用有限元素法建立結(jié)構(gòu)振動(dòng)的數(shù)學(xué)模型VIP

1、第三章 用有限元素法建立結(jié)構(gòu)振動(dòng)的數(shù)學(xué)模型31 引言【工程要求】：對(duì)于簡單的連續(xù)結(jié)構(gòu)，如單件的桿、板、梁，可以建立結(jié)構(gòu)振動(dòng)的偏微分方程，但對(duì)于桿、板、梁組成的復(fù)雜結(jié)構(gòu)，仍然采用建立偏微分方程的方法則十分困難。如果用假設(shè)模態(tài)法（李茲方法），對(duì)實(shí)際工程結(jié)構(gòu)假設(shè)出品質(zhì)良好的整個(gè)結(jié)構(gòu)的假設(shè)模態(tài)也十分困難。要對(duì)結(jié)構(gòu)振動(dòng)進(jìn)行數(shù)值分析，必須建立振動(dòng)的數(shù)學(xué)模型振動(dòng)方程。工程結(jié)構(gòu)振動(dòng)分析中，要采用將結(jié)構(gòu)離散為有限自由度系統(tǒng)的方法有限元素法，來建立結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)模型?！景l(fā)展簡況】有限元素法，是在上一世紀(jì)五十年代中期，經(jīng)過M.T.Turner及J.H.Argyris等人的開拓性工作以及后來許多研究者的大量工作，發(fā)展起來

2、的一種結(jié)構(gòu)分析的有效方法，上一世紀(jì)六十年代初，由J.S.Archer及J.H.Argyris等人引入到結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)分析中來。有限元素法發(fā)展到今天，已經(jīng)非常成熟，而且與先進(jìn)的計(jì)算機(jī)技術(shù)結(jié)合，已經(jīng)形成了一個(gè)以有限元分析方法為基礎(chǔ)的計(jì)算機(jī)輔助工程（CAE）的技術(shù)領(lǐng)域以及更進(jìn)一步的虛擬產(chǎn)品設(shè)計(jì)（VPD）這樣的先進(jìn)概念。世界上著名的CAE分析軟件商主要有MSC.software和Ansys等公司的產(chǎn)品。【有限元?jiǎng)恿W(xué)分析的任務(wù)】在結(jié)構(gòu)振動(dòng)分析領(lǐng)域，有限元素法處理的問題主要是兩類：結(jié)構(gòu)固有振動(dòng)特性計(jì)算和結(jié)構(gòu)振動(dòng)響應(yīng)計(jì)算（包括頻率響應(yīng)分析與響應(yīng)時(shí)間歷程分析）。兩類問題中，用有限元法建立振動(dòng)數(shù)學(xué)模型是最基礎(chǔ)的工

3、作。【有限元素法（分析結(jié)構(gòu)振動(dòng)問題）的特點(diǎn)】：原則上，有限元素法由于其對(duì)復(fù)雜邊界的適應(yīng)性，它可以處理任何復(fù)雜的結(jié)構(gòu)。求解結(jié)果的精度可以根據(jù)需要不斷改善，建模過程規(guī)范統(tǒng)一，計(jì)算形式適合于計(jì)算機(jī)求解?！敬嬖诘膯栴}】：隨著精度要求的不斷提高，所要求的計(jì)算機(jī)容量和計(jì)算時(shí)間急劇增加，從而引出了大型特征值問題的快速求解方法、將大型結(jié)構(gòu)振動(dòng)問題轉(zhuǎn)化為若干小型結(jié)構(gòu)振動(dòng)問題集合的子結(jié)構(gòu)求解方法，以及結(jié)構(gòu)振動(dòng)問題的并行求解方法等問題的研究。【工程結(jié)構(gòu)振動(dòng)分析方法】從結(jié)構(gòu)振動(dòng)分析的發(fā)展歷史看，經(jīng)典的方法有：1集中質(zhì)量法將質(zhì)量分別集中在若干節(jié)點(diǎn)處，形成集聚質(zhì)量陣。結(jié)構(gòu)的剛度仍然連續(xù)分布，采用材料力學(xué)中求柔度的方法，求

