+1(0，1)，故n=k+1時(shí)命題成立.根據(jù) 知0an1，nN*又 ， 【例3】已知函數(shù),數(shù)列滿(mǎn)足：，證明：() ；() .證明：() 先用數(shù)學(xué)歸納法證明 當(dāng)n=1時(shí)，由已知，結(jié)論成立. 假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)結(jié)論成立，即，因?yàn)闀r(shí)，所以在(0，1)上是增函數(shù)，又在0，1上連續(xù)，從而，即，故當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論成立.由可知，對(duì)一切正整數(shù)都成立.又因?yàn)闀r(shí)，所以，綜上所述.() 設(shè)函數(shù)，由()可知，當(dāng)時(shí)，.從而,所以在（0，1）

3、上是增函數(shù).又，所以當(dāng)時(shí)，>0成立.于是，即，故【例4】已知函數(shù),數(shù)列滿(mǎn)足, ; 數(shù)列滿(mǎn)足, .求證:（）（）（）若則當(dāng)n2時(shí),.( )解: ()先用數(shù)學(xué)歸納法證明,.（1）當(dāng)n=1時(shí),由已知得結(jié)論成立;（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),結(jié)論成立,即.則當(dāng)n=k+1時(shí),因?yàn)?<x<1時(shí),所以f(x)在(0,1)上是增函數(shù).又f(x)在上連續(xù),所以f(0)<f()<f(1),即0<. 故當(dāng)n=k+1時(shí),結(jié)論也成立. 即對(duì)于一切正整數(shù)都成立.又由, 得,從而.綜上可知 ()構(gòu)造函數(shù)g(x)=-f(x)= , 0<x<1,由,知g(x)在(0,1)上增函數(shù).又g(

4、x)在上連續(xù),所以g(x)>g(0)=0. 因?yàn)?所以,即>0,從而 () 因?yàn)?,所以, , 所以 由()知:, 所以= ,因?yàn)? n2, 所以 <<= . 由 兩式可知: .【例5】 設(shè)函數(shù)與數(shù)列滿(mǎn)足以下關(guān)系： ，其中是方程的實(shí)根； ； 的導(dǎo)數(shù).() 求證：；() 判斷與的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論.() 證： 當(dāng)時(shí)，不等式成立. 假設(shè)當(dāng)時(shí)不等式成立，即，則時(shí)，則遞增.，即時(shí)不等式也成立.由、知，對(duì)一切都成立. () 解：， 設(shè)，則， 遞減，而， ， 即，亦即，. 【例6】（2005江西）已知數(shù)列（1）證明（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式an.解：（1）方法一 用數(shù)學(xué)歸納法證明

5、：1°當(dāng)n=1時(shí)，命題正確.2°假設(shè)n=k時(shí)有 則 而又時(shí)命題正確.由1°、2°知，對(duì)一切nN時(shí)有方法二：用數(shù)學(xué)歸納法證明：1°當(dāng)n=1時(shí)，； 2°假設(shè)n=k時(shí)有成立， 令，在0，2上單調(diào)遞增，所以由假設(shè)有：即也即當(dāng)n=k+1時(shí) 成立，所以由1°、2°知，對(duì)一切 （2）下面來(lái)求數(shù)列的通項(xiàng)：所以,又bn=1，所以【拓展題】【例】、數(shù)列滿(mǎn)足，且.（1）當(dāng)時(shí)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）若不等式對(duì)一切恒成立，求的取值范圍； （3）當(dāng)時(shí)，證明：.解：（1）當(dāng)時(shí)，.（2），要使對(duì)一切恒成立，至少需使成立.下面先用數(shù)歸法證明：當(dāng)時(shí)，(略)，再由知恒成立.所以為所求.（3）當(dāng)時(shí)，由(2)知，則由，從而，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立.（2009安徽理21）首項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列滿(mǎn)足 （1）證明：若為奇數(shù)，則對(duì)一切都是奇數(shù)；（2）若對(duì)一切都有，求的取值范圍.略解：（1）已知是奇數(shù)，假設(shè)是奇數(shù)，其中為正整數(shù)，則由遞推關(guān)系得是奇數(shù).（因?yàn)槭桥紨?shù)）根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法，對(duì)任何，都是奇數(shù).（2）（方法一）由知，當(dāng)且僅當(dāng)或.另一方面，若