拉格朗日中值定理

1、一 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理，又被稱為有限增量定理，是微積分中的一個基本定理。拉格朗日中值公式的形式其實就是泰勒公式的一階展開式的形式。在現(xiàn)實應(yīng)用當中，拉格朗日中值定有著很重要的作用。拉格朗日中值定理是所有的微分中值定理當中使用最為普遍的定理。拉格朗日中值定理的形成和發(fā)展過程都顯示出了數(shù)學當中的一個定理的發(fā)展是一個推翻陳舊，出現(xiàn)創(chuàng)新的一個進程。發(fā)現(xiàn)一些新的簡單的定理去替代舊的復(fù)雜的定理，就是由初級走向高級。用現(xiàn)代的語言來描述，在一個自變量x從x變?yōu)閤+1的過程中，如果函數(shù)f(x)本身就是一個極限值，那么函數(shù)f(x+1)的值也應(yīng)該是一個極限值，其值就應(yīng)該和f(x)的值近似相等，即f(x+

2、1)-f(x)10這就是非常著名的費馬定律，當一個函數(shù)f(x)在x=a處可以取得極值，并且函數(shù)是可導(dǎo)函數(shù)，則f'x=0。著名學者費馬再給出上述定理時，此時的微積分研究理論正處于初始階段，并沒有很成熟的概念，沒有對函數(shù)是否連續(xù)或者可導(dǎo)作出限制，因此在現(xiàn)代微積分理論成熟階段這種說法就顯得有些漏洞。在所有的微分中值定理中，最重要的定理就是拉格朗日中值定理。最初的拉格朗日中值定理和現(xiàn)在成熟的拉格朗日中值定理是不一樣的，最初的定理是函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b內(nèi)任取兩點x0和x1，并且函數(shù)fx在此閉區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的，f'(x)的最大值為A，f'x最小值為B，則f(x1)-f(x0)x

3、1-x0的值必須是A和B之間的一個值。這是拉格朗日定理最初的證明。下述就是拉格朗日中值定理所要求滿足的條件。如果存在一個函數(shù)滿足下面兩個條件，（1）函數(shù)f 在閉區(qū)間a，b上連續(xù)；（2）函數(shù)f 在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)；那么這個函數(shù)在此開區(qū)間內(nèi)至少存在著一點尉，使得f'=f(b)-f(a)b-a.拉格朗日中值定理是導(dǎo)數(shù)的一個延伸概念，在導(dǎo)數(shù)運算中是的很基本概念。例1：函數(shù)fx=2x2-8，即f'x=4x。當x在開區(qū)間0,+時，有f'x>0，fx在開區(qū)間0,+單調(diào)遞增；當x在開區(qū)間-,0時，有f'x<0，f(x)在開區(qū)間-,0單調(diào)遞減。在x=0，有f&#

4、39;(0)=0，f0=-8。由上述例子說明，想要確定一個函數(shù)的單調(diào)性可以通過求得這個函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)來求得判斷單調(diào)區(qū)間。當一個函數(shù)在某個確定的區(qū)間內(nèi)，存在著f'x>0，fx在這個確定的區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；f'x<0，fx在這個確定的區(qū)間內(nèi)是單調(diào)遞減的。在f'(0)=0時，那么這一點就是這個函數(shù)的極值點。在例1中，當1<x<3，f3-f(1)3-2=8=f'(2)，這就是拉格朗日中值定理最簡單的形式。在拉格朗日中值定理中，有兩個要求條件，一個是在一個閉區(qū)間內(nèi)連續(xù)，一個是在相同期間開區(qū)間可導(dǎo)，不滿足這兩個條件，拉格朗日中值定理在此種情況下是沒有意