4、出柔度系數(shù)，得到柔度矩陣，即用柔度法來形成剛度矩陣。集中質(zhì)量法存在問題：對(duì)大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)，用材料力學(xué)的方法，進(jìn)行柔度矩陣的求解顯然是不現(xiàn)實(shí)的。2假設(shè)模態(tài)法以李茲法為基礎(chǔ)，選擇一組假設(shè)模態(tài)組成的模態(tài)矩陣，對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行離散，如第二章所述的方法。假設(shè)模態(tài)法存在的問題：1對(duì)幾何形狀復(fù)雜的結(jié)構(gòu)，假設(shè)模態(tài)難以選擇。2對(duì)整個(gè)系統(tǒng)用假設(shè)模態(tài)法得到的運(yùn)動(dòng)方程是高度耦合的，求解困難。3對(duì)不同的結(jié)構(gòu)，要根據(jù)實(shí)際情況選取不同的假設(shè)模態(tài)，求解過程不規(guī)范統(tǒng)一。引入有限元素法的思想既解決了上述方法的缺點(diǎn)，又保留了它們的優(yōu)點(diǎn)。【有限元法分析振動(dòng)問題的基本原理】用有限元法分析結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)問題的基本思想，與結(jié)構(gòu)靜態(tài)分析的思想是一樣的。它

5、采用的方法仍然是：將結(jié)構(gòu)分解為有限數(shù)目的單元，各元素間由節(jié)點(diǎn)相連，各單元內(nèi)結(jié)構(gòu)的變形用位移形函數(shù)（相當(dāng)于元素級(jí)的假設(shè)模態(tài)）來表示，以節(jié)點(diǎn)位移作為控制變量（元素的廣義坐標(biāo)）。元素間的位移連續(xù)條件通過引入的形函數(shù)來滿足，動(dòng)態(tài)平衡條件通過最后導(dǎo)出的有限元方程來體現(xiàn)。由于節(jié)點(diǎn)數(shù)目是有限的，最后得到的方程是一個(gè)多自由度、離散的、線性的矩陣微分方程。32 運(yùn)動(dòng)方程的建立仍然采用熟悉的拉格朗日方程法建立其數(shù)學(xué)模型（運(yùn)動(dòng)方程）。對(duì)任一單元內(nèi)部任一點(diǎn)的位移與節(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系：（31）N稱為假設(shè)的已知位移形函數(shù)（可以看成是單元的假設(shè)模態(tài)，一般仍采用靜態(tài)變形函數(shù)）顯然： （32）單元的動(dòng)能：（33）稱為單元質(zhì)量矩陣，

6、質(zhì)量陣是對(duì)稱矩陣。整個(gè)結(jié)構(gòu)的動(dòng)能為： （34）是全結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)位移列陣，為全結(jié)構(gòu)質(zhì)量陣，代表對(duì)整個(gè)結(jié)構(gòu)各單元的組集（Assemble）。單元的應(yīng)變向量:， （35）幾何矩陣，彈性矩陣，應(yīng)力向量單元的勢(shì)能為：（36）全結(jié)構(gòu)的勢(shì)能： （37） （38）作用在單元上的分布力的虛功： （39）單元節(jié)點(diǎn)力（廣義力）（310）全結(jié)構(gòu)的外力虛功：（311） （312）【阻尼的處理】采用粘性阻尼假定：阻尼力與運(yùn)動(dòng)速度成正比，方向與速度相反。單元中分布阻尼的耗散函數(shù)（瑞利耗散函數(shù)）： （313）耗散力（即瑞利耗散力）與耗散函數(shù)的關(guān)系為： （314）全結(jié)構(gòu)的耗散函數(shù)： （315） （316）將全結(jié)構(gòu)的動(dòng)能、勢(shì)能、耗

