《污染氣象學(xué)》課件：第二章1

1、2.1 梯度輸送理論梯度輸送理論K理論理論 (重點(diǎn)重點(diǎn)擴(kuò)散方程兩種解的基本假定與特點(diǎn)擴(kuò)散方程兩種解的基本假定與特點(diǎn)) 2.2 湍流擴(kuò)散的統(tǒng)計(jì)理論湍流擴(kuò)散的統(tǒng)計(jì)理論 (重點(diǎn)重點(diǎn)泰勒公式的導(dǎo)出泰勒公式的導(dǎo)出,擴(kuò)散參數(shù)和擴(kuò)散時(shí)間關(guān)系擴(kuò)散參數(shù)和擴(kuò)散時(shí)間關(guān)系)2.3 湍流擴(kuò)散相似理論湍流擴(kuò)散相似理論 2.4 各種擴(kuò)散理論的比較各種擴(kuò)散理論的比較 第二章小結(jié)（第二章小結(jié)（ 各種擴(kuò)散理論的比較）各種擴(kuò)散理論的比較）第二章第二章 湍流擴(kuò)散基本理論湍流擴(kuò)散基本理論 大氣總處于湍流運(yùn)動(dòng)狀態(tài) 污染物排入大氣，存在濃度梯度，不均勻分布。 污染物隨氣流（風(fēng)）整體輸送，湍流混合作用將清潔空氣卷入污染煙氣，同時(shí)將污染煙氣帶

2、到周圍大氣中，通過湍流擴(kuò)散、耗散、稀釋，空氣污染物濃度再分布。 空氣污染物的散布是在大氣邊界層湍流場(chǎng)中進(jìn)行的，空氣污染物的散布過程就是大氣輸送與擴(kuò)散的結(jié)果。 空氣污染物散布的理論處理就是從大氣湍流擴(kuò)散的基本理論出發(fā)，對(duì)空氣污染物散布過程作正確的數(shù)學(xué)物理估算。 對(duì)大氣污染物散布過程進(jìn)行理論處理： 可得污染物濃度計(jì)算公式進(jìn)行預(yù)測(cè)和估算。 描述大氣輸送與擴(kuò)散有兩種基本途徑，即歐拉方法和拉格朗日方法。 1）歐拉方法是相對(duì)于固定坐標(biāo)系描述污染物的輸送與擴(kuò)散； 2）拉格朗日方法是跟隨流體移動(dòng)的粒子來描述污染物的濃度及其變化。u 歐拉方式，一種是傳統(tǒng)的做法，即在氣象塔的固定點(diǎn)上，當(dāng)氣流流過風(fēng)杯風(fēng)速表時(shí)測(cè)量風(fēng)

3、和湍流。測(cè)量?jī)x器不隨空氣移動(dòng)。u 拉格朗日方式，跟隨標(biāo)記粒子1或2移動(dòng)穿過湍流場(chǎng)的測(cè)量稱之為拉格朗日方式的測(cè)量。 污染物的擴(kuò)散是拉格朗日形式的過程，但測(cè)量往往采用歐拉方式。 歐拉方法處理，是相對(duì)于固定坐標(biāo)系描述污染物的輸送與擴(kuò)散； 拉格朗日方法則是由跟隨流體移動(dòng)的粒子來描述污染物的濃度及其變化。 兩種方法采用不同類型的描述空氣污染物濃度的數(shù)學(xué)表達(dá)式，都能正確地描述湍流擴(kuò)散過程。然而，每種方法都有一定的困難，從而影響到對(duì)空氣污染物散布的精確模擬。 歐拉方法易于測(cè)量，可以有效地預(yù)測(cè)污染物濃度，但是，由雷諾方程導(dǎo)得的歐拉擴(kuò)散方程組是不閉合的，為了求解必須采用適當(dāng)?shù)拈]合方案并由此帶來一系列的技術(shù)難點(diǎn)和

