知識(shí)講解 奇偶性基礎(chǔ)

1、函數(shù)的奇偶性編稿：丁會(huì)敏審稿：王靜偉 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解函數(shù)的奇偶性定義；2.會(huì)利用圖象和定義判斷函數(shù)的奇偶性；3.掌握利用函數(shù)性質(zhì)在解決有關(guān)綜合問(wèn)題方面的應(yīng)用.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、函數(shù)的奇偶性概念及判斷步驟1函數(shù)奇偶性的概念偶函數(shù)：若對(duì)于定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)稱為偶函數(shù).奇函數(shù)：若對(duì)于定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)稱為奇函數(shù).要點(diǎn)詮釋：（1）奇偶性是整體性質(zhì)；（2）x在定義域中，那么-x在定義域中嗎？-具有奇偶性的函數(shù)，其定義域必定是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的；（3）f(-x)=f(x)的等價(jià)形式為：， f(-x)=-f(x)的等價(jià)

2、形式為：；（4）由定義不難得出若一個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)且在原點(diǎn)有定義，則必有f(0)=0；（5）若f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，則必有f(x)=0.2.奇偶函數(shù)的圖象與性質(zhì)（1）如果一個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)，則這個(gè)函數(shù)的圖象是以坐標(biāo)原點(diǎn)為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形；反之，如果一個(gè)函數(shù)的圖象是以坐標(biāo)原點(diǎn)為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形，則這個(gè)函數(shù)是奇函數(shù).（2）如果一個(gè)函數(shù)為偶函數(shù)，則它的圖象關(guān)于軸對(duì)稱；反之，如果一個(gè)函數(shù)的圖像關(guān)于軸對(duì)稱，則這個(gè)函數(shù)是偶函數(shù).3.用定義判斷函數(shù)奇偶性的步驟（1）求函數(shù)的定義域，判斷函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，若不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則該函數(shù)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)，若關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則進(jìn)行下

3、一步；（2）結(jié)合函數(shù)的定義域，化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式；（3）求，可根據(jù)與之間的關(guān)系，判斷函數(shù)的奇偶性.若=-，則是奇函數(shù)；若=，則是偶函數(shù)；若，則既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)；若且=-，則既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)要點(diǎn)二、判斷函數(shù)奇偶性的常用方法（1）定義法：若函數(shù)的定義域不是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則立即可判斷該函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；若函數(shù)的定義域是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的，再判斷與之一是否相等.（2）驗(yàn)證法：在判斷與的關(guān)系時(shí)，只需驗(yàn)證=0及是否成立即可.（3）圖象法：奇（偶）函數(shù)等價(jià)于它的圖象關(guān)于原點(diǎn)（軸）對(duì)稱.（4）性質(zhì)法：兩個(gè)奇函數(shù)的和仍為奇函數(shù)；兩個(gè)偶函數(shù)的和仍為偶函數(shù)；兩個(gè)奇函數(shù)的積是偶函數(shù)；兩個(gè)偶函數(shù)的

4、積是偶函數(shù)；一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)的積是奇函數(shù).（5）分段函數(shù)奇偶性的判斷判斷分段函數(shù)的奇偶性時(shí)，通常利用定義法判斷.在函數(shù)定義域內(nèi)，對(duì)自變量的不同取值范圍，有著不同的對(duì)應(yīng)關(guān)系，這樣的函數(shù)叫做分段函數(shù).分段函數(shù)不是幾個(gè)函數(shù)，而是一個(gè)函數(shù).因此其判斷方法也是先考查函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，然后判斷與的關(guān)系.首先要特別注意與的范圍，然后將它代入相應(yīng)段的函數(shù)表達(dá)式中，與對(duì)應(yīng)不同的表達(dá)式，而它們的結(jié)果按奇偶函數(shù)的定義進(jìn)行比較.要點(diǎn)三、關(guān)于函數(shù)奇偶性的常見(jiàn)結(jié)論奇函數(shù)在其對(duì)稱區(qū)間a,b和-b，-a上具有相同的單調(diào)性，即已知是奇函數(shù)，它在區(qū)間a,b上是增函數(shù)（減函數(shù)），則在區(qū)間-b，-a上也是增函數(shù)（減

