第八章線性空間

1、 線性空間當(dāng)代及古典代數(shù)學(xué)是一門研究運(yùn)算和運(yùn)算規(guī)則的學(xué)科它致力于具有更一般本性之元素上各種運(yùn)算諸性質(zhì)的研究運(yùn)算所反映的是數(shù)學(xué)對象之間的一種多對一的對應(yīng)關(guān)系，它給集合中原本松散堆集的元素中的任意兩個之間帶來了“千絲萬縷”的聯(lián)系，運(yùn)算是使集合產(chǎn)生數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的原因，運(yùn)算性質(zhì)的不同決定著這種結(jié)構(gòu)的不同而線性空間就是針對線性運(yùn)算的研究在代數(shù)、幾何、數(shù)學(xué)分析等不同的數(shù)學(xué)領(lǐng)域內(nèi)的許多數(shù)學(xué)對象具有加法和數(shù)乘運(yùn)算（比如多項(xiàng)式、矩陣、幾何向量等等），這兩種運(yùn)算是數(shù)學(xué)中最基本、最普遍的兩種運(yùn)算盡管這些運(yùn)算的對象不同、具體的運(yùn)算方式不同，但是從純數(shù)學(xué)的角度看它們卻有著共性抽取它們中所包含的共同的數(shù)學(xué)內(nèi)容進(jìn)行抽象研究就形

2、成了線性空間的概念，這種研究方法更具概括性和普遍意義，能更深刻、更本質(zhì)地反映事物的規(guī)律，可以大大提高研究效率同時應(yīng)該清楚，這種研究方法抓住了不同事物的共性而拋棄了具體對象的個性，因此與各具體對象的個性相關(guān)的內(nèi)容在這種研究方法中無法得到體現(xiàn)這是一個研究角度問題1 向量的線性關(guān)系一、向量線性相關(guān)性線性相關(guān)性是線性代數(shù)的靈魂，旨在整理、刻畫在線性運(yùn)算下向量之間的聯(lián)系規(guī)律，是實(shí)現(xiàn)“以有限把握無限”的工具主要由線性表出（等價）、線性相關(guān)（無關(guān)）、極大無關(guān)組等知識構(gòu)成對這部分知識的理解應(yīng)注重其機(jī)理的把握1當(dāng)向量可以由向量組線性表出時，應(yīng)從下兩個方面加以理解：向量可以由向量組進(jìn)行表達(dá)和把握；向量的作用可以由

3、向量組來取代于是，當(dāng)兩個向量組與等價時，就有：與可以互相進(jìn)行表達(dá)和把握；向量組和具有相同的數(shù)學(xué)功能2當(dāng)向量組（）線性相關(guān)時，其中必有一個向量可以由其余向量線性表出從以上理解角度來看，的作用可以由其余向量來取代于是，在向量組中剔除后所得到的更為“簡潔”的向量組（少了一個向量）與原向量組的數(shù)學(xué)功能相同，這說明在向量組中是相對多余的從這個意義上講，線性相關(guān)的向量組中有這種相對多余的向量，而線性無關(guān)的向量組中就沒有這種相對多余的向量，所以線性相關(guān)（線性無關(guān)）的實(shí)質(zhì)是對向量組是否達(dá)到“最簡”的一個刻畫3從上述角度來理解，向量組的極大無關(guān)組就是該向量組中的一個“最簡潔的部分組”，即：與原向量組有相同的數(shù)學(xué)

4、功能但含向量最少的一個部分組一般地，線性空間有無窮多個向量（除了零線性空間）由線性空間中有限個非零向量作線性組合可以得到線性空間中的無窮多個向量，于是,自然就會考慮到這樣一個問題：能否利用線性空間中有限個向量通過線性組合將整個空間中的所有向量表達(dá)出？此問題的意義是顯而易見的，因?yàn)槿裟軌蛴糜邢迋€向量通過線性組合將空間中的所有向量表達(dá)出來，就可以通過這有限個向量來控制整個空間，這對于線性空間的研究將十分有利遺憾的是這不總能做到！盡管如此，這一思考將線性空間分為有限維和無限維兩大類，而高等代數(shù)課本中著重討論的有限維線性空間就是這一類能“以有限把握無限”的線性空間正是這種以有限把握無限的方法探明了有限