4、問題。 歐拉方法的主要問題和困難就是有個(gè)閉合問題。 拉格朗日方法的數(shù)學(xué)處理比歐拉方法容易些，不存在閉合問題。 但不易精確確定所需的粒子統(tǒng)計(jì)量。 研究平均運(yùn)動(dòng)規(guī)律，形成了湍流半經(jīng)驗(yàn)理論； 研究脈動(dòng)運(yùn)動(dòng)規(guī)律，形成了湍流統(tǒng)計(jì)理論。 采用不同的方法，形成不同的擴(kuò)散理論 （三種大氣擴(kuò)散基本理論） 1）梯度輸送理論（K理論) 2）統(tǒng)計(jì)理論 3）相似理論 應(yīng)用于實(shí)際的是梯度輸送理論和統(tǒng)計(jì)理論。 實(shí)際的大氣擴(kuò)散模式主要是由梯度輸送理論推導(dǎo)出來的。 梯度輸送理論（梯度輸送理論（K理論）理論） 德國(guó)科學(xué)家德國(guó)科學(xué)家菲克菲克，在，在1855年發(fā)表了一篇題為年發(fā)表了一篇題為“論擴(kuò)散論擴(kuò)散”的著名論文。在這篇論文中，他

5、首先的著名論文。在這篇論文中，他首先提出了梯度擴(kuò)散理論。他把這個(gè)理論表述為：提出了梯度擴(kuò)散理論。他把這個(gè)理論表述為：“假定食鹽在其溶劑中的擴(kuò)散定律與在導(dǎo)體中發(fā)假定食鹽在其溶劑中的擴(kuò)散定律與在導(dǎo)體中發(fā)生的熱擴(kuò)散相同，是十分自然的。生的熱擴(kuò)散相同，是十分自然的?！彼且痪S的它是一維的大氣擴(kuò)散方程式，是經(jīng)典的熱傳導(dǎo)方程式。大氣擴(kuò)散方程式，是經(jīng)典的熱傳導(dǎo)方程式。 湍流梯度輸送理論的基本假定是：湍流梯度輸送理論的基本假定是：由湍流所由湍流所引起的局地的某種屬性的通量與這種屬性的局地引起的局地的某種屬性的通量與這種屬性的局地梯度成正比，通量的方向與梯度方向相反，比例梯度成正比，通量的方向與梯度方向相反，比

6、例系數(shù)系數(shù) K 稱為湍流交換系數(shù)。稱為湍流交換系數(shù)。 統(tǒng)計(jì)理論統(tǒng)計(jì)理論 泰勒泰勒是湍流統(tǒng)計(jì)理論的創(chuàng)始人之一。他在是湍流統(tǒng)計(jì)理論的創(chuàng)始人之一。他在1921 年發(fā)表的論文中，首先應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)的方法來研究湍流年發(fā)表的論文中，首先應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)的方法來研究湍流擴(kuò)散問題，提出了著名的泰勒公式。它把描寫湍流的擴(kuò)散問題，提出了著名的泰勒公式。它把描寫湍流的擴(kuò)散參數(shù)擴(kuò)散參數(shù) Y2(t)，和另一統(tǒng)計(jì)特征量相關(guān)系數(shù)，和另一統(tǒng)計(jì)特征量相關(guān)系數(shù) R 建立建立起關(guān)系，只要能找到相關(guān)系數(shù)的具體函數(shù)，通過積分起關(guān)系，只要能找到相關(guān)系數(shù)的具體函數(shù)，通過積分就可求出擴(kuò)散參數(shù)就可求出擴(kuò)散參數(shù)Y2(t)，污染物在湍流中擴(kuò)散問題就，污染物

