高等數(shù)學樣板教案

1、 高等數(shù)學樣板教案授課次序08教 學 基 本 指 標教學課題一般周期函數(shù)的傅立葉級數(shù)課的類型新知識課教學方法講授教學手段演示教學重點定義在和上的函數(shù)展開為傅里葉級數(shù)，并能將函數(shù)展開為正弦或余弦級數(shù)。教學難點同重點參考教材武漢大學與同濟大學編微積分學習指導安玉偉等編高等數(shù)學定理 方法 問題作業(yè)布置微積分標準化作業(yè)大綱要求能在相應定義上將函數(shù)展成為傅里葉級數(shù)以及正弦或余弦級數(shù)。雙語教學傅立葉展開式：the outspread formula of Fourier教 學 基 本 內 容第八節(jié)一般周期函數(shù)的傅立葉級數(shù)一、以2L為周期的傅氏級數(shù) 代入傅氏級數(shù)中 則有 則有 證明 二、典型例題例1 設是周

2、期為4的周期函數(shù),它在上的表達式為, 將其展成傅氏級數(shù).解 例2 將函數(shù)展開成傅氏級數(shù).解 另解 三、奇函數(shù)和偶函數(shù)的傅里葉級數(shù)一般說來,一個函數(shù)的傅里葉級數(shù)既含有正弦項,又含有余弦項.但是,也有一些函數(shù)的傅里葉級數(shù)只含有正弦項或者只含有常數(shù)項和余弦項.定理(1)當周期為的奇函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)時,它的傅里葉系數(shù)為 (2)當周期為的偶函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)時,它的傅里葉系數(shù)為證 同理可證(2)定理證畢.定義：如果為奇函數(shù),傅氏級數(shù)稱為正弦級數(shù).如果為偶函數(shù), 傅氏級數(shù)稱為余弦級數(shù).例1 設是周期為的周期函數(shù),它在上的表達式為,將展開成傅氏級數(shù).解 所給函數(shù)滿足狄利克雷充分條件. 例2 將周期函數(shù)

3、展開成傅氏級數(shù),其中是正常數(shù).解 所給函數(shù)滿足狄利克雷充分條件, 在整個數(shù)軸上連續(xù). 四、函數(shù)展開成正弦級數(shù)或余弦級數(shù)非周期函數(shù)的周期性開拓 則有如下兩種情況奇延拓: 偶延拓: 例3 將函數(shù)分別展開成正弦級數(shù)和余弦級數(shù).解 (1)求正弦級數(shù). (2)求余弦級數(shù). 設周期為的五、小結1.會求以2l為周期的傅氏系數(shù);2.利用變量代換求傅氏展開式;3.奇函數(shù)和偶函數(shù)的傅氏系數(shù);正弦級數(shù)與余弦級數(shù);非周期函數(shù)的周期性延拓;4.需澄清的幾個問題.(誤認為以下三情況正確)a.只有周期函數(shù)才能展成傅氏級數(shù);練 習 題一、設是周期為的周期函數(shù),它在上的表達式為.二、 函數(shù)分別展開成正弦級數(shù)和余弦級數(shù) .三、 以為周期的函數(shù)在內展開成傅里葉級數(shù),并求級數(shù)的和 .證明:當時,四、 周期為的周期函數(shù)在一個周期內的表達式 為,試將