5、義的。例2：函數(shù)fx=1x-1，這個函數(shù)的區(qū)間0,2?？梢钥闯鲞@個函數(shù)在區(qū)間0,2上是不連續(xù)的，f1這個值是不存在的，因此這個函數(shù)在此區(qū)間上面是不連續(xù)的。這個函數(shù)在此閉區(qū)間0,2上是不可導(dǎo)的，根據(jù)可導(dǎo)函數(shù)的計算方法可以得到f'x=-1(x-1)2=f2-f(0)2-0=1又-1(x-1)2=1，這種情況下x的值是不存在的，所以這個函數(shù)在此區(qū)間內(nèi)是不可導(dǎo)的。二 拉格朗日中值定理的證明在微積分相關(guān)知識的教材上面，一般情況下在證明拉格朗日中值定理時，經(jīng)常采用羅爾定理來證明，證明過程中根據(jù)題意構(gòu)建出一個輔助函數(shù)來證明定理。在歷史長河中，學者們在對拉格朗日中值定理進行證明的時候最主要的的有四種方

6、法。最開始的一種證明方法出現(xiàn)在著作名為解析函數(shù)論一書中。這個證明相對來說是比較直觀的，它是以這樣一個概念為基礎(chǔ)證明的：當導(dǎo)數(shù)f'x>0時，fx在一個固定區(qū)間內(nèi)就是單調(diào)遞增的；反之，則單調(diào)遞減。利用微積分中的求導(dǎo)方法去確定一個函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的方法。并且，此時對拉格朗日定理應(yīng)用要求在一個閉區(qū)間中是連續(xù)的，也要求在此相同閉區(qū)間可導(dǎo)。假設(shè)一個變量在區(qū)間內(nèi)連續(xù)的變化，那么這個變量相應(yīng)的函數(shù)也會隨著變化的變化而發(fā)生變化，有無數(shù)的中間值在兩個值之間。在19世紀初時，微積分發(fā)生了很大的變化，柯西等數(shù)學家在此做出了很大的貢獻，人們對函數(shù)進行了很嚴格的定義，極限、連續(xù)和導(dǎo)數(shù)。在此基礎(chǔ)上又給拉格朗日中

7、值定理提出了新的嚴謹?shù)淖C明。在19世紀初，學者們對于微分學的系統(tǒng)性定理的詳細研究就拉開了序幕。因為拉格朗日中值定理在微分學中有著相當重要的地位，所以，歷來學者們都對拉格朗日中值定理的研究十分重視，學者們對拉格朗日中值定理的相關(guān)研究也是非常多的。比如在歷史上，許多學者都提出了對于拉格朗日中值定理的證明的方法。在歷史長河中，學者們提出的關(guān)于拉格朗日中值定理的證明方式主要有四種方式。第一種方式，通過利用羅爾定理去構(gòu)建一個中間函數(shù)去證明。第二種方式，根據(jù)先決條件，去建立一個相對更加廣泛的中值定理，然后在縮小范圍去證明。第三種形式，是充分利用積分和在證明過程中不會導(dǎo)致循環(huán)去證明一個知識點的其他的微積分定

8、理去證明拉格朗日中值定理。第四種形式時，充分利用拉格朗日中值定理中所限制的區(qū)間，然后采用屬于實數(shù)方面的區(qū)間套理論去證明。在柯西的著名著作無窮小計算概論中這樣對拉格朗日中值定理進行了證明：如果一個導(dǎo)數(shù)f'x在閉區(qū)間a,b內(nèi)是連續(xù)的，則在這個閉區(qū)間a,b內(nèi)至少存在著一點尉，使得f'()= fb-f(a)b-a，使f()=0。然后在羅爾定理基礎(chǔ)上對拉格朗日中值定理進行重新的證明?？挛鞫ɡ硎侵福杭僭O(shè)函數(shù)fx與函數(shù)Fx在閉區(qū)間a,b內(nèi)都是連續(xù)的，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)都是可導(dǎo)的，并且F'x在區(qū)間a,b內(nèi)不等于0，這是對于在區(qū)間(a,b)內(nèi)的一點，使得fb-f(a)F(b)-F(a)