7、在湍流中擴(kuò)散問題就得到解決。得到解決。 薩頓薩頓首先找到了相關(guān)系數(shù)的具體表達(dá)式，應(yīng)用泰首先找到了相關(guān)系數(shù)的具體表達(dá)式，應(yīng)用泰勒公式，提出了解決污染物在大氣中擴(kuò)散的實(shí)用模式，勒公式，提出了解決污染物在大氣中擴(kuò)散的實(shí)用模式，成為這一領(lǐng)域的先驅(qū)者。成為這一領(lǐng)域的先驅(qū)者。 高斯煙流模式高斯煙流模式是在大量實(shí)測(cè)資料分析的基礎(chǔ)上，是在大量實(shí)測(cè)資料分析的基礎(chǔ)上，應(yīng)用應(yīng)用統(tǒng)計(jì)理論得到的統(tǒng)計(jì)理論得到的。它是目前應(yīng)用較廣的模式。它是目前應(yīng)用較廣的模式。 相似理論相似理論 湍流相似擴(kuò)散理論，最早始于英國(guó)科學(xué)家湍流相似擴(kuò)散理論，最早始于英國(guó)科學(xué)家理查理查遜和泰勒遜和泰勒。后來由于許多科學(xué)家的努力，特別是俄。后來由于許

8、多科學(xué)家的努力，特別是俄國(guó)科學(xué)家國(guó)科學(xué)家莫寧莫寧的貢獻(xiàn)，使湍流擴(kuò)散相似理論得到很的貢獻(xiàn)，使湍流擴(kuò)散相似理論得到很大發(fā)展。大發(fā)展。 湍流擴(kuò)散相似理論的基本觀點(diǎn)是，湍流擴(kuò)散相似理論的基本觀點(diǎn)是，湍流由許多湍流由許多大小不同的湍渦所構(gòu)成，大湍渦失去穩(wěn)定分裂成小大小不同的湍渦所構(gòu)成，大湍渦失去穩(wěn)定分裂成小湍渦，同時(shí)發(fā)生了能量轉(zhuǎn)移，這一過程一直進(jìn)行到湍渦，同時(shí)發(fā)生了能量轉(zhuǎn)移，這一過程一直進(jìn)行到最小的湍渦轉(zhuǎn)化為熱能為止最小的湍渦轉(zhuǎn)化為熱能為止。 從這一基本觀點(diǎn)出發(fā)，利用量綱分析的理論，從這一基本觀點(diǎn)出發(fā)，利用量綱分析的理論，建立起某種統(tǒng)計(jì)物理量的普適函數(shù)，再找出普適函建立起某種統(tǒng)計(jì)物理量的普適函數(shù)，再找出

9、普適函數(shù)的具體表達(dá)式，從而解決湍流擴(kuò)散問題。我們把數(shù)的具體表達(dá)式，從而解決湍流擴(kuò)散問題。我們把這種理論稱為相似擴(kuò)散理論。這種理論稱為相似擴(kuò)散理論。 1、半經(jīng)驗(yàn)理論： 按照歐拉方法處理擴(kuò)散問題，通常是遵循梯度輸送理論的概念和思路實(shí)施的。 梯度輸送理論處理空氣污染物散布的基本思路,就是利用湍流半經(jīng)驗(yàn)理論，將速度場(chǎng)的脈動(dòng)量與平均量聯(lián)系起來。 湍流半經(jīng)驗(yàn)理論的一個(gè)基本假定是：由湍流引起的動(dòng)量通量與局地風(fēng)速梯度成正比，如比例系數(shù)K即湍流交換系數(shù)亦稱湍流擴(kuò)散系數(shù)。zukwu為流體密度為流體密度式中Ksx、Ksy、Ksz分別表示x、y、z三個(gè)方向的比例系數(shù)，即任意物理量（S）的脈動(dòng)值與該特征量的平均值的梯度

