電路微分方程解法

1、第七章 二階電路 用二階線性常微分方程描述的電路稱為二階電路，二階電路中至少含有兩個(gè)儲(chǔ)能元件當(dāng)然含有兩個(gè)儲(chǔ)能元件的電路并不一定為二階電路，比如兩個(gè)電容（電感）串（并）聯(lián)情況。u 重點(diǎn)：1 電路微分方程的建立2 特征根的重要意義3 微分方程解的物理意義u 難點(diǎn)：1 電路微分的解及其物理意義2 不同特征根的討論計(jì)算7.0 知識(shí)復(fù)習(xí)一、 二階齊次微分方程的通解形式，其特征方程為：，特征根：。當(dāng)特征方程有不同的實(shí)根、時(shí)，當(dāng)特征方程有相同的實(shí)根時(shí)，當(dāng)特征方程有共軛的復(fù)根時(shí)，二、 歐拉公式7.1 二階電路的零輸入響應(yīng)7.1.1 二階電路中的能量振蕩在具體研究二階電路的零輸入響應(yīng)之前，我們以僅僅含電容與電感

2、的理想二階電路（即R=0，無(wú)阻尼情況）來(lái)討論二階電路的零輸入時(shí)的電量及能量變化情況。 設(shè)電容的初始電壓為，電感的初始電流為零。在初始時(shí)刻，能量全部存儲(chǔ)于電容中，電感中沒(méi)有儲(chǔ)能。此時(shí)電流為零，電流的變化率不為零（，），這樣電流將不斷增大，原來(lái)存儲(chǔ)在電容中的電能開(kāi)始轉(zhuǎn)移，電容的電壓開(kāi)始逐漸減小。當(dāng)電容電壓下降到零時(shí)，電感電壓也為零，此時(shí)電流的變化率也就為零，電流達(dá)到最大值I0，此時(shí)電場(chǎng)能全部轉(zhuǎn)化為電磁能，存儲(chǔ)在電感中。 電容電壓雖然為零，但其變化率不為零（，），電路中的電流從I0逐漸減小，電容在電流的作用下被充電（電壓的極性與以前不同），當(dāng)電感中的電流下降到零的瞬間，能量再度全部存儲(chǔ)在電容中，電容

3、電壓又達(dá)到，只是極性與開(kāi)始相反。之后電容又開(kāi)始放電，此時(shí)電流的方向與上一次電容放電時(shí)的電流方向相反，與剛才的過(guò)程相同，能量再次從電場(chǎng)能轉(zhuǎn)化為電磁能，直到電容電壓的大小與極性與初始情況一致，電路回到初始情況。上述過(guò)程將不斷重復(fù)，電路中的電壓與電流也就形成周而復(fù)始的等幅振蕩?？梢韵胂?，當(dāng)存在耗能元件時(shí)的情況。一種可能是電阻較小，電路仍然可以形成振蕩，但由于能量在電場(chǎng)能與電磁能之間轉(zhuǎn)化時(shí)，不斷地被電阻元件消耗掉，所以形成的振蕩為減幅振蕩，即幅度隨著時(shí)間衰減到零；另一種可能是電阻較大，電容存儲(chǔ)的能量在第一次轉(zhuǎn)移時(shí)就有大部分被電阻消耗掉，電路中的能量已經(jīng)不可能在電場(chǎng)能與電磁能之間往返轉(zhuǎn)移，電壓、電流將直

4、接衰減到零。7.1.2 二階電路的微分方程二階電路如下，其中電容電壓的初始值為，電感電流的初始值為。根據(jù)該電路列寫電路方程為其電路電流為：因此：，所以，電路方程為：7.1.3 二階電路微分方程的求解方程的特征方程為。特征根為：其中：由特征根的性質(zhì)（不等的實(shí)數(shù)、相等的實(shí)數(shù)或共軛的復(fù)數(shù)）就可以確定通解的具體形式。再據(jù)電路的初始條件即可得出通解中的待定系數(shù)。7.1.4 二階電路特征根的討論分別討論特征根的情況。一、 過(guò)阻尼情況非振蕩放電過(guò)程1過(guò)阻尼的條件 當(dāng)，即（）時(shí)，特征根、為不相等的負(fù)實(shí)數(shù)。此時(shí)固有頻率為不相等的負(fù)實(shí)數(shù)，2過(guò)阻尼時(shí)的響應(yīng)當(dāng)特征根為不相等的實(shí)數(shù)時(shí)，方程的解的形式為其中：而，且電路的

5、初始條件，有而，同時(shí)，因此，初始條件為：，代入電路方程中，就可以解出其中的待定系數(shù)，得出由此可見(jiàn)，和均為隨著時(shí)間衰減的指數(shù)函數(shù)，電路的響應(yīng)為非振蕩響應(yīng)。其中當(dāng)電流的變化率為零的時(shí)刻時(shí)電流達(dá)到最大值。而：3過(guò)阻尼時(shí)的響應(yīng)曲線二、 臨界阻尼情況1臨界阻尼的條件 當(dāng)，即（）時(shí)，特征根、為相等的負(fù)實(shí)數(shù)p；此時(shí)固有頻率為相等的負(fù)實(shí)數(shù)，2臨界阻尼時(shí)的響應(yīng)當(dāng)方程的特征根相同時(shí)，然后可以按照初值求取待定系數(shù)；也可以利用非振蕩放電過(guò)程的解，令，取極限得出。 非振蕩放電過(guò)程的解為：，令，取極限，根據(jù)羅必塔法則：由此可見(jiàn)，和也為隨著時(shí)間衰減的指數(shù)函數(shù)，仍然為非振蕩響應(yīng)。其中3臨界阻尼時(shí)的響應(yīng)曲線臨界阻尼時(shí)響應(yīng)曲線的