9、=f'F'()對柯西定理的證明和對拉格朗日中值定理的證明兩種方式都是十分的相似，拉格朗日中值定理在微積分中都占到了非常重要的位置。利用拉格朗日中值定理在求解函數(shù)時，給洛必達法則的運用給以嚴格的證明，是研究函數(shù)中最重要的數(shù)學工具之一。我們知道羅爾定理：存在著一個函數(shù)在閉區(qū)間a,b上是連續(xù)的，在開區(qū)間（a,b）上是可導(dǎo)的，并且這個函數(shù)在此開區(qū)間（a,b）內(nèi)的兩個端點值是相等的，即fa=f(b)，那么在這個開區(qū)間（a,b）內(nèi)至少存在著一點尉，使得f()=0。比較拉格朗日中值定理和羅爾定理，可以看出羅爾定理條件中要求兩個端點值相等，但是拉格朗日中值定理不要求兩個端點值相等。因此，如果想

10、要用羅爾定理還證明，那么就應(yīng)該構(gòu)建一個端點函數(shù)值相等的函數(shù)。證明一：利用羅爾中值定理，構(gòu)建出一個中間的輔助函數(shù)做出一個輔助函數(shù)，F(xiàn)x=fx-fa-fb-fab-a(x-a)從上式容易看出，函數(shù)Fx在閉區(qū)間a,b上面顯然是連續(xù)函數(shù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)是可導(dǎo)函數(shù)，且Fa=Fb=0，此時，根據(jù)羅爾定理可以得到，在此函數(shù)上面至少在區(qū)間(a,b)上存在一點尉，使得F'()=0，則就可以得到f'=fb-fab-a。在對拉格朗日中值定理的進行證明的過程中，一般都采用構(gòu)建中間的輔助函數(shù)來證明，充分利用羅爾定理。還可以構(gòu)建下面這種形式的輔助函數(shù)來充分證明。首先，令fb-f(a)b-a=t，證明

11、：在開區(qū)間（a,b）范圍內(nèi)至少存在著一個點尉，使f()=t。證明：由于fb-f(a)b-a=t ，可以求得fb-tb=fa-ta。 觀察式，可以看出等式兩邊的形式都是Fx=fx-tx。 假設(shè)函數(shù)F(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)并且在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，在 Fa=F(b) 時。根據(jù)羅爾定理可以得到，該函數(shù)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在著一點，使得F=0，也就是說 f-t=0，即f=t，將此帶入式，就能夠得到結(jié)論f=fb-f(a)b-a。證明二：利用微積分中的基本定理來證明 先構(gòu)建一個積分上限函數(shù)，x=axf'tb-a-fb-fadt，此時x存在于閉區(qū)間a,b內(nèi)。根據(jù)微積分的基本定理可得知，

12、'(x)=f'tb-a-fb-fa顯然，'(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)上可導(dǎo)，并且有a=(b)=0，此時利用羅爾定理可以得到，在(a,b)內(nèi)至少存在著一點，使得'()=0，那么可以得到，f'b-a-fb-fa=0，所以得到結(jié)論f=fb-f(a)b-a。三 拉格朗日中值定理在極限中的應(yīng)用在學者們對微分中值定理的研究當中，經(jīng)歷了前后幾百年的時間，由費馬提出費馬定理開始，經(jīng)歷了從簡單到復(fù)雜，從特殊情況到一般情況，從簡單的概念到復(fù)雜的概念這樣的發(fā)展階段。在研究理論上拉格朗日中值定理即是羅爾定理的延伸又銜接了柯西定理，因此，不言而喻的是拉格朗日中

