特殊平行四邊形中的常見(jiàn)輔助線

1、特殊平行四邊形中的常見(jiàn)輔助線一、連結(jié)法1. (2014陜西,第9題3分)如圖，在菱形ABCD中，AB=5，對(duì)角線AC=6若過(guò)點(diǎn)A作AEBC，垂足為E，則AE的長(zhǎng)為（）A 4B C D52. （2015安徽, 第9題4分）如圖，矩形ABCD中，AB=8，BC=4點(diǎn)E在邊AB上，點(diǎn)F在邊CD上，點(diǎn)G、H在對(duì)角線AC上若四邊形EGFH是菱形，則AE的長(zhǎng)是（）A2B3C5D63.如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，M，N分別是AB，CD的中點(diǎn)，P是AD上的點(diǎn)，且PNB=3CBN（1）求證：PNM=2CBN；（2）求線段AP的長(zhǎng).（2015山東德州,第20題8分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形O

2、ABC的對(duì)角線OB，AC相交于點(diǎn)D，且BEAC，AEOB，（1）求證：四邊形AEBD是菱形；（2）如果OA=3，OC=2，求出經(jīng)過(guò)點(diǎn)E的反比例函數(shù)解析式考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題.分析：（1）先證明四邊形AEBD是平行四邊形，再由矩形的性質(zhì)得出DA=DB，即可證出四邊形AEBD是菱形；（2）連接DE，交AB于F，由菱形的性質(zhì)得出AB與DE互相垂直平分，求出EF、AF，得出點(diǎn)E的坐標(biāo)；設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)E的反比例函數(shù)解析式為：y=，把點(diǎn)E坐標(biāo)代入求出k的值即可解答：（1）證明：BEAC，AEOB，四邊形AEBD是平行四邊形，四邊形OABC是矩形，DA=AC，DB=OB，AC=OB，AB=OC=2，DA=DB，

3、四邊形AEBD是菱形；（2）解：連接DE，交AB于F，如圖所示：四邊形AEBD是菱形，AB與DE互相垂直平分，OA=3，OC=2，EF=DF=OA=，AF=AB=1，3+=，點(diǎn)E坐標(biāo)為：（，1），設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)E的反比例函數(shù)解析式為：y=，把點(diǎn)E（，1）代入得：k=，經(jīng)過(guò)點(diǎn)E的反比例函數(shù)解析式為：y=點(diǎn)評(píng)：本題是反比例函數(shù)綜合題目，考查了平行四邊形的判定、菱形的判定、矩形的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形特征以及反比例函數(shù)解析式的求法；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，特別是（2）中，需要作輔助線求出點(diǎn)E的坐標(biāo)才能得出結(jié)果5.（2015江蘇泰州，第25題12分）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為8cm，E、F、G、H分別是AB、

4、BC、CD、DA上的動(dòng)點(diǎn)，且AE=BF=CG=DH（1）求證：四邊形EFGH是正方形；（2）判斷直線EG是否經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，并說(shuō)明理由；（3）求四邊形EFGH面積的最小值考點(diǎn)：四邊形綜合題.分析：（1）由正方形的性質(zhì)得出A=B=C=D=90°，AB=BC=CD=DA，證出AH=BE=CF=DG，由SAS證明AEHBFECGFDHG，得出EH=FE=GF=GH，AEH=BFE，證出四邊形EFGH是菱形，再證出HEF=90°，即可得出結(jié)論；（2）連接AC、EG，交點(diǎn)為O；先證明AOECOG，得出OA=OC，證出O為對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn)，即O為正方形的中心；（3）設(shè)四邊形EFGH

5、面積為S，BE=xcm，則BF=（8x）cm，由勾股定理得出S=x2+（8x）2=2（x4）2+32，S是x的二次函數(shù)，容易得出四邊形EFGH面積的最小值解答：（1）證明：四邊形ABCD是正方形，A=B=C=D=90°，AB=BC=CD=DA，AE=BF=CG=DH，AH=BE=CF=DG，在AEH、BFE、CGF和DHG中，AEHBFECGFDHG（SAS），EH=FE=GF=GH，AEH=BFE，四邊形EFGH是菱形，BEF+BFE=90°，BEF+AEH=90°，HEF=90°，四邊形EFGH是正方形；（2）解：直線EG經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，這個(gè)定點(diǎn)為正方

