電子空穴和能帶概念

1、第一章 電子、空穴和能帶概念第一章電子、空穴和能帶概念11.1 量子力學(xué)基本概念2一、經(jīng)典物理的缺陷以及量子力學(xué)的引入31.黑體輻射問題32.光電效應(yīng)53.普朗克假設(shè)、愛因斯坦的波粒二象性54.德布羅衣假說11二、薛定顎方程13三、波函數(shù)的統(tǒng)計解釋201.2 利用薛定顎方程求解氫原子211.3 能帶模型24一、晶格24二、能代理論251單電子近似252布勞赫定律（Bloch）263共有化運動和準(zhǔn)自由電子264. 布里淵區(qū)與能帶285、導(dǎo)體、半導(dǎo)體、絕緣體的能帶301.4半導(dǎo)體中電子的運動 有效重量32一、半導(dǎo)體中E(k)與k的關(guān)系32二、晶體中電子的平均速度加速度341晶體中電子運動的平均速度

2、342半導(dǎo)體中電子運動的加速度343有效質(zhì)量的物理意義364. 空穴的有效質(zhì)量36習(xí)題401.1 量子力學(xué)基本概念經(jīng)典物理的兩個獨立理論體系：波動學(xué)說、粒子學(xué)說。當(dāng)時絕大多數(shù)的現(xiàn)象可以用經(jīng)典理論物理學(xué)解釋：l 應(yīng)用Newton方程成功討論了從天體到地上各種尺度的力學(xué)客體的運動，將這個理論用到分子運動上，在氣體分子運動論上也獲得有益的結(jié)果。l 1897年J.J.湯姆森發(fā)現(xiàn)了電子，這個發(fā)現(xiàn)表明電子的行為類似于一個Newton粒子。l 光的波動本性已在1803年由楊的衍射試驗證實l Maxwell在1864年所發(fā)現(xiàn)的光和電磁現(xiàn)象之間的聯(lián)系將光的波動性置于更加堅實的基礎(chǔ)之上。一、經(jīng)典物理的缺陷以及量子

3、力學(xué)的引入到上世紀(jì)初，在解釋某些試驗結(jié)果上還遺留一些困難：l 主要是關(guān)于發(fā)展一個合適的原子模型以及稍后發(fā)現(xiàn)的X射線和放射性等。l 也有一些困難屬于那些應(yīng)該得到解釋而實際上未能解釋的現(xiàn)象：諸如黑體輻射的譜分布，固體的低溫比熱等。l 雖然光的波動性有大量的實驗事實和光的電磁理論支持，但上世紀(jì)初發(fā)現(xiàn)的黑體輻射、光電效應(yīng)等現(xiàn)象卻揭示把光僅看作波的局限性。1. 黑體輻射問題我們知道，所有物體都發(fā)射出熱輻射，這種輻射是一定波長范圍內(nèi)的電磁波。對于外來的輻射，物體有反射或吸收的作用。如果一個物體能全部吸收投射在它上面的輻射而無反射，這種物體就稱為絕對黑體，簡稱黑體。黑體輻射問題研究的是輻射與周圍物體處于平衡

4、狀態(tài)時能量按波長/頻率的分布。一個空腔就可以看成黑體，當(dāng)空腔與內(nèi)部的輻射處于平衡時，腔壁單位面積所發(fā)射的能量和它所吸收的輻射能量相等。實驗得出的平衡時輻射能量密度按波長分布曲線，其形狀和位置只與黑體的絕對溫度有關(guān)，而與空腔的形狀及組成的物質(zhì)無關(guān)。許多人用經(jīng)典物理理論來說明這種能量分布都未獲得成功：(1) 維恩（Wien）：由經(jīng)典熱力學(xué)理論出發(fā)進(jìn)行討論，并加上一些特殊假設(shè)得出的分布公式維恩公式。這個公式在短波部分與實驗結(jié)果還符合，在長波部分顯著不同；(2) 瑞利金斯曲線，根據(jù)經(jīng)典電動力學(xué)和統(tǒng)計物理學(xué)得出的黑體輻射能量公式分布。他們的結(jié)果在長波部分與實驗結(jié)果較吻合，而在短波部分完全不同。2. 光電