10、成線性比例關(guān)系。 zSKSwySKSxSKSuszsysx推廣用于任意物理量 S，則有： 湍流的半經(jīng)驗(yàn)理論，是根據(jù)一些假設(shè)及實(shí)驗(yàn)結(jié)果建立湍流應(yīng)力與平均速度梯度之間的關(guān)系，從而建立起湍流運(yùn)動(dòng)的封閉方程組。半經(jīng)驗(yàn)理論在理論上有很大的局限性和缺陷，但在一定條件下往往能夠得出與實(shí)際符合得較滿意的結(jié)果，因此在工程技術(shù)中得到廣泛的應(yīng)用。 2、湍流擴(kuò)散問題： 由湍流運(yùn)動(dòng)引起的污染物局地質(zhì)量通量輸送與污染物的平均濃度梯度成正比，如 Kx、Ky、Kx則分別為x、y、z三個(gè)方向的湍流擴(kuò)散系數(shù)，故稱K理論。這就是梯度輸送理論（也稱K理論）的基本關(guān)系式，也是導(dǎo)出湍流擴(kuò)散方程的基礎(chǔ)。zqKwqyqKvqxqKuqzyx

11、1湍流擴(kuò)散方程湍流擴(kuò)散方程 湍流擴(kuò)散方程實(shí)質(zhì)上是流體中擴(kuò)散物質(zhì)質(zhì)量守恒定律的一種形式。因此可以根據(jù)連續(xù)方程，將式中的流體密度換成擴(kuò)散物質(zhì)的濃度q而得 )()()(zwqyqxuqtq（2.1）湍流擴(kuò)散方程的另一推導(dǎo)方法： 湍流擴(kuò)散方程實(shí)質(zhì)上是流體中擴(kuò)散物質(zhì)質(zhì)量守恒定律的一種形式。 利用質(zhì)量守恒定律：分析小體元由于平均運(yùn)動(dòng)和湍流擴(kuò)散而發(fā)生的物質(zhì)交換。 取微小體積dxdydz，研究其中由于 平均流動(dòng)和湍流擴(kuò)散而產(chǎn)生的物質(zhì) 交換情況。 單位時(shí)間流入質(zhì)量（左邊）： 單位時(shí)間流出質(zhì)量（右邊）：沿x方向污染物凈變化量(流入流出)：uqudydzdydzdxxququdxdydzqux同理：y方向凈變化量：

12、 z方向凈變化量：?jiǎn)挝粫r(shí)間微元里總變化量為：另一方面，微元內(nèi)原有的污染物質(zhì)量為 qdxdydz單位時(shí)間內(nèi)的變化量（即變化率）為：由質(zhì)量守恒得：dxdydzqvydxdydzqwzdxdydzzqwyqvxqudxdydztqqwzqvyquxtq 上述為連續(xù)方程 考慮由湍流引起的速度脈動(dòng)和濃度漲落，即將速度和濃度寫為平均值與脈動(dòng)值之和)()()(zwqyqxuqtqwwwuuuqqq（2.1）(2.2)代入，取平均，整理得：類比分子擴(kuò)散： Kx, Ky, Kz為湍流擴(kuò)散系數(shù)zqKqwyqKqxqKquzyxzqwyqxquzqwyqxqutqzqwyqxquzqwyqxqutq(2.3)局地變

13、化平流輸送項(xiàng)湍流擴(kuò)散項(xiàng)u或此式右端項(xiàng)的意義是，單位時(shí)間通過單位面積向x，y，z方向輸送的擴(kuò)散物質(zhì)的平均質(zhì)量，即局地質(zhì)量通量。運(yùn)用梯度輸送理論的閉合形式，對(duì)湍流脈動(dòng)量用平均量表示，即有)()()(zqwyqxqudtqd式中 為污染物的平均濃度以毫克/米3表示；Kx、Ky、Kz分別表示坐標(biāo)x、y、z方向的湍流擴(kuò)散系數(shù)。 （2.4）式即為根據(jù)梯度輸送理論導(dǎo)出的普遍形式湍流擴(kuò)散方程，它說明流體中某物質(zhì)的散布是由湍流擴(kuò)散所引起的。 這樣，對(duì)大氣擴(kuò)散問題的處理就成為在一定的邊界條件下求解方程（2.4）的問題，這就是K理論發(fā)展的推動(dòng)力之一。)()()(zqKzyqKyxqKxdtqdzyxq(2.4)二二

