直角坐標系解決立體幾何問題

1、在立體幾何中引入向量之前，求角與距離是一個難點，在新課標中，從向量的角度來研究空間的點、線、面的關(guān)系，我們只要通過兩個向量的數(shù)量積運算、運用向量的模、平面的法向量就可以解決常見的角與距離的問題。而且，運用向量來解題思路簡單、步驟清楚，對學生來說輕松了很多。重點：用空間向量數(shù)量積及夾角公式求異面直線所成角。難點：建立恰當?shù)目臻g直角坐標系關(guān)鍵：幾何問題轉(zhuǎn)換為代數(shù)問題及正確寫出空間向量的坐標。、空間直角坐標系的建立xyo. Mxyo. M平面直角坐標系空間直角坐標系z空間向量的數(shù)量積公式（兩種形式）、夾角公式和空間向量的數(shù)量積的幾何性質(zhì)。(用媒體分步顯示下列內(nèi)容)1 向量的數(shù)量積公式（包括向量的夾角

2、公式）:若與的夾角為(0),且=x1,y1,z1,=x2,y2,z2,則 ·=|cos 或 ·= x1x2+y1y2+z1z2若與非零向量 cos = =2 向量的數(shù)量積的幾何性質(zhì):兩個非零向量與垂直的充要條件是·=0兩個非零向量與平行的充要條件是·=±|利用空間向量知識求異面直線所成角的一般步驟：（1）根據(jù)圖形建立合理的空間直角坐標系；（2）確定關(guān)鍵點的坐標；D1（3）求空間向量的夾角；（4）得出異面直線的所成角。用向量解決角的問題兩條異面直線、間夾角在直線上取兩點A、B，在直線上取兩點C、D，若直線與的夾角為，則。注意,由于兩向量的夾角范圍

3、為,而異面直線所成角的范圍為，若兩向量夾角為鈍角,轉(zhuǎn)化到異面直線夾角時為180°例1：在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=4，AA1=6,求異面直線DA1與AC1的所成角；DCAB分析：在此題的解答中，設計如下問題貫穿整個過程以期共同解高。問題1：此題在立體幾何中我們應該如何解決？ （異面直線平移相交，求相交直線的交角）問題2：利用空間向量求解，對幾何體如何處理？（求向量DA1與AC1的數(shù)量積，當然應先建立空間直角坐標系）問題3：如何建立空間直角坐標系？并說明理由。 （以DA為X軸，以DC為Y軸，以DD1為Z軸）問題4：建立空間直角坐標系后，各相關(guān)點的坐標是多少？ （請

4、學生個別回答）例2直棱柱ABCD-A1B1C1D1，底面是邊長為4的菱形,且DAB=60°，AA1=6，AC與BC交于E，A1C1與B1D1交于E1， （1）求：DA1與AC1的所成角；（2）若F是AE1的中點，求：B1E與FD1的所成角；直線與平面所成的角（如圖）圖12圖11圖13可轉(zhuǎn)化成用向量與平面的法向量的夾角表示，由向量平移得：若時（圖）；若時（圖）.xyzABCC1A1B1GDE平面的法向量是向量的一個重要內(nèi)容，是求直線與平面所成角、求點到平面距離的必備工具.由可知，要求得法向量，只需在平面上找出兩個不共線向量、，最后通過解方程組得到.例4、 在直三棱柱中，底面是等腰直角三

5、角形，側(cè)棱，、分別是與的中點，點在平面上的射影是的重心，求直線與平面所成角正弦值.分析：題中顯然所求的角為，但在中沒有求解的條件.由題中條件，可輕易建立坐標系（如圖），由直三棱柱只知高度為，所以設底面直角邊，從而算得立體中各點的坐標，如、，由得，得向量、，由數(shù)量積得，由所求角等于的余角，與平面所成的角的正弦值為。求二面角的大小已知二面角l，分別是平面和平面的一個法向量，設二面角l的大小為，規(guī)定0，則（這里若平面的法向量是二面角的內(nèi)部指向平面內(nèi)的一點，則平面的法向量必須是由平面內(nèi)的一點指向二面角的內(nèi)部，如圖2-1，否則從二面角內(nèi)部一點出發(fā)向兩個半平面作法向量時，二面角，如圖2-2）2-12-2（