5、效應(yīng)當(dāng)光照射到金屬表面時，有電子從金屬中逸出，這種電子稱為光電子。實驗證明，只有當(dāng)光的頻率大于一定值時，才有光電子發(fā)射出來；如果光的頻率低于這個值，則不論光的強度多大，照射時間多長，都沒有光電子產(chǎn)生，光電子能量只與光的頻率有關(guān)。光電效應(yīng)以及黑體輻射實驗的這些規(guī)律、現(xiàn)象是經(jīng)典物理理論無法解釋的。因為按照光的電磁理論，光的能量只決定于光的強度，而與光的頻率無關(guān)。3. 普朗克假設(shè)、愛因斯坦的波粒二象性黑體輻射問題是Planck普朗克在1900年引進(jìn)量子概念后才得到解決。普朗克依據(jù)如下假設(shè)解釋黑體輻射譜的：黑體以hg 為單位不連續(xù)地發(fā)射和吸收頻率為g 的電磁輻射，而不是象經(jīng)典理論所要求的那樣可以連續(xù)地

6、吸收和發(fā)射輻射能量。能量單位hg 稱為能量子h(普朗克常數(shù))。h6.625591034焦耳.秒?；谶@個假定，普朗克得到與實驗結(jié)果符合很好的黑體輻射公式：普朗克的理論開始突破經(jīng)典物理學(xué)在微觀領(lǐng)域內(nèi)的束縛，打開了認(rèn)識光的微粒性的途徑。按照光的電磁理論，光的能量只決定于光的強度，而與光的頻率無關(guān)。但是，光電試驗證明：l 只有當(dāng)光的頻率大于一定值時，才有光電子發(fā)射出來；l 如果光的頻率低于這個值，則不論光的強度多大，照射時間多長，都沒有光電子產(chǎn)生；l 光電子能量只與光的頻率有關(guān)，而與光的強度無關(guān)，光的頻率越高，光電子的能量就越大。l 光的強度只影響光電子數(shù)目，按照光的電磁理論，光的能量只決定于光的強

7、度，而與光的頻率無關(guān)。愛因斯坦認(rèn)為電磁輻射不僅在被發(fā)射和吸收時以能量hg 的微粒形式出現(xiàn)，而且以這種形式以光速在空間運動，也就是說光照射到金屬表面時，能量為hg 的光子被電子吸收。電子把這能量的一部分用來克服金屬表面對它的束縛力，另一部分就是電子離開金屬表面后的動能。如果電子所吸收的光子能量小于金屬的逸出功，則電子不能脫出金屬表面，因而沒有光電子產(chǎn)生。光的頻率決定光子的能量，光的強度只決定光子的數(shù)目，光子多，產(chǎn)生的光電子就多。這樣，經(jīng)典理論不能解釋的光電效應(yīng)就得到了解釋。(1) 康普頓效應(yīng)(Compton effect)1923年，美國物理學(xué)家康普頓在研究x射線通過實物物質(zhì)發(fā)生散射的實驗時，發(fā)

8、現(xiàn)了一個新的現(xiàn)象，即散射光中除了有原波長l0的x光外，還產(chǎn)生了波長l l0 的x光，其波長的增量隨散射角的不同而變化。這種現(xiàn)象稱為康普頓效應(yīng)(Compton effect)。用經(jīng)典電磁理論來解釋康普頓效應(yīng)遇到了困難。康普頓借助于愛因斯坦的光子理論，從光子與電子碰撞的角度對此實驗現(xiàn)象進(jìn)行了圓滿地解釋?？灯疹D效應(yīng)第一次從實驗上證實了愛因斯坦提出的關(guān)于光子具有動量的假設(shè)。光子在介質(zhì)中和物質(zhì)微粒相互作用時，可能使得光向任何方向傳播，這種現(xiàn)象叫光的散射。他認(rèn)為：l 康普頓假設(shè)光子和電子、質(zhì)子這樣的實物粒子一樣，不僅具有能量，也具有動量，碰撞過程中能量守恒，動量也守恒。光子和電子碰撞時，光子的一些能量轉(zhuǎn)移