14、 擴(kuò)散方程的兩種解擴(kuò)散方程的兩種解 為處理大氣擴(kuò)散問題，需求解擴(kuò)散方程，一個(gè)主要問題: 如何定 Kx、Ky、Kz假定和簡(jiǎn)化: )()()(zqKzyqKyxqKxdtqdzyx首先取最簡(jiǎn)單的情況，即假設(shè)流場(chǎng)在三個(gè)方向的擴(kuò)散系數(shù)Kx、Ky、Kz為常數(shù)（即斐克擴(kuò)散情形）； 若取坐標(biāo)系使x軸與平均風(fēng)向一致，z軸垂直向上，則有 ，(2.4) 簡(jiǎn)化為： 若平均風(fēng)速很小，則（2.5)式可進(jìn)步簡(jiǎn)化得此式表明:在給定條件下，可求解（2.5）式或（2.6）式。0w222222zqKyqKxqKxqutqzyx222222zqKyqKxqKtqzyx(2.5)(2.6)zqwyqxquzqwyqxqutq（一）瞬

15、時(shí)點(diǎn)源的解（一）瞬時(shí)點(diǎn)源的解1.無風(fēng)瞬時(shí)點(diǎn)源的解無風(fēng)瞬時(shí)點(diǎn)源的解 假定大氣是靜止的，即 ， 湍流擴(kuò)散系數(shù)為常數(shù)，并且各向同性，即Kx=Ky=Kz=常數(shù)。若在t=0時(shí)，在坐標(biāo)原點(diǎn)釋放Q（克）的污染物質(zhì)，則（2.6）式可化為 如果排放出來的污染物質(zhì)具有保守性質(zhì)，即在擴(kuò)散過程中既不增加也不損失，在整個(gè)空間中總量保持不變，即滿足連續(xù)性條件。)(222222zqyqxqKtq(2.7) Qdxdydzq0wu寫成球坐標(biāo)形式寫成球坐標(biāo)形式)(222rqrrrKtq2222zyxr取邊界條件：1）當(dāng) 時(shí)： 時(shí) 時(shí) 2）當(dāng) 時(shí) 條件1）表示除了在排放源處（原點(diǎn)）空間任一點(diǎn)在開始排放的瞬間，污染物尚未擴(kuò)散到該點(diǎn)

16、之前，濃度為零。條件2）表示當(dāng)擴(kuò)散時(shí)間足夠長(zhǎng)時(shí)，污染物質(zhì)向無窮空間擴(kuò)散，各點(diǎn)濃度趨近于零。0t0r0q0rqt0q在以上條件下，擴(kuò)散方程（2.7）式的解為： 上式表示了一個(gè)在原點(diǎn)（0，0，0），t=0時(shí)刻瞬間噴放的煙團(tuán)，在空間某點(diǎn)（x、y、z）處，在t=t時(shí)刻所造成的濃度。 說明一個(gè)煙團(tuán)隨時(shí)間膨脹稀釋過程，其濃度在同一時(shí)間隨距離增加按指數(shù)律減小，并呈三維正態(tài)分布。 KtrKtQzyxKtKtQtzyxq4exp)( 8)(41exp)( 8),(22/32222/3(2.8)令于是（2.8）可寫成下面的形式 tKtKtKzzyyxx2,2,2222)222(exp)2(),(2222222/3

