第十一章 Euclid空間上的極限和連續(xù)

1、第十一章 Euclid空間上的極限和連續(xù)下冊(cè)P113114 習(xí)題解答 1.證 正定性: | x y | = .對(duì)稱性: | x y | = | y x | .三角不等式: 設(shè)x, y, z,則有| x y | | x z | +| z y |.注意到實(shí)數(shù)的三角不等式以及H. Minkowski不等式: 設(shè),則對(duì)R , 時(shí)有 .( 證明可參閱裴禮文編數(shù)學(xué)分析中的典型問題與方法P287 定理11 )，就有 | x y |= | x z | +| z y |，即| x y | | x z | +| z y |. 2 證明 ：若R中的點(diǎn)列x收斂 ， 則其極限唯一 .證明 : 設(shè) x , x ,現(xiàn)證 .

2、 對(duì), 由于x, x ; 由于x, x .取, 則當(dāng)時(shí), 就有 x x . , 即極限唯一 .3. 設(shè)R中的點(diǎn)列x和y收斂 .證明對(duì)于任何實(shí)數(shù), , 成立等式x+y)=x+y.證 設(shè)x , y.當(dāng)時(shí) , 顯然有 x+y)和x+y, x+y)=x+y.當(dāng)和不同時(shí)為零時(shí),對(duì),由于x, x ;由于y, y .取, 則當(dāng)時(shí), 就有 , (x+y)x y.此即 x+y)x+y.4. 求下列R中子集的內(nèi)部、邊界與閉包 : ;解 ; ;. ; 解 ; . . . 解 ; ; . 5. 求下列點(diǎn)集的全部聚點(diǎn) : ; 解 的聚點(diǎn)共有兩個(gè) : 和. ; 解 的聚點(diǎn)共有五個(gè) : , , , , . . 解 由于 .

3、集中,除點(diǎn)是孤立點(diǎn)外,其余均為其聚點(diǎn) .即 .6. 證明定理x是集的聚點(diǎn)的充分必要條件是 : 存在點(diǎn)列x滿足條件x, xx , ,且 x= x . 證 設(shè)點(diǎn)x是集的聚點(diǎn) , 即在點(diǎn)x的任何鄰域內(nèi)含有集的無窮多個(gè)點(diǎn) .則在x , 內(nèi)有集的無窮多個(gè)點(diǎn) ,取異于x的x且xx , ,有 xx;在x , 內(nèi)有的無窮多個(gè)點(diǎn),取異于x的點(diǎn)x且xx , ,有xx; 在x , 內(nèi)有的無窮多個(gè)點(diǎn), 取異于x的點(diǎn)x且xx , ,有xx;.我們這就得到點(diǎn)列x, x, xx . 由式xx,可見x= x . 對(duì)任意的, 由x= x , , 有xx , . 由xx ,x , 中的x彼此不同的有無窮多項(xiàng) ; 又由x,可見在x

4、 , 內(nèi)有的無窮多個(gè)點(diǎn),由的任意性 ,即得在點(diǎn)x的任何鄰域內(nèi)含有集的無窮多個(gè)點(diǎn) ,即x是集的聚點(diǎn).7. 設(shè)U是R中的開集 . U中的每個(gè)點(diǎn)是否都是其聚點(diǎn) ? 對(duì)于R中的閉集情況又是如何呢?解答 若U是R中的開集 , 則U中的每個(gè)點(diǎn)都是U的聚點(diǎn) . 這是因?yàn)閁的每個(gè)點(diǎn)都是U的內(nèi)點(diǎn) , 而內(nèi)點(diǎn)必為聚點(diǎn) . 若U是R中的閉集 , 則U中的點(diǎn)未必是U的聚點(diǎn) . 例如單點(diǎn)集是閉集 , 但元素并不是集的聚點(diǎn) .8. 證明 R的所有內(nèi)點(diǎn)組成的點(diǎn)集必是開集 .證 x, 由于x是集的內(nèi)點(diǎn) ,使x,.現(xiàn)證x,內(nèi)的每個(gè)點(diǎn)都是的內(nèi)點(diǎn).事實(shí)上 ,xx,有x- x.取x- x,則. xx, 有 x- x x -xx- x