7、散函數(shù)和廣義力代入非保守系統(tǒng)的拉格朗日方程， （317）得到： （318）【幾個(gè)相關(guān)問題】：1進(jìn)行實(shí)際結(jié)構(gòu)的振動(dòng)分析時(shí)，在各個(gè)單元的矩陣組集之前，還要對(duì)單元矩陣進(jìn)行由單元的局部坐標(biāo)系向結(jié)構(gòu)的總體坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換。記局部坐標(biāo)系下節(jié)點(diǎn)位移向量向總體坐標(biāo)系下節(jié)點(diǎn)位移向量的轉(zhuǎn)換陣為，則坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系為： （319）其中為對(duì)單元矩陣組集時(shí)“對(duì)號(hào)入座”的定位矩陣。（320）（321）（322） （323）經(jīng)過上述變換后的單元矩陣可以直接疊加得到結(jié)構(gòu)總體矩陣。2為了求解結(jié)構(gòu)的固有振動(dòng)特性，需要求解無阻尼情況下結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)方程：(324)將固有振動(dòng)的簡諧運(yùn)動(dòng)形式（325）代入得到的結(jié)構(gòu)的特征方程：或 （326）數(shù)學(xué)

8、上構(gòu)成所謂的廣義特征值問題。3振動(dòng)分析中采用的質(zhì)量陣問題在結(jié)構(gòu)振動(dòng)分析中，常采用的質(zhì)量陣形成方法有：集中質(zhì)量模型和一致質(zhì)量模型。在采用集中質(zhì)量模型時(shí)，一般是按照杠桿原理將單元質(zhì)量向單元各個(gè)節(jié)點(diǎn)上進(jìn)行分配，在局部轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)顯著時(shí)，還要考慮單元的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。集中質(zhì)量模型得到的質(zhì)量陣為對(duì)角矩陣。將單元內(nèi)慣性分布視為與靜力形函數(shù)同樣規(guī)律的分布，導(dǎo)出的質(zhì)量矩陣稱為一致質(zhì)量陣。即上面（）推導(dǎo)出的質(zhì)量陣。這樣的質(zhì)量陣為滿陣。注意：集中質(zhì)量陣與一致質(zhì)量陣都不是振動(dòng)結(jié)構(gòu)在實(shí)際上精確的質(zhì)量分布模型。理論上，結(jié)構(gòu)的動(dòng)位移是與頻率相關(guān)的。動(dòng)位移在不同振動(dòng)頻率和振型下是不同的，即不同的頻率對(duì)應(yīng)有不同的慣性。所以嚴(yán)格地講，質(zhì)

9、量陣也是與頻率相關(guān)的。下面以軸向振動(dòng)的桿元為例，說明這個(gè)問題。作為連續(xù)體的二力桿元的振動(dòng)偏微分方程（波動(dòng)方程）為：xL12 （327）記稱為波速，分別為桿的彈性模量和密度。方程（327）的解為：（328）故此時(shí)形函數(shù)為: （329）代入單元質(zhì)量陣公式得：（330）顯然，這個(gè)質(zhì)量陣為滿陣，且各元素為與頻率相關(guān)的量。理論上這樣的質(zhì)量陣真實(shí)反映實(shí)際的慣性分布，計(jì)算得到的固有特性更精確，但卻使計(jì)算大大復(fù)雜化，而且只有對(duì)簡單的情況（如二力桿元）下，才能從偏微分振動(dòng)方程得出（動(dòng)力）形函數(shù)，因此，工程實(shí)際中很少采用這種方法。而是采用與推導(dǎo)剛度陣時(shí)一致的（靜力）形函數(shù)。至于采用集中質(zhì)量陣還是一致質(zhì)量陣，得到的

10、結(jié)果更好，沒有固定的規(guī)律和結(jié)論，要視具體情況而定。從一般經(jīng)驗(yàn)上講，在單元?jiǎng)澐州^細(xì)時(shí)，用集中質(zhì)量陣較好，反之宜采用一致質(zhì)量陣。根據(jù)特征值隔離定理知道，采用一致質(zhì)量陣分析得到的是固有頻率精確解的上界，隨著分元的細(xì)化，計(jì)算結(jié)果單調(diào)地向精確解逼近，而集中質(zhì)量陣給出的結(jié)果就不具備這種特性，可能偏低也可能偏高。從工程分析經(jīng)驗(yàn)看，由于建立有限元模型的離散過程，已經(jīng)使結(jié)構(gòu)比實(shí)際結(jié)構(gòu)的剛度增大，因此采用集中質(zhì)量陣可能有時(shí)反而會(huì)得到誤差較小的結(jié)果，但這需要經(jīng)驗(yàn)和技巧。但采用集中質(zhì)量陣得到的振型一般誤差較大，對(duì)振型要求較高時(shí)，還是宜采用一致質(zhì)量陣。集中質(zhì)量陣是對(duì)角陣，在計(jì)算時(shí)可以節(jié)省計(jì)算時(shí)間。我們希望能獲得一種優(yōu)于