5、維線性空間的結(jié)構(gòu)和分類對有限維線性空間來說，用來控制整個空間的這有限個向量應(yīng)如何篩選是首先要考慮的問題我們自然希望這有限個向量應(yīng)盡可能地少，而線性相關(guān)、線性無關(guān)正是這里的篩選工具線性空間的一組基就是一組能將空間中所有向量線性表出的、最簡潔的（含向量數(shù)目最少）一個向量組統(tǒng)觀上述整個思維框架，線性表出（等價）、線性相關(guān)（無關(guān)）、極大無關(guān)組等知識在其中扮演的角色，所起的作用就顯現(xiàn)出來了基、坐標(biāo)和維數(shù)就是在此基礎(chǔ)上建立起來的重要概念基的作用主要體現(xiàn)在兩個方面：以有限個向量控制整個空間中的向量；建立數(shù)域上的抽象線性空間與線性空間之間的一一對應(yīng)關(guān)系這就是向量的坐標(biāo)向量與其坐標(biāo)之間不僅是一一對應(yīng)的，更為重要

6、的是這種對應(yīng)還保持運(yùn)算有了這樣的聯(lián)系，中向量之間的運(yùn)算和關(guān)系就可以轉(zhuǎn)化為它們坐標(biāo)之間的運(yùn)算和關(guān)系，這樣就可以通過研究元數(shù)組達(dá)到研究向量的目的中的向量和運(yùn)算都是抽象的，而中的向量和運(yùn)算都是具體的，所以這樣的轉(zhuǎn)化不僅大大增加了問題的清晰度，同時也增加了問題的可操作性基的上述兩個作用都是建立在用基將向量線性表出的基礎(chǔ)上的從這個意義上講，應(yīng)該把“用基線性表出向量時的難易”作為衡量一組基“好壞”的標(biāo)準(zhǔn)，即：把是否容易求得一向量在此基下的坐標(biāo)作為衡量基“好壞”的標(biāo)準(zhǔn)于是，在幾個常見的線性空間，中首選的基應(yīng)是：；，例1證明：實(shí)數(shù)域作為有理數(shù)域上的線性空間是無限維的證明取一個超越數(shù)，則不是任何有理系數(shù)多項(xiàng)式的

7、根換言之，對任何正整數(shù)及個有理數(shù)，如果，必有所以線性無關(guān)，即實(shí)數(shù)域作為有理數(shù)域上的線性空間含有任意多個線性無關(guān)的向量，故是無限維的例2證明：若方陣的行向量組可以由其列向量組線性表出，則的列向量組可以由其行向量組線性表出證明設(shè)和分別是的行向量組和列向量組則它們的秩相同，設(shè)其秩為取的一個極大無關(guān)組，由已知條件可知向量組,中任意一個向量可以由線性表出，所以是向量組,的一個極大無關(guān)組，從而,的秩也是，于是的一個極大無關(guān)組也是,的一個極大無關(guān)組所以可以由線性表出，從而可以由線性表出Steinitz替換定理設(shè)有兩個向量組(I) (II)向量組(I)線性無關(guān),并且可以由向量組(II)線性表出，則；在向量組(

8、II)中存在個向量，使在(II)中用替換這個向量后得到的向量組與(II)等價證明只須證(II)由已知可得,線性相關(guān)，所以存在不全為零的數(shù)，使（*）這里不全為0（否則與線性無關(guān)矛盾）可設(shè)，則可由,線性表出，于是（*）可化為（*）同上道理，不全為0可設(shè)，則可由,線性表出，于是（*）可化為如此繼續(xù)下去，最終可得可由,線性表出，所以可由,線性表出又，由已知可知，,可由線性表出所以與,等價 二、 線性相關(guān)性的抽象1935年Whitney在一篇名為關(guān)于線性相關(guān)的抽象性質(zhì)的文章中,將向量線性相關(guān)性的某些性質(zhì)進(jìn)行抽象推廣，首次提出了擬陣的概念但當(dāng)時并沒有引起人們的重視直到60年代Tutte發(fā)表了關(guān)于擬陣的演講

9、一文，才使擬陣?yán)碚摰玫搅诉M(jìn)一步發(fā)展此后的十年,擬陣?yán)碚摰陌l(fā)展達(dá)到了高峰現(xiàn)在我們知道，擬陣?yán)碚撆c線性代數(shù)和幾何學(xué)有著密切的聯(lián)系、在組合數(shù)學(xué)和組合優(yōu)化中起著重要的作用此外，圖論、橫貫理論、組合設(shè)計(jì)和格論等方面的許多問題能夠在擬陣?yán)碚撝械玫浇y(tǒng)一關(guān)于線性空間中一組向量的線性相關(guān)性，有下面熟知的性質(zhì)：若線性無關(guān)，則它的任意一個部分組也線性無關(guān)；若向量組和都線性無關(guān)且，則必存在，使線性無關(guān)將向量的上述性質(zhì)用集合的語言進(jìn)行抽象便得到下述概念定義1設(shè)是一個有限集合，T是的子集族，滿足1)T；2)若T，則T；3)若T，且，則存在，使T則稱T為一個擬陣對的子集，若T，則稱為的獨(dú)立集；若T，則稱為的相關(guān)集設(shè)是線性空

