西電工程數(shù)值方法下

1、Chapter5 常微分方程邊值問題的數(shù)值解法§5.1 數(shù)學模型二階常微分方程的邊值問題如下：控制方程：其邊界條件（Bounding Condition, B.C）可分為如下三類：（1）第一邊值條件: （2）第二邊值條件： （3）第三邊值條件： 其中:第一邊值條件給定了在邊界處的函數(shù)值；第二邊值條件給定了在邊界處的導數(shù)值；第三邊值條件為混合邊界條件，給出了邊界處的函數(shù)值和導數(shù)值之間的關(guān)系。當方程為線性方程時，其一般形式為：設其系數(shù)、及自由項均為區(qū)間內(nèi)的連續(xù)已知函數(shù)，故方程為變系數(shù)的線性方程，為消除其中的一階項，處理方法如下：將式兩端乘以，即得：由求導公式，則上式可改寫為： (1.3a

2、)令：，則方程（1.3a）可以新變量表為如下形式：此形式仍為二階變系數(shù)線性常微分方程，但其中已不顯含一階導數(shù)項，而邊值條件的形式不變。這表明，對于一般形式的二階常微分方程，總可以通過上述變量變換的處理將其轉(zhuǎn)化成不含一階導數(shù)項的形式。為此，在下面考慮線性方程的情況時，可以假設方程中不再顯含項。對于方程在多數(shù)情況下，無法求得其解析解，故只能采用數(shù)值方法求解。關(guān)于邊值問題的數(shù)值解法有多種，本章只介紹其中比較常用的兩種方法：差分法和試射法。§5.2 解線性邊值問題的差分方法§5.2.1差分方程的建立現(xiàn)對線性方程的情況來討論之，設方程的形式為：1. 將區(qū)間離散化：取等間距將區(qū)間劃分為

3、等分，諸結(jié)點為：如此，我們將原在上求解方程解的問題轉(zhuǎn)化為求各結(jié)點上近似解值問題。為此，我們首先應將方程中的變量進行離散化處理，其具體作法是：2. 構(gòu)造差分方程對內(nèi)部結(jié)點，利用二階中心差商來近似原二階微商，由二階中心差商的關(guān)系式： 其中，將它代入方程中，得在結(jié)點處所滿足的關(guān)系式：其中，在上式中，若略去截斷誤差項（它是間距的二階小量），則可得原微分方程的近似差分方程為：這是含有共個未知數(shù)的線性方程組，而方程的個數(shù)為個，欲使此方程組有唯一解，還需由兩個邊值條件補充兩個方程。對于第一邊值條件，可直接由給定的邊值條件給出兩個補充方程，即：將方程與聯(lián)立即構(gòu)成了第一邊值問題完整的差分方程組。對于第二和第三邊

4、值條件，由于兩者均給出了邊界處的一階導數(shù)信息，相應于差分方程的形式，對于邊界的導數(shù)值或表達式，我們亦須用差商來近似表示之。因為我們無法利用區(qū)間之外結(jié)點的信息，所以在引進兩個邊界導數(shù)的差分近似表達式時，就不能再利用中心差商公式。若要求的截斷誤差為一階的，即，則我們可利用簡單的前、后差商表達式來近似原導數(shù)邊值條件，即有：若要求的截斷誤差為二階的，即，則原導數(shù)邊值條件的差商近似表示需利用Newton等距插值公式（補圖）：前插公式： 后插公式： (2.6b)其中為向前差分符號。將方程、（2.6b）與方程組聯(lián)立，即構(gòu)成了第二邊值問題完整的差分方程組。和(2.6b)式，其邊值條件可以差分方程近似表為： (

5、2.7b) 將方程、(2.7b)與方程組聯(lián)立，即構(gòu)成了第三邊值問題完整的差分方程組。至此，我們通過離散化的處理，將原微分方程的邊值問題近似轉(zhuǎn)化成為一個差分方程組（線性方程組）的邊值問題了。§5.2.2 差分方程組的解法追趕法由上述建立的差分方程組，其系數(shù)矩陣為三對角形的，故通常利用求解線性方程組的追趕方法求解?，F(xiàn)以第一邊值問題的差分方程組求解為例：分別將代入內(nèi)部結(jié)點和的差分方程中，消去未知數(shù)，則上差分方程組可表為： 此方程組的系數(shù)矩陣是三對角形，且（即主對角元素均為主元素），故可按自然順序利用追趕法求解，其計算步驟如下：先從方程將上式代入方程一般可設有下列遞推關(guān)系式：為了求得為：從而