13、值定理在研究函數(shù)的進程中有著非常重要的作用。在數(shù)學知識應(yīng)用當中，拉格朗日中值定理是對函數(shù)研究的一個重要工具，并且有著十分廣泛的應(yīng)用。這些作用主要表現(xiàn)在以下幾種情況，比如在求導(dǎo)極限定理、求函數(shù)極限、證明不等式、說明函數(shù)單調(diào)性、討論方程的根是否存在的情況和對導(dǎo)數(shù)估值等，它在解決數(shù)學問題時通常將問題從難化簡，對解決難題起到很好的作用。本文著重講述的是拉格朗日中值定理在極限當中的應(yīng)用。例3：求極限limx0ex-ecosxx-cosx。解：觀察上式可以看出，先令f=et，這個函數(shù)在閉區(qū)間cosx,x或者x,cosx上根據(jù)拉格朗日中值定理可以得到ex-ecosxx-cosx=e。在x0時，cosx1，可

14、以得到此時0。由式可以得到x0limex-ecosxx-cosx=1，有此式子推出ex-x=ecosx-cosx，那么這個式子就能讓我們聯(lián)想到在上文證明拉格朗日中值定理時候出現(xiàn)的式子，然后根據(jù)上文中的步驟求證明該函數(shù)。令Ft=et-t,可以把這個式子ex-x=ecosx-cosx看作是函數(shù)Ft在點x和點cosx這兩點，即F=Fx-F(cosx)x-cosx。例4：求解limxaxa-axa-x。此題和例3的情況是類似的，我們先將此式子的分子加上一個aa，然后再減去一個aa。如，xa-axa-x=xa-ax-aa+aaa-x=aa-axa-x=aa-axa-x-aa-xaa-x此時，容易看出應(yīng)該

15、構(gòu)建的函數(shù)的形式，令ft=at，gt=ta，假設(shè)這兩個函數(shù)都在閉區(qū)間a,t或者t,a上連續(xù)并且在相同開區(qū)間上面可導(dǎo)的，并且這兩個函數(shù)的兩個端點值都分別相等，就是滿足拉格朗日中值定理的條件，這是就分別存在著兩個點，在x和a之間，當xa時，有a，a 得limxaxa-axa-x=limxaaa-axa-x-aa-xaa-x =limaalna-limaaa-1 =aa(lna-1)例5：limx0sinsinx-tan(tanx)sinx-x此例題與例4是非常類似的題目，根據(jù)例4的解題方法，先將分子加一項再減一項。原式=sinsinx-tantanx+tansinx-tan(sinx)sinx-x

16、 =sinsinx-tan(sinx)sinx-x+tansinx-tan(tanx)sinx-x此時，令ft=tant，t=sinx，x=arcsint，假設(shè)函數(shù)f(t)滿足拉格朗日中值定理的需求條件，在這種情況下求解這個題目，原式=limx0sec2sinx-tanxsinx-x+limx0sint-tantt-arcsint上式接著推算，根據(jù)洛必達法則計算如下 =limx0sinx-tanxsinx-x+limx0sec2t-cost11-t2-1 =6在此題這種情況下，首先就要想到構(gòu)建一個中間函數(shù)去簡化題目。先構(gòu)造一個中間的輔助函數(shù)，然后再根據(jù)拉格朗日中值定理的一般形式去求解題目。在解

17、決這種類型的題目要采用羅爾定理的原因，在現(xiàn)目前大多數(shù)微積分的相關(guān)教材中，在解決類型問題時多采用構(gòu)建中間函數(shù)運用羅爾定理解決問題。在面對一些題目時，這些函數(shù)有可能并不滿足拉格朗日中值定理的條件，需要去構(gòu)建一個中間函數(shù)，去滿足拉格朗日中值定理的需求條件，然后將構(gòu)建的這一函數(shù)與原函數(shù)緊密聯(lián)系起來，再將構(gòu)建的函數(shù)轉(zhuǎn)化為原函數(shù)，從而根據(jù)拉格朗日中值定理的原理去求解題目。例題3和例題4、例5是一種類型的題目，都是極限形式為00的未定式，就可以想到需要構(gòu)建一個中間函數(shù)，此函數(shù)滿足拉格朗日中值定理的需求條件，然后對函數(shù)采用拉格朗日中值定理的方法去解決問題。例6：存在函數(shù)f''(x)是連續(xù)的并且