5、<x- x+x- x=x- x,即x，x, ，可見x是集的內(nèi)點(diǎn) .由點(diǎn)x的任意性 , x,.是開集 .9. 證明 R的閉包必是閉集 .證 設(shè)x是集的聚點(diǎn) , 現(xiàn)證x, 即證或有x,或有x.事實(shí)上 ,若有x,則有x; 若x, 則由x是集的聚點(diǎn) , 在點(diǎn)x的任鄰域x,內(nèi)有集的無窮多個(gè)點(diǎn) . 由于這無窮多個(gè)點(diǎn)中的每一個(gè)或者是集的點(diǎn) ,否則就是的聚點(diǎn) , 即在其任鄰域內(nèi)有集的無窮多個(gè)點(diǎn), 可見在x,內(nèi)有集的無窮多個(gè)點(diǎn) , 即x是集的聚點(diǎn) , 亦即x,仍有x綜上 ,若x是集的聚點(diǎn) , 總有x . 因此必是閉集 .10. 證明Cantor閉區(qū)域套定理 .Cantor閉區(qū)域套定理 : 設(shè)是非空集序列

6、, 滿足條件 , 以及, 則存在唯一的點(diǎn), 使對(duì)任何 , 有.證 由, 充分大時(shí)有界 . 為敘述簡(jiǎn)便計(jì) , 可設(shè)每個(gè)有界 .現(xiàn)以 R為例施證 .設(shè) , , , .并設(shè)閉矩形. 易見有 , .因此 , 閉矩形列滿足條件和. 據(jù)閉矩形套定理 , 存在唯一的點(diǎn), 使對(duì)任何 , 有. 由, 對(duì)任何 , 有. 倘又有對(duì)任何成立 ,則有 . 由,對(duì),有 , 因此就有.綜上 ,存在唯一的點(diǎn), 使對(duì)任何 , 有.11 舉例說明 ：滿足條件x x的點(diǎn)列x不一定收斂 . 解答 設(shè) . 雖有, 但是. 即數(shù)列不收斂 .12. 設(shè)E 、F R為緊集 . 證明E F和E F為緊集 .證 E 和F是緊集 , 則它們是有界

7、閉集 . 于是E F和E F均為有界閉集 , 因此它們都是緊集 .13. 用定義證明點(diǎn)集是R中的緊集 .證 設(shè)本, 為的開覆蓋 .現(xiàn)證存在中的有限子族覆蓋. 事實(shí)上 , 設(shè)中的開區(qū)間覆蓋單點(diǎn)集, 即 . 則由于, ,時(shí) , ，即不僅覆蓋單點(diǎn)集，且覆蓋了中的點(diǎn)集. 又設(shè)中的開區(qū)間、 、分別覆蓋中的點(diǎn) 、 、 ，則,， ，是中的有限子族 ，且該有限子族覆蓋. 因此 , 的每個(gè)開覆蓋存在有限子覆蓋 , 是R中的緊集 .14. 應(yīng)用HeineBorel定理直接證明：R中有界無限點(diǎn)集必有聚點(diǎn) .證 設(shè)是R中的有界無限點(diǎn)集 , 可設(shè). 易見的補(bǔ)集中的點(diǎn)必不是的聚點(diǎn) . 反設(shè)集沒有聚點(diǎn) , 則有界閉集中的每個(gè)點(diǎn)都不是的聚點(diǎn) . 于是 , 對(duì),由于點(diǎn)不是集的聚點(diǎn) , 存在點(diǎn)的鄰域, 使在內(nèi)僅有集的有限個(gè)點(diǎn) .現(xiàn)設(shè)M, 在內(nèi)僅有集的有限個(gè)點(diǎn) .則M是的一個(gè)開覆蓋 .由是有界閉集,據(jù)HeineBorel有限覆蓋定理 , 必為緊集 ,因此存在M的有限子族M 覆蓋.由于M 中僅有有限