6、有的遞推關(guān)系式為： 即由上式，從開始，可逐次求出之值，首先需要之值。時，由B.C，則有：從而應有： 這樣便可利用遞推公式按下標從小到大的順序逐個求得系數(shù)，此過程稱為追的過程。而求的過程正好相反。因為已知，即：，依次往上逐次求解，即可求得。求的過程中下標由大到小，故此過程稱為趕的過程。對于系數(shù)矩陣呈三對角形式的線性方程組，追趕法是一種十分有效的方法，它在微分方程邊值問題的數(shù)值解法中有著廣泛的應用。例1 （計算方法武大版）解:取步長,則結(jié)點,按(2.8)式,其差分方程為:其解為:例2 (常微分方程數(shù)值解法南大)解：取，結(jié)點其差分方程為： （a） （b）其中： （c）由于，由（b）式得，由遞推式（c

7、）逐次解得：再由和（b）式逐次求得：§5.3 差分算法的穩(wěn)定性與解的收斂性穩(wěn)定性和收斂性是反映某一算法好壞的兩個重要的概念，兩者是不同的兩個概念。本節(jié)將對差分算法的穩(wěn)定性和解的收斂性進行簡單的討論。 算法的穩(wěn)定性所謂算法的穩(wěn)定性簡單地講就是指在計算過程中的某一擾動誤差不會在后續(xù)的計算中被逐漸放大傳播。穩(wěn)定性是反映某一計算步驟中出現(xiàn)的誤差對計算結(jié)果的影響。追趕法在解上述差分方程的過程中，具有其計算誤差在傳播中不增長的優(yōu)點，即：在第i個節(jié)點上對的計算誤差，在左右相鄰的兩節(jié)點上該誤差不會增長。下面對此進行定量的分析證明：設：在計算系數(shù)中產(chǎn)生一誤差，由此影響到計算中產(chǎn)生了誤差?，F(xiàn)證：事實上，

8、由于和均滿足遞推關(guān)系式中的第一式，即有：將與中第一式相減，則有：我們用歸納法可證設：由式，可知：再由式可知：再看求的過程，從，同上類似推導，可得如下關(guān)系式：于是，由和可知：，。此結(jié)果表明：追趕法在計算過程中某一計算誤差不會在計算過程中被放大傳播，即該算法是穩(wěn)定的。差分方程解的收斂性所謂收斂性是反映所用計算格式（公式）自身的截斷誤差對計算結(jié)果的影響。設：是邊值問題的精確解在結(jié)點上的數(shù)值，是差分方程在結(jié)點上的數(shù)值解，則兩者誤差：利用極值原理和推論以及數(shù)學上的推導處理（可參見計算方法武大版）.可最終獲得誤差的上限估計式為:其中，為的四階導數(shù)。從此估計式可見，誤差的上限是與三項因子成正比的，當邊值問題

9、給定之后，因子均為定值，在計算中是不變的。從而易見，當步長，誤差。這表明：當步長逐漸縮短時，差分方程的解將逐漸收斂于原微分方程邊值問題的精確解。§5.4 試射法（Shooting Method）基本作法：將邊值問題轉(zhuǎn)化為初值問題，并通過給定和修正初始斜率來求解?，F(xiàn)僅以第一邊值問題為例介紹試射方法。設二階方程的第一邊值問題： 試射法的出發(fā)點就是設法確定初值點處的斜率之值，使方程滿足初值問題的解亦能滿足邊值問題，即。也即意味著要從微分方程的解曲線經(jīng)過點而具有不同初值斜率的積分曲線中，去尋找一條經(jīng)過點的曲線。問題的關(guān)鍵是如何選取一個能夠滿足上述要求的初值斜率值。試射法顧名思義就是：根據(jù)經(jīng)驗

10、，或?qū)Ψ匠踢M行定性分析，或按照實際問題中存在的運動規(guī)律，選取一個初值斜率，以這個斜率進行試算，即解如下初值問題：獲得相應的一個解曲線。若，或（允許誤差），則即為原邊值問題和的解。否則，我們可依據(jù)與的差距來適當?shù)貙⒊踔敌甭手颠M行修正，修正公式：再以作為初始斜率，解如下初值問題：解上方程可得另一解，同前，若，或滿足，則即為所求之解，否則再對初始斜率值進行適當修正，最簡單的修正辦法是同時利用和的信息，通過線性插值方法來求出新的初始斜率值，即：以新的初始斜率重復上述求解過程，直到獲得滿足精度要求的解為止?？梢?，試射法就類似于射擊校正問題，它是通過不斷調(diào)整修正初射的角度（斜率），使彈著點最終能落在給定的

11、目標點或該點鄰近處（補圖）。從理論上講，試射法對于高階的微分方程或方程組也是適用的，然而在實際使用中，可能遇到不只一個未知初值需做選擇，此時嘗試的工作量將會大大的增加。因此，該法通常僅適用于只有一個未知初值的情況。例 用試射法解邊值問題：給定精度解：取步長，取在初始點處的初始斜率，解如下初值問題：用龍格-庫塔法解得相應解的終點值，它與給定值相差尚遠，故應對初始斜率進行修正，由修正公式得：以作為初射斜率，再重新解如下初值問題：得故再應對初射斜率值進行修正，由修正公式，則得：以為初射斜率，解初始問題：得，顯然它離目標點值又近了一些。重復上述過程，當以為初射斜率時，解得，此時有。則近似解即為原邊值問