6、形的中心（AC、BD的交點(diǎn)）；理由如下：連接AC、EG，交點(diǎn)為O；如圖所示：四邊形ABCD是正方形，ABCD，OAE=OCG，在AOE和COG中，AOECOG（AAS），OA=OC，即O為AC的中點(diǎn)，正方形的對(duì)角線互相平分，O為對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn)，即O為正方形的中心；（3）解：設(shè)四邊形EFGH面積為S，設(shè)BE=xcm，則BF=（8x）cm，根據(jù)勾股定理得：EF2=BE2+BF2=x2+（8x）2，S=x2+（8x）2=2（x4）2+32，20，S有最小值，當(dāng)x=4時(shí)，S的最小值=32，四邊形EFGH面積的最小值為32cm2點(diǎn)評(píng)：本題是四邊形綜合題目，考查了正方形的性質(zhì)與判定、菱形的判定、全

7、等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、二次函數(shù)的最值等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，特別是（2）（3）中，需要通過(guò)作輔助線證明三角形全等和運(yùn)用二次函數(shù)才能得出結(jié)果6.（12分）（2015內(nèi)蒙古赤峰25，12分）如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2，一個(gè)銳角等于60°的菱形紙片，小芳同學(xué)將一個(gè)三角形紙片的一個(gè)頂點(diǎn)與該菱形頂點(diǎn)D重合，按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)三角形紙片，使它的兩邊分別交CB、BA（或它們的延長(zhǎng)線）于點(diǎn)E、F，EDF=60°，當(dāng)CE=AF時(shí)，如圖1小芳同學(xué)得出的結(jié)論是DE=DF（1）繼續(xù)旋轉(zhuǎn)三角形紙片，當(dāng)CEAF時(shí)，如圖2小芳的結(jié)論是否成立？若成立，加以證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；

8、（2）再次旋轉(zhuǎn)三角形紙片，當(dāng)點(diǎn)E、F分別在CB、BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖3請(qǐng)直接寫(xiě)出DE與DF的數(shù)量關(guān)系；（3）連EF，若DEF的面積為y，CE=x，求y與x的關(guān)系式，并指出當(dāng)x為何值時(shí)，y有最小值，最小值是多少？考點(diǎn)：幾何變換綜合題分析：（1）如答圖1，連接BD根據(jù)題干條件首先證明ADF=BDE，然后證明ADFBDE（ASA），得DF=DE；（2）如答圖2，連接BD根據(jù)題干條件首先證明ADF=BDE，然后證明ADFBDE（ASA），得DF=DE；（3）根據(jù)（2）中的ADFBDE得到：SADF=SBDE，AF=BE所以DEF的面積轉(zhuǎn)化為：y=SBEF+SABD據(jù)此列出y關(guān)于x的二次函數(shù)，通過(guò)求二

9、次函數(shù)的最值來(lái)求y的最小值解答：解：（1）DF=DE理由如下：如答圖1，連接BD四邊形ABCD是菱形，AD=AB又A=60°，ABD是等邊三角形，AD=BD，ADB=60°，DBE=A=60°EDF=60°，ADF=BDE在ADF與BDE中，ADFBDE（ASA），DF=DE；（2）DF=DE理由如下：如答圖2，連接BD四邊形ABCD是菱形，AD=AB又A=60°，ABD是等邊三角形，AD=BD，ADB=60°，DBE=A=60°EDF=60°，ADF=BDE在ADF與BDE中，ADFBDE（ASA），DF=DE；

10、（3）由（2）知，ADFBDE則SADF=SBDE，AF=BE=x依題意得：y=SBEF+SABD=（2+x）xsin60°+×2×2sin60°=（x+1）2+即y=（x+1）2+0，該拋物線的開(kāi)口方向向上，當(dāng)x=0即點(diǎn)E、B重合時(shí)，y最小值=點(diǎn)評(píng)：本題考查了幾何變換綜合題，解題過(guò)程中，利用了三角形全等的判定與性質(zhì)，菱形的性質(zhì)以及等邊三角形的判定與性質(zhì)，對(duì)于促進(jìn)角與角（邊與邊）相互轉(zhuǎn)換，將未知角轉(zhuǎn)化為已知角（未知邊轉(zhuǎn)化為已知邊）是關(guān)鍵。二、中心對(duì)稱(chēng)法（倍長(zhǎng)法）1.（2014山東臨沂,第25題11分）【問(wèn)題情境】如圖1，四邊形ABCD是正方形，M是BC邊