9、給了電子。l 按照這個思想列出方程后求出了散射前后的波長差，結(jié)果跟實驗數(shù)據(jù)完全符合，這樣就證實了他的假設(shè)。這種現(xiàn)象叫康普頓效應(yīng)?？灯疹D效應(yīng)的發(fā)現(xiàn)，進(jìn)一步證實光具有粒子性。實驗證明，高頻X射線被電子散射后，波長隨散射角增加而增大。而按照經(jīng)典電動力學(xué)，電磁波被散射后波長不應(yīng)改變。(2) 舊量子論所謂的舊量子論發(fā)端于普朗克關(guān)于黑體輻射的工作，以后由愛因斯坦和德拜加以發(fā)展。然而，只有到1911年，盧瑟福發(fā)現(xiàn)原子是由小的、重的、帶正電的核以及圍繞著它的一些電子構(gòu)成之后，這個理論才能定量描述原子。舊量子論（波爾索末非量子化定則的兩個假設(shè)）：l 一個原子體系能夠存在于一些特定的穩(wěn)定的或量子化的狀態(tài)，每一個狀

10、態(tài)同體系的一個確定能量相對應(yīng)；l 從一個定態(tài)向另一個定態(tài)的躍遷，伴隨著能量的獲得或損失，其值等于兩個態(tài)之間的能量差；l 輻射量子的頻率等于它的能量除于普朗克常數(shù)。舊量子論使得人們獲得了對氫原子結(jié)構(gòu)的解釋，但在若干不同的方面，它遇到了困難：它不適用于非周期系統(tǒng)；對譜線強度只能給出定性的不完整的處理；對光的色散也不能給出滿意的說明等等。衍射試驗可以說明舊量子論的困難：光源S照明一個光闌A，A上割有兩個狹縫，衍射花樣出現(xiàn)在光敏屏B上，在衍射峰處光子的數(shù)目最多。這樣，當(dāng)輻射從光源經(jīng)狹縫到屏的過程中行為象波。而當(dāng)它從B碰出電子時，行為象粒子。用物質(zhì)代替輻射也可以作出類似試驗。電子被晶體散射所形成的衍射花

11、樣，可以從威爾遜云室中電子徑中看出。所以，物質(zhì)的波動性和粒子性可以出現(xiàn)在同一試驗中。l 起初我們或許可以假定衍射花樣是通過兩條狹縫的不同光子之間的干涉引起的，若這樣就完全可以用粒子圖像解釋觀測結(jié)果。然而，可以證明這并不是一個滿意的解釋。當(dāng)我們減弱光強直到每次只有一個光子在光源和光屏之間通過，仍然可以得到相同的衍射圖案。因此，我們只能得到這樣的結(jié)論，衍射是單個光子的統(tǒng)計結(jié)果，并不涉及到光子之間的相互作用。l 由粒子圖像觀點來看，我們就可以問：一束由獨立的光子構(gòu)成的流束（可以假定其中每個光子只能通過一條狹縫）怎么會產(chǎn)生僅當(dāng)兩條狹縫都開著時才會出現(xiàn)的衍射花樣？或者這樣問：若當(dāng)一條狹縫關(guān)閉時，光子會到

12、達(dá)屏上某一位置，然而當(dāng)這條狹縫敞開時，它怎么會阻止不通過這條狹縫的光子到達(dá)屏上的上述位置？l 在這個問題上隱含這樣一條假定：光子的確是穿過這兩條狹縫中的特定一條，從經(jīng)典理論或舊量子論的觀點來看，這個假定是自然的：因為這些理論認(rèn)為，光子或其它粒子在每一瞬時都具有確定的可測定的位置。然而，量子力學(xué)卻放棄這個假定，它主張只有當(dāng)實驗中包含位置測量時，光子的位置才有意義。此外，實驗的這一部分將會影響其余部分，不能把它們分開考慮。因此，從新量子觀來看，上一段所提出的問題本身就沒有意義，因為它假定光子通過兩條狹縫中特定的一條（從而使得另一條狹縫關(guān)閉），而在試驗中并沒有用來確定光子實際上是穿過哪一條狹縫的設(shè)備