10、間中的有限個向量組成的集合，T中的向量線性無關(guān)，由上面兩個性質(zhì)及定義1可知T是一個擬陣，稱之為向量擬陣可見擬陣是向量組線性相關(guān)性的上兩個性質(zhì)的抽象推廣對向量擬陣T，設(shè)T，易見T等價于向量不能由向量組線性表出（向量組線性無關(guān)）；T等價于向量可以由向量組線性表出（向量組線性相關(guān)）擬陣既然是向量線性相關(guān)性的抽象推廣，它的許多概念內(nèi)容及研究方法可以與向量組的相關(guān)知識對應(yīng)起來擬陣的獨(dú)立集和相關(guān)集是線性無關(guān)、線性相關(guān)概念的推廣設(shè)T為一個擬陣，的子集叫做的極大獨(dú)立集即：T，且若，則 T的極大獨(dú)立集是向量組的極大無關(guān)組概念的推廣定理1設(shè)T是一個擬陣，是的一個子集，是的兩個極大的獨(dú)立集，則注：此定理是向量組的兩

11、個極大無關(guān)組所含向量個數(shù)相同的對應(yīng)結(jié)果證明如果，不妨設(shè)，由定義1 的3)，存在，使T又注意到，此與是的極大的獨(dú)立集矛盾定義3設(shè)T為一個擬陣，的極大獨(dú)立集（也叫的基）中元素的個數(shù)稱為的秩（向量組的秩概念的推廣），記為的極大獨(dú)立集稱為的基；的極小相關(guān)集稱為的圈注：向量擬陣的基就是向量組的極大無關(guān)組，的圈就是向量組的極小相關(guān)組向量組的兩個極小相關(guān)組所含向量個數(shù)未必相同比如：和是向量組的兩個極小相關(guān)組，但是含向量個數(shù)不同由定理12.5可知，的獨(dú)立集若滿足，則是的極大獨(dú)立集設(shè)均為的子集，若既是的極大獨(dú)立集又是的極大獨(dú)立集，則是的極大獨(dú)立集(由的極大性，對，有T；對，有T所以對，有T）線性空間同構(gòu)的概念同

12、樣可以推廣到擬陣定義4設(shè)T和T是兩個擬陣若存在雙射：，使T當(dāng)且僅當(dāng)T，則稱和是同構(gòu)的一般地，與向量擬陣同構(gòu)的擬陣統(tǒng)稱為向量擬陣什么樣的擬陣是向量擬陣？即任意給出一個擬陣，是否存在一個向量擬陣與之同構(gòu)？這個1935年由Whitney提出的問題至今尚未解決！例1(剖分?jǐn)M陣)設(shè)是一個有限集，是的一個剖分（即且時）對每個，給定一個正整數(shù)，令 T， 則T為一個擬陣，稱為剖分?jǐn)M陣證明顯然，T滿足定義中的1)和2).下證T滿足3)設(shè)T，且令，則，且當(dāng)時，由知，至少存在一個，使（由T的定義可知，）取，顯然因?yàn)?，所以，?dāng)時，；當(dāng)時，總之有，即T這樣T滿足定義中的3)故T為一個擬陣對于，由于，由是不難得到，是的基

13、當(dāng)且僅當(dāng)；是的圈當(dāng)且僅當(dāng)存在，使且；在中盡可能多地選取不超過個元素（當(dāng)時，選個；當(dāng)時，選個；當(dāng)時，選個），所選取的元素的全體就構(gòu)成的一個極大獨(dú)立集定義5一個子集系統(tǒng)T，是由有限集及的一個子集簇T組成，使得在集合的包含關(guān)系下，T是封閉的（即若T，則T）對子集系統(tǒng)T的組合優(yōu)化問題是指下述問題：當(dāng)對集合中每一個元素給定一個權(quán)后，求一個T，使其權(quán)和最大在解決子集系統(tǒng)的組合優(yōu)化問題時，?？紤]使用下邊的貪婪算法Greedy 算法令；取中的最大權(quán)元素；若T，則將作為新的、作為新的返回；若T，則將作為新的返回；如此做下去直至Greedy 算法是一個十分自然的算法它的想法是始終試圖把權(quán)盡可能大的元素加進(jìn)中，僅當(dāng)

