高二數(shù)學空間向量的坐標運算知識精講 人教版

1、高二數(shù)學空間向量的坐標運算知識精講一. 本周教學內(nèi)容:空間向量的坐標運算教學目標理解空間直角坐標系;掌握空間向量的坐標運算;掌握空間向量平行、垂直的充要條件及向量的坐標與點的坐標的關系;掌握夾角和距離公式。二. 重點、難點:重點:用坐標運算求數(shù)量積及夾角。難點:會用空間向量處理一些空間線面關系;法向量的應用。知識點1. 坐標運算規(guī)則:設,a a a a b b b b =(123123 則,a b a b a b a b +=+(112233 a b a b a b a b -=-(112233, a a a a R =(123, a b a b a b a b =+²112233

2、a b a b a b a b a b =112233a b a b a b a b +=1122330若,A x y z B x y z (111222則,AB O B O A x x y y z z =-=-(2121212. 夾角距離公式若,a a a a b b b b =(123123則,cos <>=+a b a b a b a b a a ab b b112233122232122232d x x y y z z AB =-+-+-(212212212A x y zB x y z (111222,例1. 已知,為一基底,判斷是(e e e e e e 12311223

3、30+=1222321230+=的什么條件、(?R解:、不共面e e e 123= 1222320+=+=1122330e e e是充要條件。例2. 判斷下列命題是否成立。(若與共線,與共線,則與共線;1a b b c a c (、共面,則它們所在直線也共面;2a b c (若、共線則存在唯一,使3a b R b a = 解:(當為零向量時,錯1b (2錯(當時,不唯一時300a b =(例3. 已知,、,、,三點A B C (+-+-11322339 共線,求與的值解:存在使k R AB k AC=00,(-=-=-1123226113k -1=-=10 332-=-且 0= =0例4. 求

4、ABC 所在平面的單位法向量,其中A (-1,-1,0、B (1,1,1、C (3,4,3解:,AB AC =(221453設,n x y =(1則由²²n AB n AC x y x y =+=+=022104530 ,n =-(1211于是單位法向量為±±,=±,n n =-|(231211132323例5. 如圖,平行六面體,設,ABCD A B C D AB a AD b AA 11111= c a b c BAD BAA D AA =,已知,且°|5326011 (若,求,的值;11BD x a y b z c x y z

5、R x y z =+( (求;21|AC (求與所成的角311AC B C解:(111BD BA AD D D =+=-+a b c,x y z =-=111(21212|(AC AB BC C C =+=+|(AB BC CC AB BC BC CC AB CC 2212112²²²=+-25942312321252125(³³³³³³=497|1=AC 7|31=AC (|B C B B BC 1212=+=+|B B BC B B BC 12212²=+94232120³

6、9;³°cos =7,²cos |<>=A C B C A C B CA CBC 111111=+17711(AB BC C C B B BC ²= =15987 與所成角為A C B C arc 1115987cos例6. 已知向量在、軸上的射影分別為,若的起點為a x y z a -321(412,求的終點的坐標-a 解:,a =-(321 設,且,a AB B x y z =(,(321412-=-+-x y z 即x y z x y z -=+=-=-=431221711 B (7,1,1例7. 已知空間向量,且,a b c a b

7、c a b +=031| |c =4(求²²²1a b b c c a +(求²2a b 解:(由1002a b c a b c +=+=(+=|(a b c a b b c c a 22220²²² ²²²a b b c c a +=-13(由(知²²²21132a b c a b a b c +=-=-(| ²a b =-+=13432例8. 已知非零向量,且與不共線,對,作a b a b R c a b =+ (證明:使最小的向量垂直于;I |c c

8、 a (求當,時,使最小的II a b c c =-=-(|122111 證明:(由²²I c c c a b a a b b =+=+|(|222222 知當²²,最小,此時:=-=-2222a b a a ba c | c a ab a a b a a b a =+=-+=²²²²²(|220 c a (II 略1. 設A (3,3,1、B (1,0,5、C (0,1,0,則AB 的中點M 到C 點的距離為( A.534 B.532C. 532D.1322. 已知向量a 的橫坐標為0,則向量a ( A

9、. 與xOy 平面平行 B. 與xOz 平面平行C. 與 x 軸平行 D. 與 x 軸垂直 3. 已知平面內(nèi)的三個點 A（2，0，0） 、B（0，2，0） 、C（0，0，2） ，則平面的一個法向 量是（ ） A. （1，1，1） B. （1，1，1） C. （1，1，1） D. （1，1，1） 4. 已知 a = (cos ，1， sin ，b = (sin ，1， cos ， 則向量 ab 與 ab 的夾角是 _。 5. 已知 a = 4e1 + 3e2 e3 ，b = 5e1 4e2 + 2e3 ，其中 e1 ，e2 ，e3 是一組正交單位基底， 則 a 與 b 夾角的余弦值為_。 6.

10、已知ABC 的頂點 A（1，0，1） 、B（2，2，2） 、C（0，2，3） ，試求ABC 的面積。 7. 已知 A（2，0，6） 、B（3，1，12） 、C（0，3，7） 、D（5，2，13） ，求證：A、B、C、 D 四點共面。 8. 已知 M、N、P 分別是正方體 ABCDA1B1C1D1 的棱 CC1、BC、CD 的中點，求證：A1P平面 DMN。 用心 愛心 專心 119 號編輯 6 = = 3 6 29 · 2 54 29 2 7. 證明： AB = ( 3，1，12 ( 2 ， 0， 6 = (5，1， 6 AC = (0， 3， 7 ( 2 ， 0， 6 = (2 ，

11、 3，1 AD = (5， 2 ，13 ( 2 ， 0， 6 = (7 ， 2 ， 7 由 AD = x AB + y AC 得 (7 ， 2 ， 7 = x (5，1， 6 + y (2 ， 3，1 5x + 2 y = 7 x 3y = 2 6 x + y = 7 解之得 x = 1，y = 1 向量 AD 、 AB 、 AC 共面。 A、B、C、D 四點共面。 8. 建立如圖所示的空間直角坐標系，設正方體的棱長為 2，則 D（0，0，0） 1（2，0，2） 、A 、 P（0，1，0） 、M（0，2，1） 、N（1，2，0） 向量 A1 P = ( 0，1， 0 ( 2 ， 0， 2 = ( 2 ，1， 2 DN = (1， 2 ， 0 ， DM = (0， 2 ，1 A1 P · DM = ( 2 ，1， 2 · ( 0， 2 ，1 = ( 2 × 0 + 1× 2 + ( 2 ×1 = 0 A1