12、題的滿足精度要求的數(shù)值解。有關(guān)計算結(jié)果見下表：0000000000.10.10.155-0.441-0.4820.20.20.309-0.869-0.9480.90.6670.7260.2560.4971.00.6460.6100.6850.999§5.5 非線性差分方程及迭代解法 非線性差分方程設二階非線性第一類邊值問題為：其中為的非線性函數(shù)。（1） 將積分區(qū)間離散化：取步長為，結(jié)點為（2） 在諸內(nèi)點處以一階和二階中心差商近似方程中的一階微商和二階微商，即有：（3） 由邊條列補充方程：將和聯(lián)立組成了一個關(guān)于的完整的方程組，但由于中的右端項為變量的非線性函數(shù)，故完整方程組為非線性的方

13、程，所以不能直接求解，通常須利用迭代法求其近似解。在此我們介紹兩種迭代方法：Jacobi法和Newton-Raphson法。Jacobi法最簡單的迭代方法即為Jacobi法，其具體實施方法如下：先將初始值（人為給定）近似解代入方程組的右端項，即有中使之成為已知量，此時完整方程組、便成為關(guān)于未知量的線性方程組，可利用通常的求解線性方程組的各種方法直接求解。設求得的新解為，然后再以為初始解，重復上述迭代過程求出更好的近似解。其具體迭代求解格式為： 可以證明：在一定條件下，此種迭代過程是收斂的，且當步長，其數(shù)值（差分）解收斂于原邊值問題、的精確解。§5.5.3 Newton-Raphson

14、法設所考慮的邊值問題的控制方程中不含一階導數(shù)項，即為 其中為的非線性函數(shù)，且滿足：1. 在中，為的連續(xù)函數(shù)；2. 對于，任意兩個函數(shù)值，存在著一個常數(shù)，使得：成立；3. 偏導數(shù)連續(xù)，且。在此情況下，我們可利用Newton-Raphson法迭代方法求解邊值問題的數(shù)值解。首先，同前處理，將積分區(qū)間離散化為（n+1）個結(jié)點，在每一內(nèi)點構(gòu)造一個差分方程： Chapter6橢圓型偏微分方程的數(shù)值解法§6.1概述方程橢圓型偏微分方程是數(shù)學、物理及傳熱學、電磁學、彈性力學、流體力學等工程科學技術(shù)問題中常遇到的一類重要的方程。在平面域G上，橢圓型二階偏微分方程的一般形式為：式中：為方程待求的解函數(shù)，

15、而均為平面域G上自變量的連續(xù)已知函數(shù)，且與解函數(shù)U無關(guān)。若.，則方程可表為：若 其中 此方程稱為Laplace（拉普拉斯）方程，它描述的是平面域G內(nèi)無源的靜電磁場或穩(wěn)定溫度場的分布規(guī)律，或等截面直桿的扭轉(zhuǎn)時桿截面的翹曲分布。引進Laplace算子符號：§6.1.2 邊界條件（B.C）(補圖)在實際應用中，通常需要求解函數(shù)在區(qū)間G內(nèi)滿足橢圓型偏微分方程，并在G的邊界上滿足給定的邊界條件的解，即所謂的邊值問題。如同常微分方程的邊值問題，橢圓型二階偏微分方程的邊界條件（B.C）通常有以下三類：（1） 第一類B.C： 其中為定義在上的已知函數(shù)，即在平面域G的全部邊界上給出了函數(shù)U的分布規(guī)律。

16、在數(shù)理方程中，將尋求滿足控制方程和B.C的定解問題稱為Dirichlet（狄利赫萊）問題。（2） 第二類B.C： 其中n表示邊界曲線的“外法線”方向。此B.C給出了函數(shù)U在所有邊界點上其外法線方向上的梯度（導數(shù)）分布規(guī)律。在數(shù)理方程中，將尋求滿足控制方程和B.C的定解問題稱為Neumann（牛曼）問題。（3） 第三類B.C： 其中、均為定義在上的已知函數(shù)，且。此B.C給出在所有邊界上函數(shù)U之值與其外法線方向?qū)?shù)之間的關(guān)系式。在數(shù)理方程中，將尋求滿足控制方程和B.C的定解問題稱為Robin（諾賓）問題。偏微分方程邊值問題的求解是一個較為復雜的問題，除少數(shù)經(jīng)典問題外，要求得問題的精確解一般是十分困

17、難的。因此，人們不得不著眼于各種近似的數(shù)值解法，其中工程上最常用的數(shù)值解法有兩種：有限差分法和有限單元法。本章將著重介紹前者。§6.2 差分方程構(gòu)建現(xiàn)以平面域G上的二階泊松方程為例，討論其差分方程的構(gòu)建及三種差分格式。控制方程：其差分方程的構(gòu)建主要由三部分步驟組成：1）將求解區(qū)域G離散化；2）將控制微分方程以數(shù)值差商的形式表出；3）由B.C構(gòu)造補充方程（將在下一節(jié)討論）。（1） 區(qū)域G離散化如圖（補圖），我們用平行于和軸的兩組平行線族，將問題的平面域G離散化：兩族相交直線的任一交點（網(wǎng)格）（）的坐標為：其中分別為網(wǎng)格沿軸的步長。顯然，若時，為矩形網(wǎng)格；當時，為正方形網(wǎng)格。所有屬于平面