18、有f''(a)0,滿足下列式子fb+x=fb+xf'b+x (0<<1)，求x0 時的極限。解：根據(jù)拉格朗日中值定理可以由式子可以計算出函數(shù)f'(x)在閉區(qū)間b,b+x或者b+x,b的拉格朗日中值定理的形式fb+x-f(b)x=f'b+x,繼上式可以推得f'b+x=f'b+xf''b+1x(0<1<1)。將這個結(jié)果帶入式子可以計算得出fb+x=fb+xf''b+x2f''b+x 根據(jù)泰勒展開公式把這個函數(shù)fb+x展開，可以得到fb+x=fb+xf'b+12x2

19、f''b+2x 由式子可以綜合計算得到，f''b+1x=12f''b+2x然后求極限，所以x0lim=f''b+2xf''b+1x=f''(b)2f''(b)=12。例6這種題目沒有給出函數(shù)的具體形式，這種時候應(yīng)該想到首先一個函數(shù)滿足拉格朗日中值定理的需求條件，去簡化題目，在不用函數(shù)具體形式時仍然可以求解題目，利用構(gòu)建的中間函數(shù)，運用泰勒展開公式得到函數(shù)的展開式，然后綜合計算得到答案。例7：求解函數(shù)limx0ln(1+f(x)sinx)cx-1=B，(c>0)且(c0)，求解l

20、imx0f(x)x2。解：這個例題中有多種形式的函數(shù)，求解這種題目應(yīng)該想到將函數(shù)形式統(tǒng)一將題目簡化求解。令gt=ct，當t0時，可以明顯看出這個函數(shù)在區(qū)間內(nèi)滿足拉格朗日中值定理的需求條件，因此在這個區(qū)間內(nèi)至少存在一個值使得，cx-1=clncxxlnc可以得到cx-1xlnc然后再令ht=ln(1+t)，顯然這個函數(shù)在閉區(qū)間0, f(x)sinx或者閉區(qū)間 f(x)sinx,0內(nèi)是滿足拉格朗日中值定理需求條件，因此在這個區(qū)間內(nèi)至少存在著一個值使得，ln(c+f(x)sinx)=11+f(x)sinx又ln1+fxsinxf(x)sinx0B=1Inclimx0fxx20就可以求出limx0f(

21、x)x2=BInc例7這種類型的題目，題中給出一個函數(shù)的答案，求解另外一個函數(shù)的答案，遇到這種題目，就應(yīng)該主要根據(jù)題中給出的函數(shù)，將這個函數(shù)化解成為所求函數(shù)相類似的形式，簡化題目求出答案。例8：假設(shè)函數(shù)limxcfx-ax-c=B，求解函數(shù)limxccosfx-cosax-c。解：此題和上面的例題是類似題目，根據(jù)上題解題方法，先化解給出函數(shù)。從給出的函數(shù)就可以知道函數(shù)的分子是在xc的情況下是等于0的，所以分母在這種情況下也應(yīng)該為0，那么在xc的情況下，fc=a。 這就說明這個函數(shù)在c這一點是連續(xù)的。令ht=cost，當fxa時，這個函數(shù)在閉區(qū)間a,f(x)或者閉區(qū)間f(x),a上已經(jīng)滿足了拉格

22、朗日中值定理的需求條件，而且在此區(qū)間內(nèi)至少著存在一個點，使得limxccosfx-cosax-c=limxcfx-asinc-x=-Bsina例7和例8 都是根據(jù)題目給出的函數(shù)進行計算，去推導(dǎo)所求的的函數(shù)，在推導(dǎo)過程中去求解，簡化了題目，如果計算時，是根據(jù)給出題目單獨求解出fx的取值，直接把題目復(fù)雜化。例9：求出函數(shù)極限limxx2Inarctanx+1-Inarctanx。解：此題目是典型的極限形式為0型，在此我們應(yīng)該先應(yīng)用洛必達法則去求解。但是在計算過程中會發(fā)現(xiàn)，運用洛必達法則去求解這個函數(shù)會十分復(fù)雜，因此我們會發(fā)現(xiàn)Inarctanx+1-Inarctanx這個形式剛好可以看作是函數(shù)fx=

