空間幾何體的內(nèi)切球和外接球問題

1、空間幾何體的內(nèi)切球與外接球問題12016·全國卷 體積為8的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為()A12 B. C8 D4解析A因?yàn)檎襟w的體積為8，所以正方體的體對(duì)角線長為2，所以正方體的外接球的半徑為，所以球的表面積為4·()212.22016·全國卷 在封閉的直三棱柱ABC ­ A1B1C1內(nèi)有一個(gè)體積為V的球若ABBC，AB6，BC8，AA13，則V的最大值是()A4 B. C6 D.解析B當(dāng)球與三側(cè)面相切時(shí)，設(shè)球的半徑為r1，ABBC，AB6，BC8，8r16r110，解得r12，不合題意；當(dāng)球與直三棱柱的上、下底面相切時(shí)，設(shè)球的半徑

2、為r2，則2r23，即r2.球的最大半徑為，故V的最大值為×.3.2016·鄭州模擬 在平行四邊形ABCD中，CBA120°，AD4，對(duì)角線BD2，將其沿對(duì)角線BD折起，使平面ABD平面BCD，若四面體ABCD的頂點(diǎn)在同一球面上，則該球的體積為_答案：；解析：因?yàn)镃BA120°，所以DAB60°，在三角形ABD中，由余弦定理得(2)242AB22×4·AB·cos 60°，解得AB2，所以ABBD.折起后平面ABD平面BCD，即有AB平面BCD，如圖所示，可知A，B，C，D可看作一個(gè)長方體中的四個(gè)頂點(diǎn)，長

3、方體的體對(duì)角線AC就是四面體ABCD外接球的直徑，易知AC2，所以球的體積為.4.2016·山西右玉一中模擬 球O的球面上有四點(diǎn)S，A，B，C，其中O，A，B，C四點(diǎn)共面，ABC是邊長為2的正三角形，平面SAB平面ABC，則棱錐S­ABC的體積的最大值為()A. B. C2 D4選A；解析 (1)由于平面SAB平面ABC，所以點(diǎn)S在平面ABC上的射影H落在AB上，根據(jù)球的對(duì)稱性可知，當(dāng)S在“最高點(diǎn)”，即H為AB的中點(diǎn)時(shí)，SH最大，此時(shí)棱錐S­ABC的體積最大因?yàn)锳BC是邊長為2的正三角形，所以球的半徑rOCCH××2.在RtSHO中，OHOC，

4、所以SH1，故所求體積的最大值為××22×1.5.2016·贛州模擬 如圖7­38­19所示，設(shè)A，B，C，D為球O上四點(diǎn)，AB，AC，AD兩兩垂直，且ABAC，若ADR(R為球O的半徑)，則球O的表面積為()圖7­38­19A B2 C4 D8選D；解析：因?yàn)锳B，AC，AD兩兩垂直，所以以AB，AC，AD為棱構(gòu)建一個(gè)長方體，如圖所示，則長方體的各頂點(diǎn)均在球面上，ABAC，所以AE，ADR，DE2R，則有R26(2R)2，解得R，所以球的表面積S4R28.6.2016·安徽皖南八校三聯(lián) 如圖所示，已知三

5、棱錐A­BCD的四個(gè)頂點(diǎn)A，B，C，D都在球O的表面上，AC平面BCD，BCCD，且AC，BC2，CD，則球O的表面積為()A12 B7 C9 D8解析A由AC平面BCD，BCCD知三棱錐A­BCD可以補(bǔ)成以AC，BC，CD為三條棱的長方體，設(shè)球O的半徑為R，則有(2R)2AC2BC2CD234512，所以S球4R212.72016·福建泉州質(zhì)檢 已知A，B，C在球O的球面上，AB1，BC2，ABC60°，且點(diǎn)O到平面ABC的距離為2，則球O的表面積為_答案：20解析 在ABC中用余弦定理求得AC，據(jù)勾股定理得BAC為直角，故BC的中點(diǎn)O1即為ABC所在