14、把它加進(jìn)里不可行時才放棄它雖然其想法既簡單又樸素，但Greedy 算法在一些看上去并不簡單的組合優(yōu)化問題中卻十分有效應(yīng)當(dāng)指出，并非所有子集系統(tǒng)的組合優(yōu)化問題都可以用Greedy 算法求得最優(yōu)解按照能否用Greedy 算法求其對應(yīng)的組合優(yōu)化問題的解，子集系統(tǒng)可分為兩類定理2 子集系統(tǒng)T的組合優(yōu)化問題可以用Greedy 算法求解當(dāng)且僅當(dāng)T是擬陣2幻方與半幻方本節(jié)介紹線性空間知識的一個應(yīng)用實(shí)例幻方自古以來就吸引著人們的注意力是有理數(shù)域，若，則稱為半幻方，所有階半幻方的集合記為；若，則稱為幻方，所有階幻方的集合記為注：半幻方就是每一行元素的和與每一列元素的和都相等的方陣；幻方就是每一行元素的和、每一列

15、元素的和以及每條對角線上元素之和都相等的方陣我們的問題是：這種幻方（半幻方）有多少個？它們的結(jié)構(gòu)如何？不難想象幻方（半幻方）有下述性質(zhì)： 一個幻方（半幻方）按順時針或逆時針方向旋轉(zhuǎn)仍是幻方（半幻方） 一個幻方（半幻方）的轉(zhuǎn)置仍是幻方（半幻方） 兩個幻方（半幻方）之和以及一個幻方（半幻方）的常數(shù)倍仍然是幻方（半幻方），即幻方（半幻方）的線性組合仍是幻方（半幻方）所以和都是線性空間的子空間，而是有限維的，所以和都是有限維的所以利用它們的基就可以將所有的半幻方和幻方都構(gòu)造出來下邊在有理數(shù)域討論三階幻方和一類特殊四階幻方的構(gòu)造1 三階幻方的構(gòu)造設(shè)是一個的三階幻方（這里分別其行和、列和、對角線和）為說話

16、方便，用分別表示的三個行和、用分別表示的三個列和、用分別表示的兩個對角線和由得，由此得，所以 (1)由得，所以 (2)由得，所以 (3)由得，所以 (4)由得，所以 (5)由得，所以 (6)注意到(1)(6)得可見任意一個三階幻方可以由，線性表出又顯然，線性無關(guān)，故構(gòu)成的一組基于是，可知三階幻方的構(gòu)造是 (7)例1 是否存在由自然數(shù)構(gòu)成的三階幻方，如果存在給出其構(gòu)造方法解設(shè)是這樣的幻方，則由(1)可知若，則由于，所以，這里是中的不同數(shù)但是在中只有和這兩對數(shù)的和為6，這是不可能的所以類似地可知都不等于9因此中必有一個是9注意到幻方的性質(zhì)，可設(shè)，再由得利用(7)有 ，即注意到是中的不同數(shù)，可得（或

17、）由得再由得,所以2. 一類特殊四階幻方的構(gòu)造一個階方陣，如果它的每一行、每一列、每條對角線以及將它分成四個2階塊后每個塊中的數(shù)字之和都是同一個確定的數(shù)，則稱這個四階方陣為一個Drer幻方用分別表示一個階方陣的行和、列和、對角線和、塊和例2 0-方： ，1-方：，將所有Drer幻方構(gòu)成的集合記為DDrer幻方的簡單性質(zhì)： Drer幻方按順時針或逆時針方向旋轉(zhuǎn)仍是Drer幻方 Drer幻方的轉(zhuǎn)置仍是Drer幻方 Drer幻方的線性組合仍是Drer幻方 D對于矩陣的加法和數(shù)乘構(gòu)成有理數(shù)域上的線性空間，它是的子空間下邊討論Drer幻方的構(gòu)造只要找到D的一組基，便可以構(gòu)造出所有Drer幻方除了0-方和

18、1-方之外，最簡單的Drer幻方就是由0和1構(gòu)成的、的所有Drer幻方，稱之為基本方顯然，基本方的每行、每列、每條對角線、每個塊中有且只有一個，其余元素均為0因此，基本方共有八個：，注：基本方可按下述規(guī)律構(gòu)造出：首先在第一個塊中的1有四種可能的位置，而每一種情況對應(yīng)著中1的兩種可能位置由基本方的特點(diǎn)可知，只要中1的位置確定了，中1的位置隨之就被固定了，所以基本方共有個因?yàn)椋跃€性相關(guān)又設(shè) ，即考慮此矩陣中的元，得，再考慮矩陣中的元，得，所以線性無關(guān)下邊證明D中任意一個元素可以由線性表出，這樣就是D的一組基，即D于是由就可以構(gòu)造出所有Drer幻方對D，設(shè)，為說話方便，用分別表示的四個行和、用分別表示的四個列和、用分別表示的四個塊和、用分別表示的兩個對角線和先證明的元素滿足：(8)(9)(8)的證明:由得 (10) 又，即 (11)(10)-(11)可得 (12) 類似地可證得 (13) (12)+(13)可得 . (14)由得，即 (15) (14)+(15)得所以利用此等式結(jié)合性質(zhì)即得總之(8)成立(9)的證明：由