試卷A線(xiàn)性代數(shù)

1、試卷序號(hào)： 班級(jí)：學(xué)號(hào)：姓名：| |裝|訂|線(xiàn)|2011 2012學(xué)年 第一學(xué)期期末考試線(xiàn)性代數(shù)試卷（A） 答題時(shí)間120分鐘題號(hào)一二三四五總分閱卷教師得分閱卷教師得 分一、 選擇題(本大題共6小題，每小題3分，共18分)1、按自然數(shù)從小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序，則排列的逆序數(shù)是（ B ）A B C D2、設(shè)有三個(gè)矩陣、和，則下列矩陣運(yùn)算中有意義的是（ B ）A B C D3、下列選項(xiàng)正確的是（ C ）A若方陣，則必有 B若方陣滿(mǎn)足，則C若方陣、滿(mǎn)足，則有或D對(duì)方陣、，總有成立4、設(shè)有的矩陣，則齊次線(xiàn)性方程有非零解的充分必要條件是（ A ）A B C D5、設(shè)是三階矩陣，是的伴隨矩陣，若，則（ B ）A

2、 B C D6、設(shè)n階矩陣A為正交矩陣，則必有（ D）A B C D二、閱卷教師得分 填空題(本大題共6小題，每小題4分，共24分)1、設(shè)4階行列式，則 EMBED Equation.3 ，其中是的代數(shù)余子式。2、設(shè)方陣滿(mǎn)足，則 EMBED Equation.3 ，其中是單位陣。3、當(dāng) EMBED Equation.3 時(shí)，向量與的內(nèi)積為3。4、已知4階矩陣、相似，且的特征值為，則 EMBED Equation.3 5、設(shè)向量、線(xiàn)性相關(guān)，則 EMBED Equation.3 ， EMBED Equation.3 6、矩陣對(duì)應(yīng)的實(shí)二次型 閱卷教師得分三、 計(jì)算題(本大題共3小題，每小題8分，共2

3、4分)1、計(jì)算n階行列式，其中。解： （2分） （4分） （2分）注：可有多種方法，利用其他方法求解，但結(jié)果錯(cuò)誤的，根據(jù)解答情況酌情給分。2、已知，求解矩陣方程。解：整理方程可得，即（2分），由于 （3分）因此（1分），計(jì)算得 （2分）注：也可用伴隨矩陣法求逆；寫(xiě)出求解過(guò)程但結(jié)果錯(cuò)誤者，根據(jù)解答情況酌情給35分。3、已知矩陣，求的列向量組的秩和一個(gè)最大無(wú)關(guān)組，并把其余向量用該最大無(wú)關(guān)組線(xiàn)性表示。解： （4分）向量組的秩為2 （1分）為一個(gè)最大無(wú)關(guān)組 （1分）， （2分）閱卷教師得分四、證明題(本大題共10分)已知向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān)，且，證明向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān)，其中，為任意實(shí)數(shù)。證明：設(shè)有常數(shù)使（1分）

4、，即 （2分）整理得 EMBED Equation.3 （3分）由線(xiàn)性無(wú)關(guān)得（2分）即無(wú)論為何值，都得，故線(xiàn)性無(wú)關(guān)。（2分）注：多種解法，表述清楚即可得分。閱卷教師得分五、 討論題(本大題共2小題，每小題12分，共24分)1、已知非齊次線(xiàn)性方程組，問(wèn)取何值時(shí)，方程組有唯一解，無(wú)解，有無(wú)窮多解？并在有無(wú)窮多解時(shí)求其通解。解：對(duì)增廣矩陣作初等行變換化為行階梯形矩陣 （3分）（1）若使，則須保證，即：當(dāng)時(shí)，方程組有唯一解；（2分）（2）當(dāng)時(shí)，的行階梯形為，此時(shí)，故方程組無(wú)解；（2分）（3）當(dāng)時(shí)，的行階梯形為此時(shí)，方程組有無(wú)窮多解（2分）。為求解，繼續(xù)化行最簡(jiǎn)形，取，為自由未知數(shù)，為非自由未知數(shù)，則令，從而得方程組的通解為，其中為任意常數(shù)。（3分）注：本題有兩種解題方法：行列式或初等行變換，若方法正確，但計(jì)算過(guò)程出現(xiàn)錯(cuò)誤，可根據(jù)解答情況酌情給分。2、設(shè)矩陣，問(wèn)取何值時(shí)，矩陣能相似對(duì)角化？此時(shí)求可逆陣和對(duì)角陣，使。解：特征多項(xiàng)式故的特征值為 （3分）當(dāng)時(shí)，解方程組，由 （2分）得線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量為個(gè)，解得（1分）。為使能相似對(duì)角化，則需對(duì)應(yīng)的線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量應(yīng)為個(gè)，即，由得當(dāng)時(shí)，能相似對(duì)角化（2