高一數(shù)學(xué)平面向量數(shù)量積及運(yùn)算律、坐標(biāo)表示與圖形平移通用版

1、高一數(shù)學(xué)平面向量數(shù)量積及運(yùn)算律、坐標(biāo)表示與圖形平移通用版【本講主要內(nèi)容】 平面向量數(shù)量積及運(yùn)算律、坐標(biāo)表示與圖形平移【知識(shí)掌握】【知識(shí)點(diǎn)精析】 1. 數(shù)量積的概念 2. 數(shù)量積的重要性質(zhì) 設(shè)a，b都是非零向量，e是單位向量，是a與e的夾角，根據(jù)定義可推得如下性質(zhì)。 （1）e·a=a·e=acos （2）當(dāng)a與b同向時(shí)，a·b|a|b| 當(dāng)a與b反向時(shí)，a·b=|a|b| （3）當(dāng)ab時(shí)，a·b=0；反之也成立，即 （4） （5） 3. 向量數(shù)量積的運(yùn)算律交換律與實(shí)數(shù)相乘的結(jié)合律分配律 注意：向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律。 4. 向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示

2、 設(shè)數(shù)量積的坐標(biāo)表示兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)乘積之和，即向量模公式兩點(diǎn)間距離公式若向量的夾角公式 5. 向量垂直的充要條件 設(shè)a與b均是非零向量。向量式坐標(biāo)式 6. 圖形的平移定義設(shè)F是坐標(biāo)平面內(nèi)一個(gè)圖形，將F上所有點(diǎn)按照同一方向移動(dòng)同樣長度，得到圖形F，這一過程叫做圖形的平移。點(diǎn)的平移變換公式點(diǎn)P（x，y）按向量平移到其中（h，k）叫做平移向量【解題方法指導(dǎo)】 1. 數(shù)量積公式的應(yīng)用 例1. 已知是夾角為60°的單位向量，且，求及a與b的夾角。 分析：由于與均為單位向量，且夾角已知，故可求得與的數(shù)量積，進(jìn)而可求得，再利用模的公式求與，代入夾角余弦公式，可求a與b的夾角 解：

3、均為單位向量，且夾角為 于是 2. 平面向量數(shù)量積坐標(biāo)表示及應(yīng)用 例2. 平面內(nèi)三點(diǎn)A、B、C在一條直線上，且，求實(shí)數(shù)m，n的值。 分析：因?yàn)锳、B、C三點(diǎn)共線，可由向量共線的充分條件得到關(guān)于m，n的一個(gè)關(guān)系式；又因?yàn)橄蛄?，再由向量垂直的充要條件，得到關(guān)于m，n的第二個(gè)關(guān)系式。對(duì)這兩個(gè)關(guān)系式聯(lián)立求解即可。 解： 故有 二式相除，消去，得： （1） 又 即（2） 由（2）得，代入（1），得： 解得 相應(yīng)的 說明：上面解法中，式（1）可由向量共線的坐標(biāo)表達(dá)式求得，因?yàn)?，共線，所以，同樣可以得到。 例3. 平面內(nèi)有向量，點(diǎn)X為直線OP上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)。 （1）當(dāng)取最小值時(shí)，求的坐標(biāo)； （2）當(dāng)點(diǎn)X滿足（

4、1）的條件和結(jié)論時(shí)，求的值。 分析：因?yàn)辄c(diǎn)X在直線OP上，向量與共線，可以得到關(guān)于坐標(biāo)的一個(gè)關(guān)系式；再根據(jù)的最小值，求得，而cosAXB是向量與夾角的余弦，利用數(shù)量積的知識(shí)容易解決。 解：（1）設(shè) 同樣 于是 由二次函數(shù)的知識(shí)，可知當(dāng)時(shí)， 有最小值，此時(shí) （2）當(dāng)即時(shí)，有 說明：由于X是OP上的動(dòng)點(diǎn)，則向量，均是不確定的，它們的模和方向均是變化的，于是它們的數(shù)量積也處在不確定的狀態(tài)，這個(gè)數(shù)量積由與的模與及它們的夾角三個(gè)要素同時(shí)決定，由解題過程即可以看出它們都是變量y的函數(shù)。另外，求出與的坐標(biāo)后，可直接用坐標(biāo)公式求這兩個(gè)向量夾角的余弦值。 3. 圖形平移 例4. 已知拋物線。 （1）求拋物線頂點(diǎn)

5、的坐標(biāo)； （2）求將這條拋物線平移到頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合時(shí)的函數(shù)解析式。 解：（1）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)O的坐標(biāo)為（h，k），那么 即這條拋物線的頂點(diǎn)O的坐標(biāo)為（-2，3） （2）將拋物線平移，使點(diǎn)O（-2，3）與點(diǎn)O（0，0）重合，這種圖形的變換可以看作是將其按向量平移得到的。 設(shè)的坐標(biāo)為（m，n），那么 設(shè)是拋物線上的任意一點(diǎn)，平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為： 由平移公式得： 將它代入，得到 整理得 即當(dāng)將原拋物線平移到使其頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合時(shí)，其函數(shù)解析式為。 我們看到，通過這種平移變換，可以使相應(yīng)的函數(shù)解析式得到化簡 想一想：如果將拋物線y=x2+4x+7看作是從其頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)的位置平移過去的，怎樣求得原