6、小圓的圓心，則OO1平面ABC，在直角三角形OO1B中可求得球的半徑r，則球O的表面積S4r220.8. 2016·河南中原名校一聯(lián) 如圖K38­16所示，ABCD­A1B1C1D1是邊長為1的正方體，S­ABCD是高為1的正四棱錐，若點(diǎn)S，A1，B1，C1，D1在同一個(gè)球面上，則該球的表面積為()圖K38­16A. B. C. D.選D；解析 如圖所示作輔助線，易知球心O在SG1上，設(shè)OG1x，則OB1SO2x，同時(shí)由正方體的性質(zhì)知B1G1，則在RtOB1G1中，由勾股定理得OBG1BOG，即(2x)2x2，解得x，所以球的半徑R2，所以球的

7、表面積S4R2.92013·課標(biāo)全國如圖，有一個(gè)水平放置的透明無蓋的正方體容器，容器高8 cm，將一個(gè)球放在容器口，再向容器內(nèi)注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時(shí)測(cè)得水深為6 cm，如果不計(jì)容器的厚度，則球的體積為()A. cm3 B. cm3C. cm3 D. cm3解析：設(shè)球半徑為R，由題可知R，R2，正方體棱長一半可構(gòu)成直角三角形，即OBA為直角三角形，如圖BC2，BA4，OBR2，OAR，由R2(R2)242，得R5，所以球的體積為×53(cm3)，故選A項(xiàng)答案：A10已知正四棱錐的側(cè)棱與底面的邊長都為3，則這個(gè)四棱錐的外接球的表面積為()A12B36C72D108選B；解析

8、：依題意得，該正四棱錐的底面對(duì)角線長為3×6，高為 3，因此底面中心到各頂點(diǎn)的距離均等于3，所以該四棱錐的外接球的球心為底面正方形的中心，其外接球的半徑為3，所以其外接球的表面積等于4×3236.112014·石家莊質(zhì)檢一已知球O，過其球面上A、B、C三點(diǎn)作截面，若O點(diǎn)到該截面的距離是球半徑的一半，且ABBC2，B120°，則球O的表面積為()A. B. C4 D.解析：如圖，球心O在截面ABC的射影為ABC的外接圓的圓心O.由題意知OO1，OAR，其中R為球O的半徑在ABC中，AC 2.設(shè)ABC的外接圓半徑為r，則2r4，得r2，即OA2.在RtOO1

9、A中，OOO1A2OA2，即4R2，解得R2，故球O的表面積S4R2，故選A.答案：A122014·鄭州模擬在三棱錐A­BCD中，ABCD6，ACBDADBC5，則該三棱錐的外接球的表面積為_解析：依題意得，該三棱錐的三組對(duì)棱分別相等，因此可將該三棱錐補(bǔ)形成一個(gè)長方體，設(shè)該長方體的長、寬、高分別為a、b、c，且其外接球的半徑為R，則得a2b2c243，即(2R)2a2b2c243，易知R即為該三棱錐的外接球的半徑，所以該三棱錐的外接球的表面積為4R243.答案：43132014·全國卷 正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上若該棱錐的高為4，底面邊長為2，則該球的表面積為(

10、)A. B16 C9 D.答案：A；解析 如圖所示，E為AC與BD的交點(diǎn)因?yàn)檎睦忮F的底面邊長為2，所以AEAC.設(shè)球心為O，球的半徑為R，則OE4R，OAR.又因?yàn)锳OE為直角三角形，所以O(shè)A2OE2AE2，即R2(4R)22，解得R，所以該球的表面積S4R242.142016·湖南八校聯(lián)考 如圖是一個(gè)幾何體的三視圖， 則這個(gè)幾何體外接球的表面積為()A8 B16 C32 D64答案：C；解析 該幾何體為一個(gè)四棱錐，其外接球的球心為底面正方形的中心，所以半徑為2，表面積為4×(2)232.15已知四棱錐S ­ABCD的所有頂點(diǎn)在同一球面上，底面ABCD是正方形且球心O在此平面內(nèi)，當(dāng)四棱錐的體積取得最大值時(shí)，其表面積等于1616，則球O的體積等于()A. B. C. D.答案：D；解析 由題意，當(dāng)此四棱錐的體積取得最大值時(shí)，四棱錐為正四棱錐設(shè)球O的半徑為R，則AC2R，SOR，ABR，則有(R)24××R·1616，解得R2，球O的體積是R3.162016·武漢調(diào)研 已知直三棱