11、集中質(zhì)量陣的對(duì)角化質(zhì)量陣。例如，對(duì)于梁的彎曲振動(dòng)，可以按下式來計(jì)算對(duì)角化的非一致質(zhì)量陣的單元： （331）而非對(duì)角元全部置零，是梁的四個(gè)形函數(shù)。由于這種質(zhì)量矩陣在一定程度上反映了單元形函數(shù)的特性，因此可以給出精度較好的計(jì)算結(jié)果。33 典型結(jié)構(gòu)單元的有限元建模結(jié)構(gòu)有限元模型的自由度數(shù)節(jié)點(diǎn)數(shù)×節(jié)點(diǎn)位移數(shù)一、 縱向振動(dòng)桿元桿元的任意截面處位移由兩節(jié)點(diǎn)位移插值得到。 （332）應(yīng)滿足邊界條件： （333）桿元受節(jié)點(diǎn)力時(shí)的靜態(tài)方程為： （334）其解為： （335）代入邊界條件得到形函數(shù)： （336）從而桿元的質(zhì)量陣和剛度陣為： （337） （338）二、 彎曲振動(dòng)梁元梁元的任意截面處位移由兩

12、節(jié)點(diǎn)位移插值得到。（339）為梁元的節(jié)點(diǎn)位移。均勻梁元受常值節(jié)點(diǎn)力作用時(shí)的撓曲線偏微分方程為： （340）從而 （341）應(yīng)滿足邊界條件： （342）代入邊界條件得到： （343）代入位移表達(dá)式，整理后，得到形函數(shù)為： （344）形函數(shù)陣： （345）梁元的質(zhì)量陣和剛度陣為： （346） （447）上面給出的是平面梁元的特性矩陣，對(duì)于空間梁元特性矩陣形成過程完全相同?？梢詤⒖既魏我槐居邢拊胤ǚ矫娴膶Ｖ蚪滩?。這里不再贅述?！締卧淖鴺?biāo)變換陣】：單元局部坐標(biāo)與總體坐標(biāo)不一致時(shí)，需要進(jìn)行坐標(biāo)變換，記局部坐標(biāo)與總體坐標(biāo)之間夾角為，則局部坐標(biāo)下節(jié)點(diǎn)位移列陣與總體坐標(biāo)下位移列陣間的變換關(guān)系為： (34

13、8)則坐標(biāo)變換陣為： (349)三面內(nèi)振動(dòng)的平板元以三節(jié)點(diǎn)三角元為例，取三角元三個(gè)頂點(diǎn)的位移為單元廣義坐標(biāo)， （350）單元內(nèi)任一點(diǎn)的位移為：（351）三個(gè)形函數(shù)應(yīng)滿足邊界條件： （352）設(shè)滿足此條件的形函數(shù)為： （353）代入邊界條件可得到： （354） （355）為三角形單元的面積。由上式按下圖輪換下標(biāo)求得：（356a）幾何矩陣：（356） （357）對(duì)平面應(yīng)力問題： (358a) （358） （359）質(zhì)量陣和剛度矩陣為： （360）記板厚為，且由于都是常數(shù)矩陣，則 （361）的分塊形式為 （362）節(jié)點(diǎn)剛度陣（363）單元質(zhì)量陣（364）四彎曲振動(dòng)的平面板元仍采用三節(jié)點(diǎn)三角元，引入局

