概率論與數(shù)理統(tǒng)計第二章答案

1、第二章隨機變量及其分布1、解：設(shè)公司賠付金額為X,則X的可能值為；投保一年內(nèi)因意外死亡：20萬，概率為0.0002投保一年內(nèi)因其他原因死亡：5萬，概率為0.0010投保一年內(nèi)沒有死亡：0,概率為1-0.0002-0.0010=0.9988所以X的分布律為：0250P.000200.00100.99882、一袋中有5只乒乓球，編號為1、2、3、4、5,在其中同時取三只，以X表示取出的三只球中的最大號碼，寫出隨機變量X的分布律解：X可以取值P(X 3)P(X 4)P(X 5)3,4,5,分布律為P (一球為3號,兩球為1,2號)1 C2cTP(一球為4號，再在1,2,3中任取兩球)P(一球為5號，

2、再在1,2,3,4中任取兩球)1101 C：CT1 C42C；31067c也可列為下表X:3,4,5P:工 W _6_10,10,10放回抽樣，以X 解：任取三P(X 0)P(X 1)P(X 2)再列為下表X：0,P:2235(1)求X的分布律，(2)畫出分布律的圖形。X可能為0, 1 , 2個。3、設(shè)在15只同類型零件中有2只是次品，在其中取三次，每次任取一只，作不表示取出次品的只數(shù)，只，其中新含次品個數(shù)C1322蔡百C2C2312C13535C2C；31C135351,212135,354、進(jìn)行重復(fù)獨立實驗，設(shè)每次成功的概率為p,失敗的概率為q=1p(0<p<1)(1)將實驗進(jìn)

3、行到出現(xiàn)一次成功為止，以X表示所需的試驗次數(shù)，求X的分布律。(此時稱X服從以p為參數(shù)的幾何分布。)(2)將實驗進(jìn)行到出現(xiàn)r次成功為止，以Y表示所需的試驗次數(shù)，求Y的分布律。(此時稱Y服從以r,p為參數(shù)的巴斯卡分布。)(3)一籃球運動員的投籃命中率為45%,以X表示他首次投中時累計已投籃的次數(shù)，寫出X的分布律，并計算X取偶數(shù)的概率。解：(1)P(X=k尸qk1pk=1,2,(2)Y=r+n=最后一次實驗前r+n-1次有n次失敗，且最后一次成功P(Yrn)Cnn1qnpr1pCnndpr,n0,1,2,，其中q=1-p,或記r+n=k,則PY=k=C；1pr(1p)kr,kr,r1,P(X=k)=

4、(0.55)k10.45k=1,2P(X取偶數(shù))=P(X2k)(0.55)2k10.4511k1k1315、一房間有3扇同樣大小的窗子，其中只有一扇是打開的。有一只鳥自開著的窗子飛入了房間，它只能從開著的窗子飛出去。鳥在房子里飛來飛去，試圖飛出房間。假定鳥是沒有記憶的，鳥飛向各扇窗子是隨機的。(1)以X表示鳥為了飛出房間t飛的次數(shù)，求X的分布律。(2)戶主聲稱，他養(yǎng)的一只鳥，是有記憶的，飛飛向任一窗子的嘗試不多于一次。以Y表示這只聰明的鳥為了飛出房間試飛的次數(shù)，如戶主所說是確實的，試求Y的分布律。(3)求試飛次數(shù)X小于Y的概率；求試飛次數(shù)Y小于X的概率。解：(1)X的可能取值為1,2,3,，n

5、,PX=n=P前n-1次飛向了另2扇窗子，第n次飛了出去,2、n11=(3)萬，n=1，2,(2) Y的可能取值為1,2,3P Y=1=P 第 1次飛了出去P Y=2= P 第 12=一3P Y=3= P 第 1 ,_ 2!一 313(3) PX Y次飛向另1232次飛向了另13PY kPXk 13PY kPXk 2=i2扇窗子中的一扇，第 2次飛了出去2扇窗子，第3次飛了出去Y|Y kY |Y k全概率公式并注意到PX Y|Y 1 0注意到X,Y獨立即PX Y |Y kPY kPX kPX kY|Yk419278138Y)81調(diào)查表明在任一時刻k211112333333同上，PXYPYkPX

6、k13PYkPXkk1故PYX1PXYPXt每個設(shè)備使用的概6、一大樓裝有5個同類型的供水設(shè)備，率為0.1,問在同一時刻(1)恰有2個設(shè)備被使用的概率是多少？P(X2)C；2p2q52C2(0.1)2(0.9)30.0729(2)至少有3個設(shè)備被使用的概率是多少？33_24455P(X3)C53(0.1)3(0.9)2C4(0.1)4(0.9)C5(0.1)50.00856(3)至多有3個設(shè)備被使用的概率是多少？P(X3)C0(0.9)5C50.1(0.9)4C；(0.1)2(0.9)3C；(0.1)3(0.9)20.99954(4)至少有一個設(shè)備被使用的概率是多少？P(X1)1P(X0)10