6、變化規(guī)律與過(guò)阻尼時(shí)的情況類似。三、 欠阻尼情況1欠阻尼的條件 當(dāng)，即（）時(shí)，特征根、為一對(duì)共軛復(fù)數(shù)，其實(shí)部為負(fù)數(shù)。2欠阻尼時(shí)的響應(yīng) 令，則微分方程的特征根，。如圖所示，設(shè)與及之間存在三角關(guān)系 即 ，則 ，。根據(jù)歐拉公式：可將特征根寫為：，因此：由此可見(jiàn)，和均為幅值隨著時(shí)間按指數(shù)規(guī)律衰減的振蕩函數(shù)，電路的響應(yīng)為衰減振蕩響應(yīng)。3欠阻尼時(shí)的響應(yīng)曲線4無(wú)阻尼的情況 無(wú)阻尼情況是欠阻尼的一種特殊情況。當(dāng)時(shí)，此時(shí)的響應(yīng)為由此可見(jiàn)，和均為正弦函數(shù)，其幅值不隨時(shí)間衰減，電路的響應(yīng)為等幅振蕩響應(yīng)，稱為系統(tǒng)的固有頻率，當(dāng)二階電路的激勵(lì)為同頻率的正弦函數(shù)時(shí)，稱此時(shí)電路發(fā)生了諧振，其物理意義類似于機(jī)械系統(tǒng)的共振。7.

7、2 二階電路的階躍響應(yīng)與沖激響應(yīng)7.2.1 二階電路的階躍響應(yīng)一、定義二階電路在階躍激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng)，稱為階躍響應(yīng)。二、求解的步驟二階電路的階躍響應(yīng)的求取類似于一階電路的階躍響應(yīng)的求取方法。其步驟為1計(jì)算電路的初始值、2列寫電路微分方程根據(jù)KCL或KVL定理列寫將電路方程，將其整理成有關(guān)電容電壓或電感電流（狀態(tài)變量）的二階微分方程。3計(jì)算電路方程的特解因?yàn)槭请A躍響應(yīng)，所以電路方程的特解為常數(shù)A，且A可以根據(jù)初始值最后確定為階躍激勵(lì)的強(qiáng)度。4 計(jì)算電路方程的通解而電路方程的通解為齊次方程的解，因此根據(jù)其特征方程求得電路方程得特征根為s當(dāng)s為兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)、時(shí)，當(dāng)s為兩個(gè)相同的實(shí)根時(shí)，當(dāng)s為兩

8、個(gè)共軛的復(fù)根、時(shí)，時(shí)，。實(shí)際上，在此情況下（欠阻尼），可以直接設(shè)電路方程的通解為。然后用初始值確定其中的待定系數(shù)A與j。5計(jì)算電路的初始值原電路方程的解即為通解于特解之和，再根據(jù)電路的初始條件計(jì)算出各個(gè)待定系數(shù)。這樣即可得出電路方程的解。三、響應(yīng)曲線下面給出過(guò)阻尼、臨界阻尼、欠阻尼三種情況下電路方程的響應(yīng)曲線，可以看出，三種情況下的穩(wěn)態(tài)值相同。另外，我們?cè)俳o出衰減振蕩（欠阻尼）與等幅振蕩（零阻尼）情況下的響應(yīng)曲線示意圖。7.2.2 二階電路的沖激響應(yīng)一、 定義所謂“二階電路的沖激響應(yīng)”。實(shí)際上是零狀態(tài)的二階電路在沖激源的作用下所產(chǎn)生的響應(yīng)，即為二階電路在沖激源作用下，建立一個(gè)初始狀態(tài)后產(chǎn)生的零

9、輸入響應(yīng)。二、 解法因?yàn)橐阎跏紶顟B(tài)的二階電路的零輸入響應(yīng)的求法在前面的章節(jié)中已經(jīng)有詳細(xì)的介紹，因此要求解二階電路的沖激響應(yīng)，關(guān)鍵在于求出沖激激勵(lì)所產(chǎn)生的電路初始值。7.4 狀態(tài)方程在電路系統(tǒng)中，以電容電壓及電感電流為變量，列寫出的微分方程稱為“狀態(tài)方程”，其中的電容電壓及電感電流初始值即為方程的初始值。狀態(tài)方程在動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的研究中具有十分重要的意義。所謂狀態(tài)變量，是一組數(shù)目最少的、能夠確定網(wǎng)絡(luò)所有變量的動(dòng)態(tài)變量。前面我們介紹了電路方程的列寫，實(shí)際上是用的是輸入-輸出方法，也就是選取我們需要研究的單個(gè)電路變量，列寫它跟輸入函數(shù)之間的微分方程關(guān)系，我們稱它為“輸入-輸出法“。這種方法常常列寫出高階微分方程，其求解存在一些困難，而且一般每一次只能描述一個(gè)變量的情況；而列寫電路方程的另一種方法是所謂的“狀態(tài)變量法”，也就是先找出關(guān)于一組狀態(tài)變量的一階微分方程，然后找到該組狀態(tài)變量跟激勵(lì)函數(shù)的關(guān)系（也為一階關(guān)系），稱為“輸出方程”?？梢?jiàn)對(duì)于高階電路的分析而言，狀態(tài)變量分析法一方面為我們提供了所有動(dòng)態(tài)變量之間的關(guān)系，另外也將求解高階微分方程的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成為兩次一階方程的求取。電路的狀態(tài)方程形式如下：其中為電路中的狀態(tài)變量向量的一階導(dǎo)數(shù)，x為電路中的狀態(tài)變量向量，w為電路的激勵(lì)向量（輸入向量），A、B分別為相應(yīng)的系數(shù)矩陣。電路的輸出方