18、域G的網(wǎng)格點稱為內(nèi)結(jié)點，如圖中所有劃“o”之點。（2） 微分方程的差分逼近取正方形網(wǎng)格。設：是區(qū)域G的內(nèi)結(jié)點，簡記為（），寫出控制方程在點（）處的表達式，即有：現(xiàn)我們用二階中心差商近似代替方程中的二階微商，即：將式代入方程中，則得到的近似解所滿足的差分組為：由于方程中只有結(jié)點及其四個菱形端點上的值出現(xiàn)（補圖），故通常稱為“五點菱形格式”。仿照拉氏算子的定義，將此種格式定義為一種差分算子，用符號表示，即：從而差分方程亦可用五點菱形差分算子簡寫為： （2.4a）它與原微分方程的逼近誤差為： 其中：；，分別表示U對和的四階偏導數(shù)。若以表示在區(qū)域G內(nèi)所有四階偏導數(shù)絕對值的上確界，則可得逼近誤差的上限估

19、計式為：此時表明：“五點菱形差分格式”的截斷誤差為二階的，記為。式表明：差分逼近是網(wǎng)格點及其四個鄰點上的U值的線性組合。由此產(chǎn)生這樣的想法：能否可用網(wǎng)格點及其另外四個矩形結(jié)點的U值去作線性組合呢？這一問題的回答是肯定的，事實上，我們只要簡單地將網(wǎng)格旋轉(zhuǎn)，即可得式的另一種差分逼近格式的方程為：同前，我們可定義“五點矩形格式”的差分算子為：則差分方程可簡記為： （2.8a）其逼近誤差為： 式中：；點均在閉正方形域：之中。令為所有四階偏導數(shù)絕對值在G內(nèi)的上確界。則逼近誤差的上限估計式可表為：此式表明：“五點矩形差分格式”的截斷誤差亦為二階的，記為。欲提高差分逼近的精確度，則須引入更多的結(jié)點信息。下面

20、直接給出逼近拉氏算子的“九點格式”的差分算子，它是“五點菱形差分算子”和“五點矩形差分算子”的線性組合算子，其具體表達式為： 該差分算子的逼近誤差的上限估計為：式中：是在區(qū)域G上的所有8階偏導數(shù)絕對值的上確界。這表明“九點格式”的差分算子其截斷誤差為六階的，即，其逼近精度將大大地提高。§6.3 邊界條件的處理由前構(gòu)造的差分方程是針對區(qū)域G內(nèi)各結(jié)點的，在靠近邊界的各點的方程中，將需要邊界之外有關(guān)結(jié)點的函數(shù)U之信息，如前圖中的“”點。而這些點上的U值亦是未知的。這樣，由內(nèi)結(jié)點列出的差分方程的數(shù)目將少于未知數(shù)的個數(shù)，這些均須根據(jù)給定的邊界條件建立補充的差分方程，使差分方程組中方程的數(shù)目與未

21、知數(shù)個數(shù)一致。§6.3.1第一類B.C的處理 （1） 若區(qū)域G的邊界恰為規(guī)則的矩形，則我們進行網(wǎng)格劃分時，就將邊界結(jié)點設置在邊界線上，如下圖中的A、B點。此時，對于任何五點格式或九點格式，我們都可以根據(jù)給定的第一B.C之值，簡單地給出邊界上各個節(jié)點的函數(shù)值：，這即為補充方程。（2） 對于一般情形，區(qū)域G的邊界是由一般曲線組成，它們難得包含網(wǎng)格的一個結(jié)點，如下圖所示（補圖）。為了保證計算的精確度，就需根據(jù)邊界曲線與網(wǎng)格節(jié)點之間所處的位置以及問題的精確度要求，采用不同的近似處理方法。通常有以下三種處理方法。1） 零次插值（簡單遷移）即對每一靠近邊界曲線的內(nèi)結(jié)點，如圖中的點，選定一個與之最

22、近的邊界上點，使：其中Q為上離P的某一最近點，為簡單起見亦可?。?x方向上最近點或 y方向上最近點上式即為補充方程。由于將用之值代替，可以看成是在y方向、在P點處用處之值的零次多項式插值的結(jié)果。同理可視為是在x方向用處之值的零次多項式插值的結(jié)果，故此近似處理方法稱為零次插值方法。對于為光滑函數(shù)的情況，由微分學的中值定理可知：當步長時，這種插值產(chǎn)生的局部誤差為一階的，即。2） 一次插值這是一種比較準確的處理方法。它不是直接取定靠近邊界之P點的之值，而是沿著水平或鉛垂網(wǎng)格線，利用線性插值方法確定P點之值。參見下圖（補圖），設U沿x方向呈線性分布，則由比例關(guān)系：從而線性插值公式為： （x方向）同理：