7、.590490.409517、設(shè)事件A在每一次試驗中發(fā)生的概率為0.3,當(dāng)A發(fā)生不少于3次時，指示燈發(fā)出信號。(1)進(jìn)行了5次獨立試驗，求指示燈發(fā)出信號的概率。(2)進(jìn)行了7次獨立試驗，求指示燈發(fā)出信號的概率解：設(shè)X為A發(fā)生的次數(shù)。則X:B0.3,n.n=5,7B:“指示等發(fā)出信號“5 PBPX3C；0.3k0.75k0.163k372 PBPX3PXK1PXKk301 0.77G10.30.76G20.320.750.3538、甲、乙二人投籃，投中的概率各為0.6,0.7,令各投三次。求(1)二人投中次數(shù)相等的概率。記X表甲三次投籃中投中的次數(shù)Y表乙三次投籃中投中的次數(shù)由于甲、乙每次投籃獨立

8、，且彼此投籃也獨立。P(X=Y)=P(X=0,Y=0)+P(X=2,Y=2)+P(X=3,Y=3)=P(X=0)P(Y=0)+P(X=1)P(Y=1)+P(X=2)P(Y=2)+P(X=3)P(Y=3)=(0.4)3x(0.3)3+Cl0.6(0.4)2Cl0.7(0.3)222223C32(0.6)20.4C3(0.7)2.3(0.6)3(0.7)30.321(2)甲比乙投中次數(shù)多的概率。P(X>Y)=P(X=1,Y=0)+P(X=2,Y=0)+P(X=2,Y=1)+P(X=3)P(Y=0)+P(X=3)P(Y=1)+P(X=3)P(Y=2)=P(X=1)P(Y=0)+P(X=2,Y=

9、0)+P(X=2,Y=1)+P(X=3)P(Y=0)+P(X=3)P(Y=1)+P(X=3)P(Y=2)=C10.6(0.4)2(0.3)3C3(0.6)20.4(0.3)8_22_12_3C3(0.6)0.4C30.7(0.3)(0.6)(0.3)3(0.6)3C30.7(0.3)2(0.6)3C；(0.7)20.30.2439、有一大批產(chǎn)品，其驗收方案如下，先做第一次檢驗：從中任取10件，經(jīng)驗收無次品接受這批產(chǎn)品，次品數(shù)大于2拒收；否則作第二次檢驗，其做法是從中再任取5件，僅當(dāng)5件中無次品時接受這批產(chǎn)品，若產(chǎn)品的次品率為10%,求(1) 這批產(chǎn)品經(jīng)第一次檢驗就能接受的概率(2) 需作第二次

10、檢驗的概率(3) 這批產(chǎn)品按第2次檢驗的標(biāo)準(zhǔn)被接受的概率(4) 這批產(chǎn)品在第1次檢驗未能做決定且第二次檢驗時被通過的概率(5) 這批產(chǎn)品被接受的概率解：X表示10件中次品的個數(shù)，Y表示5件中次品的個數(shù)，由于產(chǎn)品總數(shù)很大，故XB(10,0.1),YB(5,0.1)(近似服從)(6) PX=0=0.910=0.349(7) PX<2=PX=2+PX=1=C1200.120.98C100.10.990.581(8) PY=0=0.95=0.590(9) P0<X<2,Y=0(0<XW2與Y=2獨立)=P0<XW2PY=0=0.581X0.5900.343PX=0+P0&

11、lt;XW2,Y=00.349+0.343=0.69210、有甲、乙兩種味道和顏色極為相似的名酒各4杯。如果從中挑4杯，能將甲種酒全部挑出來，算是試驗成功一次。(10) 人隨機地去猜，問他試驗成功一次的概率是多少？(11) 人聲稱他通過品嘗能區(qū)分兩種酒。他連續(xù)試驗10次，成功3次。試問他是猜對的，還是他確有區(qū)分的能力（設(shè)各次試驗是相互獨立的。）11解：（1）P（一次成功戶士C8470一3136973.(2)P(連續(xù)試驗10、次,成功3次尸Ci3o(y0)3(瑞103000此概率太小，按實際推斷原理，就認(rèn)為他確有區(qū)分能力。11.盡管在幾何教科書中已經(jīng)講過用圓規(guī)和直尺三等分一個任意角是不可能的。但