6、拋物線的函數(shù)解析式？【考點(diǎn)突破】【考點(diǎn)指要】 1. 平面向量的數(shù)量積及坐標(biāo)運(yùn)算是高考的重點(diǎn)，要求掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義，了解用平面向量的數(shù)量積可以處理有關(guān)長度角度和垂直的問題，掌握向量的垂直條件。 2. 分析使用新教材多年的省市高考試題，出現(xiàn)數(shù)量積的頻率很高，是年年高考必考內(nèi)容，考題形式為選擇題、填空題和解答題均有可能，難度為中等、容易題。 3. 能力考查上，主要考查運(yùn)算能力和靈活運(yùn)用知識(shí)的能力?！镜湫屠}分析】 例1. 若取兩個(gè)互相垂直的單位向量i，j為基底，且已知a=3i+2j，b=i-3j，則5a與3b的數(shù)量積等于（ ） A. 45B. 45C. 1D. 1 答：A 例2. 把

7、點(diǎn)A（2，1）按向量平移到B，此時(shí)點(diǎn)B分向量（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的比為-2，則C點(diǎn)的坐標(biāo)為_。 答：（0，2） 例3. （1）已知，求與的夾角； （2）設(shè)，在上是否存在點(diǎn)M，使，若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由。 解：（1） （2）設(shè)存在點(diǎn)M，且 例4. 在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)和點(diǎn)，其中。若向量垂直，求x的值。 解：由，得 利用 化簡后得 于是 【達(dá)標(biāo)測試】一. 選擇題 1. 已知與垂直，則與的夾角是（ ） A. 60°B. 30°C. 135°D. 45° 2. 已知與之間的夾角為，那么向量的模為（ ） A. 2B. C. 6D. 12 3.

8、已知，則在方向上的投影為（ ） A. B. C. D. 4. 給定兩個(gè)向量，則x等于（ ） A. 23B. C. D. 5. 將點(diǎn)按向量平移，對(duì)應(yīng)點(diǎn)，則等于（ ） A. （2，5）B. （4，3） C. （4，5）D. （5，4） 6. 將函數(shù)的圖象F按向量平移后得的圖象，則等于（ ） A. B. C. D. 7. 將函數(shù)的圖象按向量平移得到的圖象的函數(shù)為，則等于（ ） A. B. C. D. 二. 填空題 8. 已知向量的夾角為，則_。 9. 已知的夾角均為60°，且，則_。 10. 已知的坐標(biāo)為_。 11. 已知的夾角為，則k的值為_。 12. 已知，求滿足條件的向量_。 13.

9、 按向量把點(diǎn)平移后得到，按此平移法，則點(diǎn)應(yīng)平移到_。 14. 將一拋物線F按平移后，得到拋物線F的函數(shù)解析式為，則F的解析式為_。 15. 若在直線上有兩點(diǎn)和，如果按向量平移后，A點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則B點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為_。三. 解答題 16. 已知，（1）若，求；（2）若的夾角為60°，求；（3）若與垂直，求與的夾角。 17. 四邊形ABCD中 （1）若，求x與y間的關(guān)系式； （2）滿足（1）問的同時(shí)又有，求x，y的值及四邊形ABCD的面積?！揪C合測試】一. 選擇題 1. 已知，則m與n的夾角等于（ ） A. 150°B. 120°C. 60°D. 30

10、° 2. 若，則等于（ ） A. B. 55 C. 15D. 205 3. 若，且a與b的夾角為鈍角，則的取值范圍為（ ） A. B. C. D. 4. 平面內(nèi)有，則一定是（ ） A. 鈍角三角形B. 直角三角形 C. 等腰三角形D. 等邊三角形 5. 在ABC中，若ABC為直角三角形，則k的值為（ ） A. B. C. D. 二. 填空題 6. 若，則a在b方向上的投影為_，b在a方向上的投影為_。 7. 與共線的單位向量是_，與垂直的單位向量是_。 8. 若，且，則x的坐標(biāo)為_。 9. 已知。若，則x=_；若，則x=_。 10. 將函數(shù)的圖象按向量a平移后，得到函數(shù)的圖象，則a的

11、坐標(biāo)為_。三. 解答題 11. 已知平面內(nèi)三個(gè)已知點(diǎn)A（1，7），B（0，0），C（8，3），D為線段BC上的一點(diǎn)，且，求點(diǎn)D的坐標(biāo)。 12. 設(shè)，且，求。 13. 已知。 （1）求； （2）若x與y的夾角為，求的值。 14. 已知，求x和y的值。 15. 已知銳角三角形ABC的外接圓的圓心為O，M為BC邊的中點(diǎn)，由頂點(diǎn)A作，并在AD上取一點(diǎn)H，使AH=2OM，又H，M在直線BC的同一側(cè)，且。 （1）用a，b，c表示； （2）證明。【達(dá)標(biāo)測試答案】一. 選擇題 1. D2. B3. C4. C 5. C6. D7. C二. 填空題 8. 9. 11 10. 或 11. 12. （2，-3） 1

12、3. （0，-6）14. 15. 三. 解答題 16. （1）（2）（3）45° 17. （1） （2）【綜合測試答案】一. 選擇題 1. A 2. C 解析： 于是 3. A 解析：a與b的夾角為為鈍角時(shí) 即而 由 4. D 解析： 設(shè)的夾角為，則有 同理可證的夾角也是120° 由平面幾何知識(shí)可知P1P2P3是等邊三角形。 5. D 解析：分三種情況。 當(dāng)A=90°時(shí)，有 解得 當(dāng)時(shí)， 有 解得 當(dāng)C=90°時(shí)， 有 解得 二. 填空題 6. 解析：a在b方向上的投影為 而 又 對(duì)a與b的夾角，有 而b在a方向上的投影為 利用上面的結(jié)果可求得 7. 解析：與a共線的單位向量為，與a垂直的單位向量是。 設(shè)與a垂直的向量為，則 8. 解析： 設(shè)，則 （1） 又 （2） 由（1）與（2）解得： 9. 解析：當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 有 當(dāng)時(shí)， 有 10. 解析： 由平移得式 得 代入到原函數(shù)式，得 即