6、ABCDl二面角的大?。ㄈ缬覉D），也可用兩個向量所成的夾角表示，在、上分別作棱的垂線、（、），從圖中可知：等于、所成的角.）例8.三棱柱，平面平面，且，求：二面角的余弦值大小.xyzABOA1B1O1H1H分析：以點為原點，分別以、所在直線為、軸，過且與平面垂直的直線為軸，建立直角坐標系，則、.作、，結(jié)合、在上，算得，從而算得，即為所求.例9. 如圖，在底面是直角梯形的四棱錐SABCD中，AD/BC，ABC=900，SA面ABCD，SA=，AB=BC=1，AD=。 求側(cè)面SCD與面SBA所成的二面角的余弦值大小。AzyxDCBS解： 以A為原點如圖建立空間直角坐標系，則S（0，0，）， A（0

7、，0，0），B（0，1，0），C（1，1，0），D（，0，0），顯然平面SBA的一個法向量為=(1，0，0)，設平面SCD的一個法向量為=(x，y，z)，則平面SCD 則在角與距離問題的方法上，向量運用的關(guān)鍵在于認識角、距離與向量的關(guān)系、從而使立體幾何教學顯得簡明易懂，提高教學效果。在進行向量與立體圖形相關(guān)問題進行教學時，需要注意一下幾點:強化數(shù)形結(jié)合的思想，加強學生運算能力的培養(yǎng)和提高引導學生理解本章向量垂直與平行的判斷或證明與直線垂直與平行的聯(lián)系和區(qū)別；注意區(qū)分兩向量的夾角與直線的夾角概念。 用向量解決距離問題兩點間距離由可算出；若，則由數(shù)量積得 ，若已知兩點坐標，則可直接用兩點

8、間距離公式.點到直線的距離過點作直線的垂線，垂足為，則由且點共線得，解出點后再求。例1、直角坐標系中的三點，求點到直線的距離。解：過作，垂足為設，則點坐標為，又， ，異面直線、的距離可先設、的公垂線段（、），再由垂直向量性質(zhì)得，從而得到、的坐標，最后算出所求.BCDAB1C1D1A1yxzEF例2、正方體的邊長為，求異面直線、的距離？分析：從正方體條件得，運用坐標向量的方法較好.建立直角坐標系，設是所求的公垂線，令、，則、的坐標為，同理，再由、，算得、，最后算出、.這個方法不但能求出直線上的點的坐標，也能求出空間向量的表示式，是向量運用中常用的一個小技巧.點到平面的距離EABCDA1B1C1D

9、1yxz先設平面的斜線為，再求的法向量，運用向量平移，不難得到推論“等于在法向量上的射影的絕對值”，即，最后由此算出所求距離.例3、正四棱柱，是的中點，求點到平面的距離. 分析：如圖建立直角坐標系，得各點坐標，設平面的法向量為，由，得；令，得法向量在上的投影為，點到平面的距離為.此類題目，是在立體幾何學習中的必須解決的重點題和難題，傳統(tǒng)的解題方法很多，也很復雜。運用平面法向量的知識，能直接算出所求距離，避免繁復的邏輯推理。兩平行平面之間的距離由平行平面間的距離定義知道，平面上任意一點A到的距離就是到的距離，因此，我們也可把到的距離轉(zhuǎn)化為A到的距離，運用求點與面距離的方法來求。1、(2011年高

10、考陜西卷理科16)（本小題滿分12分）如圖：在，沿把折起，使（）證明：平面；（）設。2、(2011年高考北京卷理科16)（本小題共14分）如圖，在四棱錐中，平面，底面是菱形，.()求證：平面（）若求與所成角的余弦值；（）當平面與平面垂直時，求的長.3、(2011年高考全國新課標卷理科18) (本小題滿分12分)如圖，四棱錐PABCD中，底面ABCD為平行四邊形，DAB=60°,AB=2AD,PD底面ABCD.()證明：PABD；()若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。分析：（1）要證明線線垂直只要證明線面垂直或者用向量去證明；（2）求二面角的余弦只需建立適當?shù)淖鴺讼?，有空間向量來完成。1、【解析】：（）折起前，當 。（）由及（）知兩兩垂直，不妨設為坐標原點，以軸建立如圖所示的空間直角坐標系，易得夾角的余弦值為2、證明：（）因為四邊形ABCD是菱形，所以ACBD.又因為PA平面ABCD.所以PABD.所以BD平面PAC.（）設ACBD=O.因為BAD=60°，PA=PB=2,所以BO=1，AO=CO=.如圖，以O為坐標原點，建