23、 （y方向） 上式即為補充方程。其中，和為定值；、為未知數(shù)，即將未知數(shù)用一定值和一未知數(shù)的線性插值形式表出，并沒有增加任何新的未知數(shù)。若函數(shù)為充分光滑的，則這種線性插值產(chǎn)生的局部誤差為二階的，。3） 二次內(nèi)插即在節(jié)點P上列不等距的差分方程。在點P處用以下二階差商公式近似代替方程中二階微商，即有：代入方程中，由此導出在P點的差分方程為： 上式即為補充方程。這種二次內(nèi)插處理相對較為復雜，但精確度并不高，由它產(chǎn)生的局部誤差為。此外，它還有一個很大的缺點：破壞了差分方程組的對稱正定性。§6.3.2 第二、三B.C的處理這兩種邊值條件可統(tǒng)一寫成如下形式：當時，式即為第二B.C；當時，即為第三B

24、.C。由于其邊界條件中含有U的法向?qū)?shù)，故它的近似處理要比第一B.C復雜些，下面分兩種情況討論之。（1）矩形網(wǎng)格的節(jié)點P剛好落在邊界曲線上此時，就在P點直接由B.C列出一個差分方程，實現(xiàn)這個問題的關(guān)鍵是如何用差分近似代替法向?qū)?shù)。邊界上P點的外法向與坐標軸平行（補圖）此時，顯然有：代入B.C中，則得到U在P點應近似滿足的差分方程，即補充方程為：邊界上P點的外法向與坐標軸不平行（補圖）此時，顯然有： 代入B.C中，則得U在P點應近似滿足的差分方程，即補充方程為： （3.6b）（2）網(wǎng)格的邊界點P不在邊界曲線上（補圖）此時仍按（1）中的情況在P點列差分方程，但需將上與P點相近的某點的外法向作為P點

25、的外法向，并近似令（3.6b）中的。至此，我們對正方形網(wǎng)格的情況其各種邊界條件進行了近似處理，從而獲得了補充方程，將原泊松方程的邊值問題轉(zhuǎn)化為一個完整的線性代數(shù)方程組求解。數(shù)學上可以證明：該差分方程組的解存在且唯一，并當步長，其解收斂于原微分方程的精確解。證明可參見武大、山大編計算方法。例 （高應才編數(shù)學物理方程及其數(shù)值解法）求解拉氏方程的第一B.C問題：無源穩(wěn)定的溫度場的分布。其中的取值如圖所示（補圖）。解：用方形網(wǎng)格，取，共有6個內(nèi)結(jié)點，14個邊界結(jié)點，所有內(nèi)結(jié)點的函數(shù)U值是未知的，所有邊界結(jié)點的函數(shù)U之值均已給定。計算結(jié)果如下：Chapter7 加權(quán)殘值方法簡介本章參考文獻：1.徐次達，

26、加權(quán)殘值法和有限元混合法，應用數(shù)學和力學第32期講義2.徐文煥，陳虬，加權(quán)余量法在結(jié)構(gòu)分析中的應用，鐵道版，19853.邱吉寶，加權(quán)殘值法的理論與應用，宇航版，19914.徐次達，固體力學加權(quán)殘值法，同濟版，1987§7.1 方法的基本概念大量的應用科學和工程學問題最終都歸結(jié)為求解微分方程（組）的邊值問題或初值問題，這個微分方程（組）可以是常微分方程（組）或偏微分方程（組），方程（組）可以是線性的，亦可以是非線性的。眾所周知，對于微分方程（組）的邊值問題或初值問題，除極少數(shù)經(jīng)典問題之外，解析方法是無能為力的，只能依賴于各種數(shù)值方法，如前幾章學習的常微分方程初值問題的數(shù)值解法，常微分方

27、程邊值問題的數(shù)值解法和橢圓型偏微分方程邊值問題的數(shù)值解法等等。本章介紹的加權(quán)殘值法（Method of Weighted Residuals，簡稱MWR）亦是一種可以直接從微分方程（組）中求解問題近似解答的數(shù)學方法。該方法求解問題的基本作法如下：首先假設一個試解函數(shù)（trial function）作為微分方程邊值問題或初值問題的近似解，在此試函數(shù)中含有待定的參數(shù)或待定的函數(shù)式。這一試函數(shù)的假設取決于對問題解答的初步了解或經(jīng)驗。將試解函數(shù)分別代入問題的微分控制方程和邊界條件或初始條件中，一般不能完全滿足，從而分別在方程的域內(nèi)和邊界S上產(chǎn)生了內(nèi)部和邊界的殘值（residuals），這些殘值均為試解