12、每年總有一些“發(fā)明者”撰寫關(guān)于用圓規(guī)和直尺將角三等分的文章。設(shè)某地區(qū)每年撰寫此類文章的篇數(shù)X服從參數(shù)為6的泊松分布。求明年沒有此類文章的概率。解：X6.661PX0e6F0.0025e12.一電話交換臺每分鐘收到呼喚的次數(shù)服從參數(shù)為4的泊松分布。求(1)每分鐘恰有8次呼喚的概率。(2)某一分鐘的呼喚次數(shù)大于3的概率。r8r!r9門0.0511340.0213630.029771(2) PX13.某一公安局在長度為t的時間間隔內(nèi)收到的緊急呼救的次數(shù)X服從參數(shù)為(1/2 ) t的泊松分布，而與時間間隔的起點無關(guān)(時間以小時計)(1 )求某一天中午(2)求某一天中午12時至下午3時沒有收到緊急呼救的

13、概率。12時至下午5時至少收到1次緊急呼救的概率。解： - X :23- 一 P X 0 e 22c 5一P X 120.2231k 匚 k c 2.52.5 ek 1 k!0.9183PX40.56653014、解：X(2t)(1)、P X(2)、10分鐘時kek!1t 一小時,60.23880.5故0 2t2t e0.5t 0.34657 (小時)所以t0.34657*6020.79(分鐘)15、解:16X 10X 10、解：P10 5000k0.00155000 k1 0.00150.86221000, p0.0001,np 0.10!1!1 0.99530.004717、解:設(shè)X服從0

14、:1分布,其分布率為 P Xk1 kk p 1 p ,k 0,1 ,求 X 的分布函數(shù)，并作出其圖形。解一：如圖:00xF0x1xP1X01pk1pp0,1X的分布函數(shù)為:18.在區(qū)間0,a上任意投擲一個質(zhì)點，以X表示這個質(zhì)點的坐標(biāo)。設(shè)這個質(zhì)點落在0, a中任意小區(qū)間內(nèi)的概率與這個小區(qū)間的長度成正比例,試求X的分布函數(shù)。解：當(dāng)X 0時。是不可能事件，F(xiàn) X當(dāng)0 xa時,P 0 X x kxX a是必然事1ka1k-xP 0 X x kx ax則 Fx P X x P X 0 P 0 X x a當(dāng)x a時，X x是必然事件，有F x P X x 10 x 0xF x 0 x aa1 x a19、

15、以X表示某商店從早晨開始營業(yè)起直到第一顧客到達(dá)的等待時間X的分布函數(shù)是(以分計)，F(xiàn)x (x)0.4 x1 e0求下述概率：(1) P至多3分鐘; (2) P 至少4分鐘;(3) P3分鐘至分鐘之間;(4) P至多3分鐘或至少4分鐘; (5) P恰女? 2.5分鐘解：(1 ) P至多 3 分鐘= P XW 3 = Fx (3) 1(2)(3)(4)P 至少 4 分鐘 P (X >4) = 1 Fx (4)1.2 e1.6 eP3 分鐘至 4 分鐘之間= P 3<X<4= Fx (4) Fx (3)1.21.6e eP至多3分鐘或至少4分鐘= P至多3分鐘+P至少4分鐘(5)=

16、1 eP恰女F 2.5 分鐘= P (X=2.5)=01.21.6 e20、設(shè)隨機變量X的分布函數(shù)為Fx (x)0,xIn x,11,x1, x e, e.求(1)P(X<2),P0<X<3,P(2<X<%);(2)求概率密度fx(x).解：(1)P(X<2)=Fx(2)=ln2P(2XFx,P(0<X<3)=Fx(3)-Fx(0)=1,In-5In2In-524.11x(2)f(x)F'(x)xJx0,其它21、設(shè)隨機變量X的概率密度2.1x21f(x)e,f(x)為其它x0x1(2)f(x)2x1x20其他求X的分布函數(shù)F (x),并

17、作出( 解：(1 )當(dāng)一1 <x<1 時：2)中的f (x)與F (x)的圖形。1F(x) 0dx22,1 x2 dx汽1x1 x2 汽1arcsinx2 ix.1 n2 '11.arcsin x 2當(dāng) 1<x 時：F(x)0 dx21 92 11支2 ,x dxx0 dx1故分布函數(shù)為：0F(x) x,1汽11.arcsin x 汽解:(2) F(x)P(Xx)f (t)dt0時，F(xiàn)(x)0 dtx 1時，F(xiàn)(x)0dtx 2時，F(xiàn)(x)xtdt01x時，F(xiàn)(x)0dttdt2 x Tx1(2t)dt2x0dtt dt(2 t)dtx0dt 12故分布函數(shù)為02xF