5、函數(shù)）；偶函數(shù)在其對(duì)稱區(qū)間a,b和-b，-a上具有相反的單調(diào)性，即已知是偶函數(shù)且在區(qū)間a,b上是增函數(shù)（減函數(shù)），則在區(qū)間-b，-a上也是減函數(shù)（增函數(shù)）.【典型例題】類型一、判斷函數(shù)的奇偶性例1. 判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)； (2)f(x)=x2-4|x|+3 ；(3)f(x)=|x+3|-|x-3|； (4)； (5)； (6)【思路點(diǎn)撥】利用函數(shù)奇偶性的定義進(jìn)行判斷.【答案】（1）非奇非偶函數(shù)；（2）偶函數(shù)；（3）奇函數(shù)；（4）奇函數(shù)；（5）奇函數(shù)；（6）奇函數(shù)【解析】(1)f(x)的定義域?yàn)?，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，因此f(x)為非奇非偶函數(shù)；(2)對(duì)任意xR，都有-xR，且f(-x)=x

6、2-4|x|+3=f(x)，則f(x)=x2-4|x|+3為偶函數(shù) ；(3)xR，f(-x)=|-x+3|-|-x-3|=|x-3|-|x+3|=-f(x)，f(x)為奇函數(shù)；(4)，f(x)為奇函數(shù)；(5)xR，f(x)=-x|x|+x f(-x)=-(-x)|-x|+(-x)=x|x|-x=-f(x)，f(x)為奇函數(shù)；(6)，f(x)為奇函數(shù).【總結(jié)升華】判定函數(shù)奇偶性容易失誤是由于沒(méi)有考慮到函數(shù)的定義域.函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的前提條件，因此研究函數(shù)的奇偶性必須“堅(jiān)持定義域優(yōu)先”的原則，即優(yōu)先研究函數(shù)的定義域，否則就會(huì)做無(wú)用功.如在本例（4）中若不研究定義域，在去掉的

7、絕對(duì)值符號(hào)時(shí)就十分麻煩.舉一反三：【變式1】判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)；(2)；(3)；(4).【答案】（1）奇函數(shù)；（2）偶函數(shù)；（3）非奇非偶函數(shù)；（4）奇函數(shù)【解析】(1)的定義域是，又，是奇函數(shù)（2）的定義域是，又，是偶函數(shù)（3）函數(shù)定義域?yàn)?，定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，為非奇非偶函數(shù)（4）任取x>0則-x<0，f(-x)=(-x)2+2(-x)-1=x2-2x-1=-(-x2+2x+1)=-f(x)任取x<0，則-x>0 f(-x)=-(-x)2+2(-x)+1=-x2-2x+1=-(x2+2x-1)=-f(x)x=0時(shí)，f(0)=-f(0) xR時(shí)，f(-x)=

8、-f(x) f(x)為奇函數(shù).【高清課堂：函數(shù)的奇偶性356732例2（1）】【變式2】已知f(x)，g(x)均為奇函數(shù)，且定義域相同，求證：f(x)+g(x)為奇函數(shù)，f(x)·g(x)為偶函數(shù).證明：設(shè)F(x)=f(x)+g(x)，G(x)=f(x)·g(x)則F(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-f(x)+g(x)=-F(x)G(-x)=f(-x)·g(-x)=-f(x)·-g(x)=f(x)·g(x)=G(x)f(x)+g(x)為奇函數(shù)，f(x)·g(x)為偶函數(shù).【高清課堂：函數(shù)的奇偶性 356732