14、部坐標(biāo)系，原點(diǎn)在單元的1節(jié)點(diǎn)，軸沿單元的一條邊，軸垂直于單元平面，如圖所示。單元的三個(gè)節(jié)點(diǎn)共有九個(gè)節(jié)點(diǎn)位移條件，故設(shè)單元內(nèi)任意一點(diǎn)的離面垂直位移表達(dá)式為： （365）或 （366）其中 （367）（368）單元的節(jié)點(diǎn)位移邊界條件為： （369） （365）代入（369）式得到： （370） （371）顯然，各節(jié)點(diǎn)的離面位移垂直位移（撓度）、繞軸的轉(zhuǎn)角、繞軸的轉(zhuǎn)角，就是單元特性分析時(shí)所用的廣義坐標(biāo)。節(jié)點(diǎn)的位移列陣為： （372）從而有：， （373）因此，彎曲板元的形函數(shù)為： （374）按薄板彎曲問題的基本假定（直法線假定），板內(nèi)各點(diǎn)線位移為： （375）應(yīng)變列陣： （376） （377） （3

15、78）其中 （379）為微分算子列陣。記（380）則 （381）從而得到彎曲板元的幾何矩陣：（382）單元?jiǎng)偠汝?（383）（384）為彈性矩陣。單元質(zhì)量矩陣為： （385）（具體的計(jì)算結(jié)果略）積分后單元的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣表達(dá)式可參見有限元素法的專著。其它形式的單元的特性矩陣，均可按上述過程推導(dǎo)出。當(dāng)然，在實(shí)際結(jié)構(gòu)振動(dòng)有限元分析中，如果自己編程，不需要自行推導(dǎo)，可以查閱有關(guān)參考書籍。應(yīng)該承認(rèn)，在各種關(guān)于結(jié)構(gòu)有限元靜力分析書籍中，對(duì)有限元的介紹非常詳盡，也給出了各種高精度的單元形函數(shù)和剛度矩陣，但一般有限元素法的書籍中沒有給出單元質(zhì)量矩陣。如果采用商用有限元分析軟件，則在選擇單元類型時(shí)，要根據(jù)

16、具體結(jié)構(gòu)、對(duì)分析結(jié)果的精度要求以及網(wǎng)格劃分的情況，來選擇最合適的單元。這些問題在有限元著作中都有詳細(xì)論述，這里也不再贅述。34結(jié)構(gòu)振動(dòng)分析有限元建模中的幾個(gè)問題【阻尼矩陣的工程處理】在對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行振動(dòng)響應(yīng)分析時(shí)，必須計(jì)及阻尼的影響，然而由于實(shí)際結(jié)構(gòu)的阻尼特性比較復(fù)雜，即使我們可以借助瑞利粘性阻尼假設(shè)，得到帶粘性阻尼結(jié)構(gòu)的振動(dòng)方程（386）但是，結(jié)構(gòu)的阻尼特性分布參數(shù)無法從理論上確定，因而就無法用理論方法來計(jì)算矩陣中的元素。在工程振動(dòng)分析中，常常是采用瑞利比例阻尼假設(shè)，即假定阻尼陣是質(zhì)量陣和剛度陣的線性組合： （387）比例常數(shù)通過對(duì)結(jié)構(gòu)或類似結(jié)構(gòu)，進(jìn)行模態(tài)試驗(yàn)，測(cè)得其第階和第階模態(tài)頻率和阻尼比來

17、確定。理論上可以從下面方程解出：（388）一般是測(cè)定多階模態(tài)參數(shù)，通過最小二乘法求解出?！緞偠染仃嚻娈愋缘奶幚怼坑捎诓捎糜邢迒卧ǎㄟ^對(duì)各單元?jiǎng)偠染仃嚨难b配，得到的全結(jié)構(gòu)總體剛度陣一般是無約束結(jié)構(gòu)的剛度矩陣，它是奇異的，即不能求逆。因此需要按照結(jié)構(gòu)實(shí)際的約束邊界條件進(jìn)行處理，在對(duì)剛度矩陣進(jìn)行處理時(shí)，有四種方法：1 第一種方法：當(dāng)給定的邊界約束條件足以使結(jié)構(gòu)成為靜定或超靜定結(jié)構(gòu)時(shí)，只需在進(jìn)行全結(jié)構(gòu)的總剛度陣裝配時(shí)，抽掉剛度矩陣中對(duì)應(yīng)于結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)位移為零的行和列，即得到一個(gè)非奇異的降階的剛度矩陣，對(duì)質(zhì)量陣進(jìn)行相應(yīng)的處理。這樣處理的缺點(diǎn)是不能進(jìn)一步求出約束反力。2 第二種方法：用無限大或計(jì)算機(jī)允許的