23、Inarctanx在此閉區(qū)間x,x+1上面的兩個端點值的差值，所以我們能夠運用拉格朗日中值定理去求解這道題目。首先，我們先建立一個輔助函數(shù)fx=Inarctanx，然后再求解。令fx=Inarctanx，此函數(shù)在閉區(qū)間x,x+1上面明顯是滿足拉格朗日中值定理的需求條件的，因此存在一點在此閉區(qū)間上面。Inarctanx+1-Inarctanx=1arctan11+2因為點是在此閉區(qū)間x,x+1內(nèi)的一點，所以x<<x+1，可以得到x21+x2>x21+2>x21+(1+x)2那么在x時，則limxx21+x2=1，limxx21+(1+x)2=limxx21+x2=1，通過

24、夾逼定理就可以知道limxx21+2=1所以，根據(jù)上面的計算，原函數(shù)=limxx2arctan11+2=limx1arctanlimxx21+2=2。可見，在遇到這種典型極限形式為0型時，如果采用洛必達法則反而更加麻煩的時候，應(yīng)該多觀察題目是否可以運用拉格朗日中值定理來求解題目，簡化題目，接下來看一個類似的例題。例10：求解極限limx1(a1-xa-b1-xb)(a,b>0)。解：此題也是一種典型極限形式為型，一般這種情況下，我們都會先采用洛必達法則求解，但是這道題目和例9一樣，運用洛必達法則只會使題目更加復(fù)雜化，此時，我們觀察題目可以看出和例9類似，可以運用拉格朗日中值定理來求解題目

25、。首先，我們先假設(shè)一個輔助函數(shù)fx,y=y1-xy。令fx,y=y1-xy，此函數(shù)在區(qū)間上面滿足拉格朗日中值定理的需求條件，因此把點a,b當做是在區(qū)間里面的兩個取值，因此利用拉格朗日中值定理求解。a1-xa-b1-xb=(a-b)1-x+xInx(1-x)2，其中這個值在a與b之間的值，所以，原式limx1(a1-xa-b1-xb)=a-b1-x+xInx1-x2 =a-blimx1-Inx21-x=a-b2 可以看出，雖然這種題目也采用了洛必達法則，但是在使用洛必達法則之前，先采用拉格朗日中值定理將題目簡化，會讓計算過程中的復(fù)雜度減小了。因此，在面對上面兩種情況下去求極限，先觀察題目，如果題

26、目中很容易就可以構(gòu)建出一個函數(shù)，并且構(gòu)建的這個函數(shù)剛好滿足拉格朗日中值定理的需求條件，就可以采用拉格朗日中值定理去求解題目，先將極限轉(zhuǎn)化，再去求解函數(shù)。這會與直接用洛必達法則求解有不同的效果，簡化題目。這就是平時我們做題之前要先觀察題目的必要性。同時，這種類型的題目告訴我們，在我們面對復(fù)雜的多元函數(shù)的題目時，可以對其中一個合適的變量采用拉格朗日中值定理，然后其他的變量就看做常數(shù)，使計算過程更為簡便。例11：求解函數(shù)limx0(na-n+1a)。解：通過觀察，很容易就發(fā)現(xiàn)這道題目應(yīng)該采用拉格朗日中值定理，先構(gòu)建一個輔助函數(shù)，可以看出的是na-n+1a 就是f(b)-f(a)。所以，令fx=ax，很明顯這個函數(shù)在閉區(qū)間1n,1n+1內(nèi)是連續(xù)的，并且在該區(qū)間此函數(shù)滿足拉格朗日中值定理的需求條件，利用拉格朗日中值定理可以得出，a1n-a1n+1=aIna(1n-1n+1)并且其中1n>>1n+1，此時，