28、函數(shù)中待定參數(shù)或待定函數(shù)的函數(shù)，即殘值的大小取決于試解函數(shù)中的待定參數(shù)和待定函數(shù)的選擇。按某種平均加權(quán)意義將上述內(nèi)部和邊界的殘值加以消除或使它們極小化，從中確定使殘值為零或極小化的試解函數(shù)中待定參數(shù)的取值或待定函數(shù)的具體表達式。再將以上所確定的待定參數(shù)值或待定函數(shù)的表達式回代到試解函數(shù)中，即獲得了原微分方程邊值或初值問題的近似解，該解答相對于精確解的殘值（誤差）在加權(quán)平均意義下為零或最小。以下以二維微分方程邊值問題為例，闡述加權(quán)殘值方法的求解過程：設微分控制方程為：邊界條件為：式中：為待求的解答函數(shù)，分別為微分算子，均為不含u的已知函數(shù)?，F(xiàn)假設邊值問題和式的試解函數(shù)為：式中，為待定的參數(shù)；為試

29、函數(shù)項（已知函數(shù)）。將式分別代入和式之中，一般是不會完全滿足的，從而在域內(nèi)和邊界S上分別產(chǎn)生了殘值為：為消除這些殘值，選擇內(nèi)部權(quán)函數(shù)和邊界權(quán)函數(shù)，使和分別與殘值和加權(quán)平均為零，即有：據(jù)此，即可得到以待定參數(shù)為未知量的代數(shù)方程組，從中解得參數(shù)。再將回代到式中，則式即成為滿足微分方程和邊界條件的近似解答，且該解答就是在加權(quán)平均意義下殘值最小或為零的解答。§7.2 加權(quán)殘值法的方法類型加權(quán)殘值法是一大類求解方法，包括許多種方法類型，通常關(guān)于各種方法的類型有兩種分類方式。分類方式一按所選試解函數(shù)的情況進行分類，可分為如下三類基本方法：內(nèi)部法若試解函數(shù)已滿足了B.C式，但不滿足微分方程式，此種

30、試解函數(shù)稱為邊界型。對于邊界型試函數(shù)，顯然有：，此時，我們只需利用式消除微分方程在V域內(nèi)的殘值。外部法若試解函數(shù)項已滿足了微分方程式，但不滿足B.C式，此種試解函數(shù)稱為外部型。對于外部型試函數(shù)，顯然有：，此時，我們只需利用式消除邊界條件在S邊界面上的殘值?；旌戏ㄈ粼嚱夂瘮?shù)項既不滿足微分方程式，也不滿足B.C式，此種試函數(shù)稱為混合型。對于混合型試函數(shù)，顯然有，此時，我們須同時利用和式消除V域內(nèi)和邊界面S上的殘值和。分類方式二按所取的權(quán)函數(shù)的形式進行分類，可分為如下五類基本方法：最小二乘法（Least Squares Method）配點法（Collocation Method）子域法（Subdom

31、ain Method）伽遼金法（Galerkin Method）矩量法（Method of Moment）這五種基本方法的原理將在下節(jié)介紹。§7.3 五種基本方法的基本原理最小二乘法該法是在最小二乘意義下，使問題的試解函數(shù)與其精確解之間的殘值最小化的方法。取問題的試解函數(shù)為： ，從而在域內(nèi)V和邊界S上的殘值分別為：。從而總殘值的平方和函數(shù)為：當試解函數(shù)中的各試函數(shù)項給定之后，總殘值的平方和僅為其中待定系數(shù)的函數(shù)。欲使為最小，應用函數(shù)極值的必要條件，即有：將式代入上式，則有：將此式與式和式對比可見，分別為內(nèi)部V和邊界S上的權(quán)函數(shù)，即有：顯而易見，方程是具有個方程的代數(shù)方程組，其中恰含有

32、2n個待定系數(shù)，從中可聯(lián)立解得，回代到式中，即可得殘值最小二乘意義下的問題的近似解。配點法在配點法中，令殘值在一些指定的點上為零。若試解函數(shù)中含有n個待定的參數(shù)，則可以在求解域內(nèi)和邊界S上共選定n個點，令殘值在這n個點處為零，這樣便可以得n個條件方程，從中可解出n個待定的參數(shù)。這些被選定的點即稱為配點。在配點法中，我們是以笛拉克函數(shù)（Dirac function）作為權(quán)函數(shù)。笛拉克函數(shù)又稱為單位脈沖函數(shù)，它具有如下性質(zhì)：（1）一維單位脈沖函數(shù)基本性質(zhì)：（2）二維單位脈沖函數(shù)基本性質(zhì)現(xiàn)以函數(shù)作為權(quán)函數(shù)，在原問題的域內(nèi)或邊界S上對殘值進行配點處理如下：一維問題的配點公式：設殘值R表達式中含有個待定