13、。4. 德布羅衣假說在光有波粒二象性的啟示下，德布羅衣1924年提出了微觀粒子也具有波粒二象性的假說。他把粒子和波通過粒子的能量E、動量P與波的頻率f、波長之間的關(guān)系聯(lián)系起來：上式稱為德布羅衣公式，或德布羅衣關(guān)系。自由粒子的能量和動量都是常量，所以，由德布羅衣關(guān)系可知，與自由粒子聯(lián)系的波，它的頻率、傳輸方向都不變，因而其為平面波。德布羅衣假設(shè)在1927年為戴維森蓋么的電子衍射實驗所證實。測不準(zhǔn)原理：為了用更專門的物理語言來闡明測不準(zhǔn)原理，玻爾在1928年引進(jìn)并協(xié)原理。這個原理說，對原子現(xiàn)象的描述不可能象經(jīng)典力學(xué)所要求得那種完全性；在構(gòu)成一個完全經(jīng)典描述中相互并協(xié)的各個量，實際上卻是相互排斥的，

14、而為了描述現(xiàn)象的各個方面，這些互相并協(xié)的量又都是必不可少的。不應(yīng)當(dāng)把這一點看成是因為實驗技術(shù)或精度的欠缺。更恰當(dāng)?shù)卣f，這是一條自然規(guī)律：每當(dāng)企圖精確的測量一對正則變量中的一個，另一個就會發(fā)生變化，這個變化值在不干擾到原來目的的情況下是不能被嚴(yán)格地計算出來。舊量子論與量子論的區(qū)別：l 舊量子論：認(rèn)為微觀粒子有著固定的軌道，可以用確定的運動學(xué)參數(shù)進(jìn)行描述（在這一點上，實際上把微觀粒子看作為經(jīng)典力學(xué)中的質(zhì)點，然后，利用經(jīng)典力學(xué)分析微觀粒子），粒子在不同能級間躍遷通過吸收或釋放電磁輻射量子實現(xiàn)；l 量子論：微觀粒子具有波粒二象性，微觀粒子服從測不準(zhǔn)原理。二、薛定顎方程1. 薛定顎方程的導(dǎo)出由德布羅衣關(guān)

15、系及測不準(zhǔn)原理應(yīng)當(dāng)可以預(yù)料到，代表著位置完全不能確定、已知精確動量P和能量E、沿著正X方向行進(jìn)的粒子的波函數(shù) y(x, t)，將有下列形式之一：這也是從戴維森及蓋哥實驗推知的。由前已知與確定能量、動量粒子相對應(yīng)的波具有平面波特性，因而可以寫成：寫成復(fù)指數(shù)形式，進(jìn)一步利用德布羅衣關(guān)系可得：進(jìn)一步推導(dǎo)利用自由粒子能量和動量關(guān)系式：，可得：此即自由粒子的薛定顎方程。同時，由上面推導(dǎo)過程可推出：這兩個算苻依次分別稱為能量算苻、動量算苻?，F(xiàn)在利用這兩個算苻來建立在外場中粒子波函數(shù)所滿足的微分方程。設(shè)粒子在外場的勢能U(r)，這樣，粒子的能量就可以利用漢彌頓算苻表示為：上式兩邊同乘以波函數(shù)后代入能量、動量