17、zyxzyxzyxQtzyxq(2.9) (2.9)表明：瞬時(shí)點(diǎn)源的濃度正比于源強(qiáng)Q，隨距離增加按指數(shù)規(guī)律遞減， 為x，y，z方向上濃度分布的標(biāo)準(zhǔn)差，稱為擴(kuò)散參數(shù)。 由于無風(fēng)，煙團(tuán)僅在原點(diǎn)膨脹擴(kuò)散，(2.9)又稱為靜止煙團(tuán)模式。)222(exp)2(),(2222222/3zyxzyxzyxQtzyxqzyx,(2.9)2、有風(fēng)瞬時(shí)點(diǎn)源的解、有風(fēng)瞬時(shí)點(diǎn)源的解 大氣總是處于運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，取一個(gè)隨平均風(fēng)速沿x軸移動(dòng)的坐標(biāo)系，如圖所示。0u 圖中在原坐標(biāo)系中坐標(biāo)為（x，y，z）的一點(diǎn)，在移動(dòng)坐標(biāo)系中坐標(biāo)是,),(zyt ux 有風(fēng)時(shí)將源點(diǎn)放在移動(dòng)坐標(biāo)系的原點(diǎn)上，則有風(fēng)瞬時(shí)點(diǎn)源的解便可由無風(fēng)瞬時(shí)點(diǎn)源的一般

18、解得到。在移動(dòng)坐標(biāo)系中瞬時(shí)源的解和（2.9）式的形式一樣。 移動(dòng)坐標(biāo)相對(duì)固定坐標(biāo)而言，y，z未改變，x變成了 ，把移動(dòng)坐標(biāo)換為固定坐標(biāo)表示，則得有風(fēng)瞬時(shí)點(diǎn)源的解： 上式稱為移動(dòng)煙團(tuán)模式。實(shí)用估計(jì)用此式。tux2222222/3222)(exp)2();,(zyxzyxzyt uxQtzyxq(2.10)（二）有風(fēng)條件下連續(xù)點(diǎn)源的解（二）有風(fēng)條件下連續(xù)點(diǎn)源的解1）坐標(biāo)： 原點(diǎn)取在煙囪口上，取平均風(fēng)沿x軸方向，即z軸垂直向上，y軸水平向與x軸相垂直。2）有風(fēng)條件下，平流輸送項(xiàng)比x方向上的湍流擴(kuò)散項(xiàng)的作用大得多，即有 ，x方向的湍流擴(kuò)散項(xiàng)可略去。3）Kx=Ky=Kz=K為常數(shù)4）定常條件 ， 于是擴(kuò)

19、散方程（2.5）式變?yōu)?2xqKxqux0tq222222zqKyqKxqKxqutqzyx (2.11)邊界條件：連續(xù)條件： 源強(qiáng)Q2222zqKyqKxquzy.,0; 0,qzyxqzyx時(shí)時(shí) Qqdydzu類似，(2.11)的解為： （2.12）上式是假定污染物在無界空間中擴(kuò)散，不受任何界面限制的條件下導(dǎo)出的，稱為無界情況下的擴(kuò)散模式。222222exp2),(zyzyzyuQzyxq如圖，連續(xù)點(diǎn)源濃度在下風(fēng)方的y，z方向濃度均是呈正態(tài)分布。隨下風(fēng)距離x增加， 也增大，污染物散布范圍不斷擴(kuò)大，濃度不斷降低。zy,（上述理論結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果一致）實(shí)際為有界擴(kuò)散 實(shí)際應(yīng)用中，有時(shí)用煙流寬度和高度表示水平和鉛直擴(kuò)散范圍。 煙流寬度2y0定義為沿著y軸，污染物濃度下降到等于軸線濃度的1/10處的兩點(diǎn)間的距離。 當(dāng)污染物沿y方向濃度分布為正態(tài)分布時(shí)，坐標(biāo)y處的濃度q可用下式表示 ： q0為中心軸線上的濃度。2202expyyqqyyyyyyeyqqy3 . 4215. 21