33、的參數(shù)，則在第點處的配點為：二維問題的配點公式：設殘值R表達式中含有個待定的參數(shù)，則在處的配點為：現(xiàn)使殘值R在所有配點之處均為零，從而有式即為關(guān)于試函數(shù)，或中待定參數(shù)，（）為未知量的代數(shù)方程組，從中解得，（），即得問題的近似解，這一近似解在所有配點之處與精確解的誤差均為零。配點法的計算只是在若干個離散點上進行，不需做繁難的積分，故此法是加權(quán)殘值法中最為簡單的一種方法。子域法（Subdomain Method）若試解函數(shù)中包含n個待定參數(shù)，則我們首先將問題的求解域V劃分為n個子域（單元），并取各子域上的權(quán)函數(shù)為：使內(nèi)部殘差以為權(quán)在各子域上為零，即可列出各子域消除殘值方程式為：式的含義為：在每一子

34、域內(nèi)，使殘值的加權(quán)積分為零。從中可解出試解函數(shù)中待定的參數(shù)。隨著試解函數(shù)中待定參數(shù)數(shù)目n的增加，子域的數(shù)目n亦增加，從而使控制方程在更多更小的子域范圍內(nèi)得以滿足，從而所求得的解答將越趨于精確。可見，這一方法與有限單元方法的概念有相似之處，但并無結(jié)點的設立。如果在各個子域（單元）里分別選取試函數(shù)，那么，它的求解在形式上將類似于有限元法。此外，在此法中，若試解函數(shù)適用于全域V，則再無須列出跨子域的連續(xù)性條件。若對每一子域構(gòu)造一個試解函數(shù)，則須考慮跨子域的連續(xù)性條件。伽遼金法（Galerkin Method）伽遼金法是俄國工程師伽遼金提出并以其名命名的方法，這一方法是里茲變分法的推廣，但從它的計算形

35、式上來看，可以把它作為加權(quán)殘值方法的一種，這種方法是將試解函數(shù)中的基函數(shù)作為權(quán)函數(shù)。設：試解函數(shù)若取中的基函數(shù)作為權(quán)函數(shù)，即：并使殘值的加權(quán)積分為零，即有：上式與伽遼金法的積分公式完全相同，故可將伽遼金法作為加權(quán)殘值法中的一種。式的數(shù)學含義是：殘值函數(shù)R與試解函數(shù)中的每一基函數(shù)均是正交的。從數(shù)學角度來分析，如果一個函數(shù)R與一個完備的函數(shù)集中的每一項均正交，則該函數(shù)R必為零。若，顯然試解函數(shù)必為原問題的精確解答。從這一點出發(fā)，可作為論證加權(quán)殘值法收斂性的基礎。矩量法（Method of Moment）矩量法和伽遼金法相類似，它也是采用一個完備的函數(shù)集作為權(quán)函數(shù)，但在伽遼金法中權(quán)函數(shù)和試函數(shù)均采用

36、同一函數(shù)集，而在矩量法中，采用的是坐標冪函數(shù)完備基作為權(quán)函數(shù)。在一維問題中，權(quán)函數(shù)可取為:，即從而殘值的加權(quán)積分為零的表達式為上式分別為殘差R的零次矩，一次矩，n-1次矩。所取權(quán)函數(shù)的總數(shù)應等于試解函數(shù)中待定參數(shù)的總數(shù)。在一次近似中，權(quán)函數(shù)為“1”，其結(jié)果與子域法相同。在二維問題中，權(quán)函數(shù)可取為：則加權(quán)積分為零的表達式為：式和式為矩量法求解試解函數(shù)中待定參數(shù)的代數(shù)方程組，根據(jù)待定參數(shù)的總數(shù)，選取相應數(shù)目的權(quán)函數(shù)，導出同樣數(shù)目的矩量法方程來求解。以上，簡要地介紹了以不同權(quán)函數(shù)形式分類的五種經(jīng)典的加權(quán)殘值法。隨著計算機的應用，加權(quán)殘值法也得到了發(fā)展，特別適合于使用計算機的現(xiàn)代加權(quán)殘值法的發(fā)展更為迅

37、速，出現(xiàn)了許多由五種經(jīng)典加權(quán)殘值法相互嫁接的新方法，如：最小二乘配點法，伽遼金配點法，最小二乘子域法，矩量配點法等等。§7.4 加權(quán)殘值法解固體力學問題固端均載梁（超靜定結(jié)構(gòu)）求梁的撓曲線。梁的撓度控制微分方程：邊界條件：處，處，a)內(nèi)部法取梁撓度的試解函數(shù)為：其中C是待求的參數(shù)。當，當，這個試解函數(shù)已全部滿足兩端固定的邊界條件，將代入控制方程中，從而內(nèi)部殘值為：（1）最小二乘法消除殘值的方程式為：由此解得：從而得梁的撓度曲線的解答為：此解即為材料力學中的精確解。梁中點的撓度為：，誤差為零。（2）配點法因試解函數(shù)中只含有一個待定參數(shù)，故只需在問題求解域內(nèi)配置一個點，相應在配點處的消除