16、算苻后，上式變?yōu)椋哼@個方程稱為薛定顎波動方程，它描寫勢場U(r)中粒子波函數(shù)隨時間的變化。2. 多粒子系統(tǒng)的薛定顎方程對于n個粒子所組成的多粒子體系。以r1，r2，rn表示這個n粒子的坐標(biāo)，那么描寫體系狀態(tài)的波函數(shù)y是r1，r2，rn的函數(shù)，整個多粒子體系的能量由哈密頓算苻可得式中mi為第i個粒子的質(zhì)量，Pi為第i個粒子的動量，而U(r1，r2，rn) 則是整個系統(tǒng)的勢能，它包括體系在外場中的能量和粒子間相互作用能量。在做變換后，可以得出多粒子體系的薛定顎方程:3. 定態(tài)薛定顎波動方程一般勢函數(shù)是時間t的函數(shù)。如果假定勢能與時間無關(guān)，那么可以利用分離變量求解上式將上式代入薛定顎方程，兩邊同除以

17、上式令上式兩邊等于H，上式可變?yōu)橄铝袃墒接傻谝皇降玫剑簩⑸鲜酱?，可得?）比較上式和德布羅衣波函數(shù)形式顯然，而由德布羅衣關(guān)系可知：，由此可以得到HE。因而，體系處于（1）式所描寫的狀態(tài)時，能量具有確定值，所以這種狀態(tài)稱為定態(tài)。而形如的方程稱為定態(tài)薛定顎方程。由于，因而將稱為能量算苻，又稱為哈密頓算苻。當(dāng)U0時，對應(yīng)的是自由空間中粒子的薛定顎方程，如果m為電子質(zhì)量，則可以通過求解此方程的一維解為（1）三、波函數(shù)的統(tǒng)計解釋1. 有人認(rèn)為波是由它所描寫的粒子組成的。這種看法是不正確地的。我們知道，衍射現(xiàn)象是由波的干涉而產(chǎn)生的，如果真是由它所描寫的粒子所組成，則粒子流的衍射現(xiàn)象應(yīng)當(dāng)是由于組成波的這些

18、粒子相互作用而形成的。但事實證明，在粒子流衍射試驗中，照片上所顯示出來的衍射圖樣和入設(shè)粒子流強度無關(guān)，也就是說和單位體積內(nèi)的粒子數(shù)無關(guān)。如果減小入射粒子流強度，同時延長實驗時間，使投射到照片上粒子總數(shù)保持不變，則得到的衍射圖樣將完全相同。即使是把粒子流強度減小到使得粒子一個一個地被衍射，只要經(jīng)過足夠長的時間，所得衍射圖樣也還是一樣。這說明每個粒子被衍射的現(xiàn)象和其它粒子無關(guān)，衍射圖樣不是由粒子間相互作用產(chǎn)生的。2. 玻恩（Born）解釋為了說明波恩的解釋，我們?nèi)匀豢疾焐厦媪Ｗ友苌湓囼?。如果入射電子流強度很大，即單位時間內(nèi)有很多電子被晶體反射，則照片上很快就出現(xiàn)衍射圖樣。如果入射電子流很小，電子一

19、個一個地從晶體表面上反射，這時照片上就出現(xiàn)一個一個地點子，顯示出電子地微粒性。隨著時間的延長，點子數(shù)目逐漸增多，它們在照片上的分布就形成了衍射圖樣，顯示出電子的波動性。由此可見，實驗所顯示的電子的波動性是許多電子在同一實驗中的統(tǒng)計結(jié)果，或者是一個電子在許多次相同實驗中的統(tǒng)計結(jié)果。波函數(shù)正是為描寫粒子的這種行為而引進(jìn)的。玻恩就是在這個基礎(chǔ)上，提出了波函數(shù)的統(tǒng)計解釋，即：波函數(shù)在空間中某一點的強度（振幅絕對值的平方）和在該點找到粒子的幾率成比例。按照這種解釋，描寫粒子的波乃是幾率波。1.2 利用薛定顎方程求解氫原子氫原子中電子是位于質(zhì)子和電子的庫侖力所形成的勢場中，因此定態(tài)薛定顎方程中的勢函數(shù)因而