11、上的一點(diǎn)，E是CD邊的中點(diǎn)，AE平分DAM【探究展示】（1）證明：AM=AD+MC；（2）AM=DE+BM是否成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由【拓展延伸】（3）若四邊形ABCD是長(zhǎng)與寬不相等的矩形，其他條件不變，如圖2，探究展示（1）、（2）中的結(jié)論是否成立？請(qǐng)分別作出判斷，不需要證明考點(diǎn)：四邊形綜合題；角平分線的定義；平行線的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；矩形的性質(zhì)；正方形的性質(zhì)專(zhuān)題：綜合題；探究型分析：（1）從平行線和中點(diǎn)這兩個(gè)條件出發(fā)，延長(zhǎng)AE、BC交于點(diǎn)N，如圖1（1），易證ADENCE，從而有AD=CN，只需證明AM=NM即可（2）作FAAE交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，易證A

12、M=FM，只需證明FB=DE即可；要證FB=DE，只需證明它們所在的兩個(gè)三角形全等即可（3）在圖2（1）中，仿照（1）中的證明思路即可證到AM=AD+MC仍然成立；在圖2（2）中，采用反證法，并仿照（2）中的證明思路即可證到AM=DE+BM不成立解答：（1）證明：延長(zhǎng)AE、BC交于點(diǎn)N，如圖1（1），四邊形ABCD是正方形，ADBCDAE=ENCAE平分DAM，DAE=MAEENC=MAEMA=MN在ADE和NCE中，ADENCE（AAS）AD=NCMA=MN=NC+MC=AD+MC（2）AM=DE+BM成立證明：過(guò)點(diǎn)A作AFAE，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，如圖1（2）所示四邊形ABCD是正方形，

13、BAD=D=ABC=90°，AB=AD，ABDCAFAE，F(xiàn)AE=90°FAB=90°BAE=DAE在ABF和ADE中，ABFADE（ASA）BF=DE，F(xiàn)=AEDABDC，AED=BAEFAB=EAD=EAM，AED=BAE=BAM+EAM=BAM+FAB=FAMF=FAMAM=FMAM=FB+BM=DE+BM（3）結(jié)論AM=AD+MC仍然成立證明：延長(zhǎng)AE、BC交于點(diǎn)P，如圖2（1），四邊形ABCD是矩形，ADBCDAE=EPCAE平分DAM，DAE=MAEEPC=MAEMA=MP在ADE和PCE中，ADEPCE（AAS）AD=PCMA=MP=PC+MC=AD

14、+MC結(jié)論AM=DE+BM不成立證明：假設(shè)AM=DE+BM成立過(guò)點(diǎn)A作AQAE，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，如圖2（2）所示四邊形ABCD是矩形，BAD=D=ABC=90°，ABDCAQAE，QAE=90°QAB=90°BAE=DAEQ=90°QAB=90°DAE=AEDABDC，AED=BAEQAB=EAD=EAM，AED=BAE=BAM+EAM=BAM+QAB=QAMQ=QAMAM=QMAM=QB+BMAM=DE+BM，QB=DE在ABQ和ADE中，ABQADE（AAS）AB=AD與條件“ABAD“矛盾，故假設(shè)不成立AM=DE+BM不成立2.（2

15、014黑龍江綏化,第26題9分）在菱形ABCD和正三角形BGF中，ABC=60°，P是DF的中點(diǎn)，連接PG、PC（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)G在BC邊上時(shí)，易證：PG=PC如圖2，當(dāng)點(diǎn)F在AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，線段PC、PG有怎樣的數(shù)量關(guān)系，寫(xiě)出你的猜想，并給與證明；（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)F在CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，線段PC、PG又有怎樣的數(shù)量關(guān)系，寫(xiě)出你的猜想（不必證明）考點(diǎn)：四邊形綜合題分析：（1）延長(zhǎng)GP交DC于點(diǎn)E，利用PEDPGF，得出PE=PG，DE=FG，得到CE=CG，CP是EG的中垂線，在RTCPG中，PCG=60°，所以PG=PC（2）延長(zhǎng)GP交DA于點(diǎn)E，連接EC，GC，先證

16、明DPEFPG，再證得CDECBG，利用在RTCPG中，PCG=60°，所以PG=PC（3）延長(zhǎng)GP到H，使PH=PG，連接CH、DH，作MEDC，先證GFPHDP，再證得HDCGBC，在在RTCPG中，PCG=60°，所以PG=PC解答：（1）提示：如圖1：延長(zhǎng)GP交DC于點(diǎn)E，利用PEDPGF，得出PE=PG，DE=FG，CE=CG，CP是EG的中垂線，在RTCPG中，PCG=60°，PG=PC（2）如圖2，延長(zhǎng)GP交DA于點(diǎn)E，連接EC，GC，ABC=60°，BGF正三角形GFBCAD，EDP=GFP，在DPE和FPG中DPEFPG（ASA）PE=