18、最大數(shù)來代替剛度陣中對(duì)應(yīng)于零位移節(jié)點(diǎn)的主對(duì)角元素，從而使剛度陣成為非奇異的可逆矩陣，并使對(duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn)位移具有一個(gè)非常小、十分接近于零的解。這樣處理的缺點(diǎn)是未能利用邊界節(jié)點(diǎn)約束降低結(jié)構(gòu)矩陣階數(shù)而不能減小計(jì)算工作量。3 第三種方法：對(duì)剛度矩陣和質(zhì)量矩陣按節(jié)點(diǎn)位移是否為零進(jìn)行分塊，如對(duì)結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)方程 （389）為約束反力列陣，下表，分別代表自由節(jié)點(diǎn)和約束節(jié)點(diǎn)。將矩陣方程分塊展開得到： （390）解第一式的特征值問題得到及，再代入第二式得到約束反力。顯然由這樣的方法可以得到結(jié)構(gòu)的全部信息，但是增加了編程計(jì)算的難度。4 當(dāng)結(jié)構(gòu)屬于自由自由結(jié)構(gòu)，或結(jié)構(gòu)具有剛體運(yùn)動(dòng)模態(tài)時(shí)，我們不可能根據(jù)結(jié)構(gòu)的邊界約束條件

19、來消除剛度矩陣的奇異性，從而給特征值問題的求解帶來困難。為了消除剛度矩陣的奇異性，可以利用特征值問題的移軸特性，將剛度矩陣轉(zhuǎn)換成正定的矩陣。如下所示： （391）為一個(gè)任意的、適當(dāng)?shù)恼?shù)，上方程中是一個(gè)正定矩陣，可以按通常的方法求解，得到的頻率與原來結(jié)構(gòu)的固有頻率間具有關(guān)系： （392）而振型不變，就是由上方程解得的。值得注意的是，由于結(jié)構(gòu)具有個(gè)剛體模態(tài)，對(duì)應(yīng)的固有頻率為零，所以，上方程的解也包括個(gè)剛體模態(tài)，對(duì)應(yīng)著個(gè)重頻（這里用了二階小量符號(hào)，因?yàn)橐话銛?shù)值求解的結(jié)果不一定得到理論上的零），在求解時(shí)可以用“掃模法”將這個(gè)剛體模態(tài)掃去后再用一般的求解特征值方法（程序）求解。【自由度的靜力縮聚法】為了提高計(jì)算精度，在結(jié)構(gòu)的有限元建模時(shí)，對(duì)結(jié)構(gòu)可以采用網(wǎng)格細(xì)分的方法得到較精細(xì)的有限元網(wǎng)格；也可以采用較粗的網(wǎng)格劃分，而采用帶有內(nèi)節(jié)點(diǎn)的高階元素。在采用這種高階元素時(shí)，內(nèi)節(jié)點(diǎn)參數(shù)與單元間的位移連續(xù)條件是無關(guān)的，與單元本身以外的節(jié)點(diǎn)參數(shù)也沒有直接聯(lián)系。因此可以用某種方法在組成全結(jié)構(gòu)矩陣前，將其消去以減少結(jié)構(gòu)的總自由度數(shù)。還有一種情況，如對(duì)梁彎曲振動(dòng)問題進(jìn)行分析時(shí)，往往只保留節(jié)點(diǎn)橫向位移參數(shù)，而略去節(jié)點(diǎn)的轉(zhuǎn)角參數(shù)，也需要在組成全結(jié)構(gòu)的矩陣后，用節(jié)點(diǎn)橫向位移參數(shù)來表示節(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)角參數(shù)，從而達(dá)到特征值問題降階的目的。此外，許