38、殘值方程式為：配點解得（結(jié)果同前）b)混合法取，x的4次多項式函數(shù)，其中待定參數(shù)共五個。取的依據(jù)：（1）梁的撓度微分方程，為常量，則中變量x的最高次冪只能為4；（2）梁的控制微分方程式有一個，B.C有4個，共有五個方程式可確定五個待定的參數(shù)。將代入方程和B.C，則有：從中解得：于是求得的梁的撓度曲線方程為：結(jié)果同前。簡支梁受不等集度載荷（補圖）求梁的撓曲線。控制方程：B.C：處，處，子域法將梁分為兩個子域：。取試解函數(shù)可見可以滿足簡支梁的所有B.C。將分別代入兩個子域的內(nèi)部控制方程中，則有內(nèi)部殘值分別為：則消除殘值的積分表達式為：可得：從中解得：從而梁的撓曲線方程為：梁中心點處的撓度為：，殘值

39、為零（準確解答）。壓桿的臨界力兩端鉸支壓桿，受軸向力P作用（補圖），求桿不發(fā)生屈曲（失穩(wěn)）的臨界壓力。梁縱向彎曲的微分方程：式中：x截面處的彎矩；x截面處的撓度B.C：取試解函數(shù)，待定參數(shù)已滿足所有B.C。將代入控制方程中，則有內(nèi)部殘差：上式中由于待定參數(shù)，從中解得桿的臨界壓力為：（準確解）矩形等直桿的扭轉(zhuǎn)問題（補圖）桿扭轉(zhuǎn)薄膜比擬方程：式中：待求的薄膜曲面方程，即翹曲面方程（平截面假設此時不再成立）；作用于薄膜上的橫向壓力集度，為常量；薄膜中的張力，為常量。B.C：在矩形截面的周邊上，由于桿橫截面關(guān)于軸呈對稱，故取試解函數(shù)為：其中c為待定系數(shù)。顯見已滿足B.C，將代入方程中，則有內(nèi)部殘值為：

40、（c待定）利用最小二乘法求解，其消除殘值的方程式為：積分為：上式為待定參數(shù)C的一元二次方程。從中解得：（舍去零解）令：其中：剪切彈性模量，單位長度的扭轉(zhuǎn)角。將C代入中，則得薄膜的曲面方程為：對正方形截面等直扭桿，即，則截面扭轉(zhuǎn)的翹曲方程為：由此可計算出最大剪切應力在邊的中點處，其值為：在S. Timoshenko的彈性力學中，其解答，與相對誤差。§7.5 加權(quán)殘值法解場問題§7.5.1一維熱傳導問題（邱吉寶）平板兩表面溫度分別為，求沿板厚x方向的溫度場分布?？刂莆⒎址匠蹋?（二階變系數(shù)線性常微分方程） （a）B.C： （第一類B.C.） （b）式中：熱傳導系數(shù)，其值與溫度之

41、關(guān)系為如下線性形式，即：其中，均為常量。現(xiàn)引入無量綱變量，令：并令：，則原熱傳導方程和B.C可以無量綱變量表為：方程： （）B.C： （）本問題的精確解為：現(xiàn)?。ǎ┑脑嚱夂瘮?shù)為： （c）其中c為待定參數(shù)。顯然，此試解函數(shù)已滿足所有B.C（）式，將其代入方程（）中，得內(nèi)部殘差為： （d）下面分別采用五種基本方法求解。1. 配點法選為配點，令殘差在配點之處為零，即：求得參數(shù)（舍去一個不合適的解）從而得近似解為2子域法取整個區(qū)域為子域，令內(nèi)部殘差在區(qū)域內(nèi)積分為零，即：解得從而得近似解為：3. 矩量法因試解函數(shù)中只含一個待定參數(shù)，故只需使殘差的零階矩為零，從而有：解得，結(jié)果完全同子域法。4. 伽遼金法

42、取試解函數(shù)中的基函數(shù)為權(quán)函數(shù)，即：代入伽遼金消除殘差的積分方程中，有：從中解得： （舍去一個不合適的解）從而得近似解為5. 最小二乘法其權(quán)函數(shù)為：代入最小二乘法的消殘積分方程中，得：解得：（舍去一個不合適的解）從而得近似解為五種方法結(jié)果的對比見下表：方法配點法子域法（矩量法）伽遼金法最小二乘法精確解誤差（%）誤差（%）誤差（%）誤差（%）0.10.1297.90.1307.10.1297.90.12212.90.1400.250.3094.30.3133.10.3113.70.29688.10.3230.500.5790.30.5830.30.5880.20.56233.20.5810.750.8090.70.8131.20.8111.00.79680.80.8030.900.9250.10.9300.650.9290.50.92250.10.924§7.5.2 二維靜電磁場問題靜電場、磁場以及恒定電流場問題的數(shù)學描述均為橢圓型偏微分方程的邊值問題。為不失一般性，現(xiàn)考慮一內(nèi)部具有電荷源，同時具有三類B.C的二維靜電場問題?？刂品匠蹋海≒ossion方程）邊界條件：（第一類