17、PG，DE=FG=BG，CDE=CBG=60°，CD=CB，在CDE和CBG中，CDECBG（SAS）CE=CG，DCE=BCG，ECG=DCB=120°，PE=PG，CPPG，PCG=ECG=60°PG=PC（3）猜想：PG=PC證明：如圖3，延長(zhǎng)GP到H，使PH=PG，連接CH，CG，DH，作MEDCP是線段DF的中點(diǎn)，F(xiàn)P=DP，GPF=HPD，GFPHDP，GF=HD，GFP=HDP，GFP+PFE=120°，PFE=PDC，CDH=HDP+PDC=120°，四邊形ABCD是菱形，CD=CB，ADC=ABC=60°，點(diǎn)A、B、

18、G又在一條直線上，GBC=120°，四邊形BEFG是菱形，GF=GB，HD=GB，HDCGBC，CH=CG，DCH=BCG，DCH+HCB=BCG+HCB=120°，即HCG=120°CH=CG，PH=PG，PGPC，GCP=HCP=60°，PG=PC點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了菱形的性質(zhì)，以及全等三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)已知和所求的條件正確的構(gòu)建出相關(guān)的全等三角形是解題的關(guān)鍵_A_C_D_M_E_B3.如圖，在ABCD中,點(diǎn)M為邊AD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作AB的垂線交AB于點(diǎn)E，連接ME.（1）若AM=2AE=4，BCE=30°,求ABCD的面積；（2）

19、若BC=2AB，求證：EMD=3MEA.解：(1) M為AD的中點(diǎn)，AM=2AE=4，_A_C_D_M_E_B_N AD=2AM=8 . 在中, BC=CD=8，又CHDE， BEC=90°,BCE=30°,BE=BC=4，AB=6，CE=,. （2）延長(zhǎng)EM,CD交于點(diǎn)N,連接CM.在中, , AEM=N,三、旋轉(zhuǎn)法1.（2014浙江紹興,第23題6分）（1）如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，EAF=45°，延長(zhǎng)CD到點(diǎn)G，使DG=BE，連結(jié)EF，AG求證：EF=FG（2）如圖，等腰直角三角形ABC中，BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)

20、M，N在邊BC上，且MAN=45°，若BM=1，CN=3，求MN的長(zhǎng)考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)專(zhuān)題：證明題分析：（1）證ADGABE，F(xiàn)AEGAF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求出即可；（2）過(guò)點(diǎn)C作CEBC，垂足為點(diǎn)C，截取CE，使CE=BM連接AE、EN通過(guò)證明ABMACE（SAS）推知全等三角形的對(duì)應(yīng)邊AM=AE、對(duì)應(yīng)角BAM=CAE；然后由等腰直角三角形的性質(zhì)和MAN=45°得到MAN=EAN=45°，所以MANEAN（SAS），故全等三角形的對(duì)應(yīng)邊MN=EN；最后由勾股定理得到EN2=EC2+NC2即MN2=BM2+NC2解答：（1）證明：在正方

21、形ABCD中，ABE=ADG，AD=AB，在ABE和ADG中，ABEADG（SAS），BAE=DAG，AE=AG，EAG=90°，在FAE和GAF中，F(xiàn)AEGAF（SAS），EF=FG（2）解：如圖2，過(guò)點(diǎn)C作CEBC，垂足為點(diǎn)C，截取CE，使CE=BM連接AE、ENAB=AC，BAC=90°，B=C=45°CEBC，ACE=B=45°在ABM和ACE中，ABMACE（SAS）AM=AE，BAM=CAEBAC=90°，MAN=45°，BAM+CAN=45°于是，由BAM=CAE，得MAN=EAN=45°在MAN和E

22、AN中，MANEAN（SAS）MN=EN在RtENC中，由勾股定理，得EN2=EC2+NC2MN2=BM2+NC2BM=1，CN=3，MN2=12+32，MN=點(diǎn)評(píng)：本題主要考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理的綜合應(yīng)用2.（2015湖北十堰，第10題3分）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)E、F分別在AB，AD上，若CE=3，且ECF=45°，則CF的長(zhǎng)為（）A2B3CD考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；正方形的性質(zhì)分析：首先延長(zhǎng)FD到G，使DG=BE，利用正方形的性質(zhì)得B=CDF=CDG=90°，CB=CD；利用SAS定理得BCEDCG，利用全等三角形的性質(zhì)易得GCFECF，利用勾股定理可得AE=3，設(shè)AF=x，利用GF=EF，解得x，利用勾股定理可得CF解答：解：如圖，延長(zhǎng)FD到G，使DG=BE；連接CG、EF；四邊形ABCD為正方形，在BCE