9、例2（2）】【變式3】設(shè)函數(shù)和g(x)分別是R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，則下列結(jié)論恒成立的是 （ ）.A+|g(x)|是偶函數(shù) B-|g(x)|是奇函數(shù)C| +g(x)是偶函數(shù) D|- g(x)是奇函數(shù)【答案】A類型二、函數(shù)奇偶性的應(yīng)用(求值，求解析式，與單調(diào)性結(jié)合)例2.已知f(x)=x5+ax3-bx-8，且f(-2)=10，求f(2).【答案】-26【解析】法一：f(-2)=(-2)5+(-2)3a-(-2)b-8=-32-8a+2b-8=-40-8a+2b=108a-2b=-50 f(2)=25+23a-2b-8=8a-2b+24=-50+24=-26法二：令g(x)=f(x)+8易證g(x

10、)為奇函數(shù)g(-2)=-g(2) f(-2)+8=-f(2)-8f(2)=-f(-2)-16=-10-16=-26.【總結(jié)升華】本題要會(huì)對(duì)已知式進(jìn)行變形，得出f(x)+8= x5+ax3-bx為奇函數(shù)，這是本題的關(guān)鍵之處，從而問(wèn)題便能迎刃而解.舉一反三：【變式1】已知為奇函數(shù)，則為（ ）【答案】6【解析】，又為奇函數(shù)，所以例3.已知是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，求的解析式【答案】【解析】是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，又奇函數(shù)在原點(diǎn)有定義，【總結(jié)升華】若奇函數(shù)在處有意義，則必有，即它的圖象必過(guò)原點(diǎn)（0，0）舉一反三：【高清課堂：函數(shù)的奇偶性356732 例3】【變式1】（1）已知偶函數(shù)的定義域是R，

11、當(dāng)時(shí)，求的解析式.（2）已知奇函數(shù)的定義域是R，當(dāng)時(shí)，求的解析式.【答案】（1）；（2）例4.設(shè)定義在-2，2上的偶函數(shù)f(x)在0，2上是單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，求的取值范圍.【答案】【解析】f(a-1)<f(a) f(|a-1|)<f(|a|)而|a+1|，|a|0，2【總結(jié)升華】若一個(gè)函數(shù)是偶函數(shù)，則一定有，這樣就減少了討論的麻煩類型三、函數(shù)奇偶性的綜合問(wèn)題例5設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)=x2+|x-a|+1，xR，試討論f(x)的奇偶性，并求f(x)的最小值.【思路點(diǎn)撥】對(duì)a進(jìn)行討論，把絕對(duì)值去掉，然后把f(x)轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)求最值問(wèn)題?！敬鸢浮慨?dāng)a=0時(shí)，函數(shù)為偶函數(shù)；當(dāng)a0時(shí)，函

12、數(shù)為非奇非偶函數(shù). 當(dāng)當(dāng).【解析】當(dāng)a=0時(shí)，f(x)=x2+|x|+1，此時(shí)函數(shù)為偶函數(shù)；當(dāng)a0時(shí)，f(x)=x2+|x-a|+1，為非奇非偶函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)， 且上單調(diào)遞增，上的最小值為f(a)=a2+1.(2)當(dāng)時(shí)，上單調(diào)遞減，上的最小值為上的最小值為綜上：舉一反三：【變式1】 判斷的奇偶性【答案】當(dāng)時(shí)，函數(shù)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)是奇函數(shù)【解析】對(duì)進(jìn)行分類討論若，則，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，函數(shù)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)當(dāng)時(shí)，是奇函數(shù)綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)是奇函數(shù)例6. 已知是偶函數(shù)，且在0，+）上是減函數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間【思路點(diǎn)撥】本題考查復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的求法。復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性由內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)的單調(diào)性共同決定，即“同增異減”。【答案】0，1和（，1【解析】 是偶函數(shù)，且在0，+）上是減函數(shù)，在（，0上是增函數(shù)設(shè)u=1x2，則函數(shù)是函數(shù)與函數(shù)u=1x2的復(fù)合函數(shù)當(dāng)0x1時(shí)，u是減函數(shù)，且u0，而u0時(shí)，是減函數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)，可得是增函數(shù)當(dāng)x1時(shí)，u是增函數(shù)，且u0，而u0時(shí)，是增函數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)，可得是增函數(shù)同理可得當(dāng)1x0或x1時(shí)，是減函數(shù)所求的遞增區(qū)間為0，1和（，1【總結(jié)升華】