20、，依據(jù)多粒子體系的薛定顎方程，氫原子系統(tǒng)的薛定顎方程可以寫為其中i = 1，2分別表示質(zhì)子和電子。如果以（x，y，z）表示電子相對于原子核的坐標(biāo)，以 (X，Y，Z) 表示體系質(zhì)心的坐標(biāo)：則同樣可以得到的變換式。將這些式子代入薛定顎方程可得相對坐標(biāo)和質(zhì)心坐標(biāo)表示的薛定顎方程進(jìn)一步設(shè)利用分離變量法求解。求解的詳細(xì)過程見量子力學(xué)教程，周世勛編，p7177。最后，求得氫原子的能級這里，u為電子質(zhì)量。從上述求解氫原子的過程可以看到，微觀粒子處在一個個分離的、而不是連續(xù)的能級中。微觀粒子只有獲得一定的能量后，才能從一個能級躍遷到另一個能級。當(dāng)然，這其中伴隨著能量的吸收和發(fā)射。1.3 能帶模型一、晶格常見的

21、晶體往往是凸多面體，圍成這個凸多面體的面是光滑的，稱為單晶。單晶外形上最顯著的特征是晶面有規(guī)則的配置，晶態(tài)物質(zhì)在適當(dāng)?shù)臈l件下都能自發(fā)地發(fā)展為單晶。布喇菲的空間點陣學(xué)說：晶體內(nèi)部結(jié)構(gòu)可以概括為是一些有相同的點子在空間有規(guī)則地作周期性的無限分布。這些點子的總體稱為點陣。此定義中的點子代表了結(jié)構(gòu)周期中相同位置，又稱為結(jié)點。這些節(jié)點可以是原子本身，也可以是基元（分子結(jié)構(gòu)）中心。晶格：通過點陣中的結(jié)點，可以做許多平行的直線族和平行的晶面族。這樣，點陣就成為一些網(wǎng)絡(luò)，成為晶格，晶格呈周期性排布?；兄挥幸粋€原子的晶格稱為布拉菲格子，基元中有兩個/或兩個以上原子的晶格稱為復(fù)式格子。為了深入了解固體的電特性

22、，必須對固體中電子狀態(tài)和運動規(guī)律加以了解。這里，固體能帶論是目前研究固體中的電子狀態(tài)并說明其特性的主要理論。二、能代理論1單電子近似在量子力學(xué)中，微觀粒子的狀態(tài)用波函數(shù)描述，決定粒子狀態(tài)變化為薛定顎方程。因此，理論上只要能寫出相互作用著的原子核和電子系統(tǒng)的多粒子體系的薛定顎方程，就能知道系統(tǒng)的狀態(tài)，但往往由于系統(tǒng)函數(shù)的復(fù)雜性，使得原始的薛定顎方程無法求解，為此能帶理論采用單電子近似模型來分析固體物理中的電子狀態(tài)。單電子近似認(rèn)為：晶體中某個電子是在周期性排列且固定不動的原子核勢場以及其它大量電子平均勢場中運動的。這個勢場的周期與晶格周期相同。例如對于一維晶格，表示晶格中位置x處的勢能為V(x)

23、= V( x + sa)(2)其中s為整數(shù)，a為晶格常數(shù)。晶格中電子運動遵循的薛定顎方程為(3)如能解出這個方程，便能得到電子的波函數(shù)及能量。但是找出實際晶體的V(x)很困難，因而只能采取一些近似方法來求解。2布勞赫定律（Bloch）布勞赫曾經(jīng)證明，滿足（2）的波函數(shù)一定具有如下形式：（4）式中k為波氏，u(x)是一個與晶格同周期的周期函數(shù)，即u(x) = u( x + na)這一結(jié)論稱為布勞赫定律。3共有化運動和準(zhǔn)自由電子將Boch定律與自由空間電子波函數(shù)相比較（自由空間波函數(shù)）可以看出，晶體中的電子在周期勢場中的運動的波函數(shù)與自由電子的波函數(shù)相類似，都代表一個波長為1/k在K方向上傳播的平面波，不過這個波的振幅u(k)隨著x作周期性變化，其變化周期與晶格周期相同。其次，根據(jù)波函數(shù)的物理意義，在