18、(x)22x(2)中的f(x)與F(x)的圖形如下F(x)22、由統(tǒng)計物理學(xué)知，分子運動速度的絕對值布，其概率密度為X服從邁克斯韋爾(Maxwell)分Ax2ebx0其它其中bm/2kT,確定常數(shù)Aok為Boltzmann常數(shù),T為絕對溫度,m是分子的質(zhì)量。試xdx1xdx0x2Ax2ebdxAb2xex2石dAb2x2xd(eb)Ab一xe2x2T|0Ab2X2ebdxx2Ab6ebdx20/b2J2xb2bxAb2、.b2102一e2u2du當(dāng)t0時，F(xiàn)tdt當(dāng)t0時,Ftdte0241x訴dtFtte2410,te訪P50T10010050241e50F100100241e50100或P

19、50T100ftdt50100ie50241t50100241dte育e24123、某種型號的電子的壽命X（以小時計）具有以下的概率密度:1000f(x)丁0x1000其它現(xiàn)有一大批此種管子（設(shè)各電子管損壞與否相互獨立）2只壽命大于1500小時的概率是多少？。任取5只，問其中至少有解：一個電子管壽命大于1500小時的概率為P(X1500)1P(X1500)15001000,dx10002X111000(-)1-)-13732令Y表本任取5只此種電子管中壽命大于1500小時的個數(shù)”。則YB（5,），1P(Y 2) 1 P(Y 2) 1 P(Y 0) P(Y 1)1(-)

20、31214C5一（315211232151一一3524324324、設(shè)顧客在某銀行的窗口等待服務(wù)的時間X（以分計）服從指數(shù)分布，其概率密度為:12SFx(x)e5,x050,其它某顧客在窗口等待服務(wù)，若超過10分鐘他就離開。他一個月要到銀行5次。以Y表示一個月內(nèi)他未等到服務(wù)而離開窗口的次數(shù)，寫出Y的分布律。并求P（Y>1）。解：該顧客“一次等待服務(wù)未成而離去”的概率為xx1TT2P(X10)10fx(x)dx110e5dxe510e2因此YB(5,e2).即P(Yk)5e2k(1e2)5k,(k1,2,3,4,5k25155P(Y1)1P(Y1)1P(Y0)1(1e2)51(10 K 5

21、其他要方程有根，就是要 K滿足（4K）24X 4X （K+2） 0)51(10.1353363)57.389'''10.8677510.48330.5167.K的分布密度為:f(K)25、設(shè)K在(0,5)上服從均勻分布，求方程4x24xKK20有實根的概解不等式，得K>2時，方程有實根。P(K 2) f(x)dx226、設(shè) XN (3.2 2)51dx250 dx5(1 )求 P (2<Xw 5),P(4)<XW10),P|X|>2,P(X>3)若XN(g(2),則P(“Xw3)=()-(T(T5323P(2<X<5)=e-2-

22、2-=力(1)e(0.5)=0.84130.3085=0.532810343P(-4<X<10)=()234:3=制3.5)-M-3.5)=0.99980.0002=0.9996P(|X|>2)=1-P(|X|<2)=1-P(2<P<2).2323=I2 2=14(0.5)+4(2.5)=10.3085+0.0062=0.69773 3P(X>3)=1-P(X<3)=1()=1-0.5=0.5(2)決定C使得P(X>C)=P(XWC)P(X>C)=1P(X<C)=P(XwC)得P(X<C)=3=0.5又P(X<C)=

23、4C2W0.5，查表可得號且0C=32、27、某地區(qū)18歲的女青年的血壓(收縮區(qū)，以mm-Hg計)服從N(110,12)在該地區(qū)任選一18歲女青年，測量她的血壓X。求(1)P(X<105),P(100<XW120).(2)確定最小的X使P(X>x)&0.05.解：(1) P(X105)(J10)(0.4167)1(0.4167)10.66160.3384P(100X120)(1201210)(10012110)電(1)2(-5-)12(0.8333)120.797610.5952_x110x110(2) P(Xx)1P(Xx)1(7210)0.05(210)0.95.

24、x110查表得x/1.645.x11019.74129.74.故最小的X129.74.12的正態(tài)分布。28、由某機器生產(chǎn)的螺栓長度（cm）服從參數(shù)為科=10.05,0=0.06規(guī)定長度在范圍10.05±0.12內(nèi)為合格品，求一螺栓為不合格的概率是多少?設(shè)螺栓長度為XPX不屬于（10.05-0.12,10.05+0.12）=1=1-P (10.05 0.12< X<10.05+0.12)(10.05 0.12) 10.05(10.05 0.12) 10.050.060.06=1=1M2) ()( 2)0.9772 0.0228=0.045629、一工廠生產(chǎn)的電子管的壽命X

25、（以小時計）服從參數(shù)為科=160（T（未知）的正態(tài)分布，若要求 P (120 <X<200 = =0.80P,允許（T最大為多少?200)=200 160120 160(12040400.80（T又對標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布有小上式變?yōu)?也(T(x)=1 Mx)(T(T(T400.80(T解出再查表,”便得（T得型（J1.281400.9(T(T篇31.2530、解:V N(120,22)120 N(0,1)則p=PV 118,122V 118 V 1222P1 X 2(10.8413) 0.31742(1p)3 0.320431、解:F(x)0.20.8x/30,x,0x30,x3032、解

26、：Qf(x)0,g(x)0,0a1且 af(x) (1 a)g(x) dx aaf(x)(1a)g(x)0f(x)dx(1a)g(x)dxa(1a)1所以af(x)(133、設(shè)隨機變量X:2,P-'5'a)g(x)為概率密度函數(shù)的分布律為：-1-6求Y=X2*的分布律Y=X2：(2)2P-再把XY：P:0,1,311115，15，30(1)2(0)2(1)2(3)211511302的取值相同的合并，并按從小到大排列，就得函數(shù)534、設(shè)隨機變量1411615X在(0,1)91130上服從均勻分布Y的分布律為:(1)求Y=eX的分布密度的分布密度為：f(x)0x1x為其他Y=g(X

27、)=eX是單調(diào)增函數(shù)(1, e)=1X=h(Y)=lnY,反函數(shù)存在“=ming(0),g(1)=minmaxg(0),g(1)=max(1,e)=eY的分布密度為：”y)fh(y)|h'(y)|y為其他(2)OOY的分布密度為：6(y)fh(y)|h'(y)l1上-e22y為其他35、設(shè)XN(0,1)(1)求Y=eX的概率密度x23=maxg(一°°),g(+oo)=max(0,+oo)=+ooY的分布密度為：(Iny) J -y 1)(3)求Y=| X |的概率密度。 Y 的分布函數(shù)為Fy ( y)=P (Y< y )=P ( | X | <

28、y)當(dāng) y<0 時，F(xiàn)y ( y)=0y 1當(dāng) y>0 時，F(xiàn)y ( y)=P (| X | <y )=P (-y<X<y)=-ey -，2 nMy)fh(y)|h'(y)l1eF110y yy為其他(2)求 在這里，Y=2X2+1Y=2X2+1設(shè)Y的分布函數(shù)是的概率密度。在(+OO, -oo )不是單調(diào)函數(shù)，沒有一般的結(jié)論可用。Fy (y),0Fy(y)=P(YWy尸P(2X2+1Wy)=P721當(dāng)y<1時：Fy(y)=02x2 dx當(dāng)y>i時：Fy(y)P故Y的分布密度少(y)是：當(dāng)y<1時：巾(y)=Fy(y)'=(0)&#

29、39;=0當(dāng) y>1 時，少(y)= Fy ( y)'=x22 dxy21x22dx當(dāng)y>0時：3(y)=Fy(y)'=x22dx2y_T36、( 1 )設(shè)隨機變量XY=g (X )= X 3的概率密度為f(x),求Y=XY的概率密度為：當(dāng) yw。時：3(y)= Fy ( y)' = (0)' =0的概率密度。是X單調(diào)增函數(shù)，1X=h(Y)=Y§,反函數(shù)存在,=ming(8),g(+oo)=min(0,+oo)=-oo=maxg(一°°),g(+oo)=max(0,+oo)=+oo法一： X的分布密度為：f(x)0 -1

30、-e y-1-e y , y 02.y 2 y0y 0法二：YFY(y)P(Y y) P( .,y Xy) P(X , y) P(X.y-0 e xdx 0 1 e y , y 0-1-e yYfY (y) = 2.y 0y 0.y 0.37、設(shè)X的概率密度為2xf(x)0 x汽x為其他Y的分布密度為:112My尸fh(h)Ih'(y)i=f(y3)y,y，但y03(0)0(2)設(shè)隨機變量X服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，求Y=X2的概率密度。Y=x2是非單調(diào)函數(shù)x<0時y=x2反函數(shù)是x弋yx<0時y=x2x5YfY(y)=f(、y)(y)f(.y)(.y)求Y=sinX的概率密度。Fy(y)=P(Y<y)=P(sinX<