試卷A線性代數(shù)

1、試卷序號： 班級：學號：姓名：| |裝|訂|線|2011 2012學年 第一學期期末考試線性代數(shù)試卷（A） 答題時間120分鐘題號一二三四五總分閱卷教師得分閱卷教師得 分一、 選擇題(本大題共6小題，每小題3分，共18分)1、按自然數(shù)從小到大為標準次序，則排列的逆序數(shù)是（ B ）A B C D2、設有三個矩陣、和，則下列矩陣運算中有意義的是（ B ）A B C D3、下列選項正確的是（ C ）A若方陣，則必有 B若方陣滿足，則C若方陣、滿足，則有或D對方陣、，總有成立4、設有的矩陣，則齊次線性方程有非零解的充分必要條件是（ A ）A B C D5、設是三階矩陣，是的伴隨矩陣，若，則（ B ）A

2、 B C D6、設n階矩陣A為正交矩陣，則必有（ D）A B C D二、閱卷教師得分 填空題(本大題共6小題，每小題4分，共24分)1、設4階行列式，則 EMBED Equation.3 ，其中是的代數(shù)余子式。2、設方陣滿足，則 EMBED Equation.3 ，其中是單位陣。3、當 EMBED Equation.3 時，向量與的內積為3。4、已知4階矩陣、相似，且的特征值為，則 EMBED Equation.3 5、設向量、線性相關，則 EMBED Equation.3 ， EMBED Equation.3 6、矩陣對應的實二次型 閱卷教師得分三、 計算題(本大題共3小題，每小題8分，共2

3、4分)1、計算n階行列式，其中。解： （2分） （4分） （2分）注：可有多種方法，利用其他方法求解，但結果錯誤的，根據(jù)解答情況酌情給分。2、已知，求解矩陣方程。解：整理方程可得，即（2分），由于 （3分）因此（1分），計算得 （2分）注：也可用伴隨矩陣法求逆；寫出求解過程但結果錯誤者，根據(jù)解答情況酌情給35分。3、已知矩陣，求的列向量組的秩和一個最大無關組，并把其余向量用該最大無關組線性表示。解： （4分）向量組的秩為2 （1分）為一個最大無關組 （1分）， （2分）閱卷教師得分四、證明題(本大題共10分)已知向量組線性無關，且，證明向量組線性無關，其中，為任意實數(shù)。證明：設有常數(shù)使（1分）

4、，即 （2分）整理得 EMBED Equation.3 （3分）由線性無關得（2分）即無論為何值，都得，故線性無關。（2分）注：多種解法，表述清楚即可得分。閱卷教師得分五、 討論題(本大題共2小題，每小題12分，共24分)1、已知非齊次線性方程組，問取何值時，方程組有唯一解，無解，有無窮多解？并在有無窮多解時求其通解。解：對增廣矩陣作初等行變換化為行階梯形矩陣 （3分）（1）若使，則須保證，即：當時，方程組有唯一解；（2分）（2）當時，的行階梯形為，此時，故方程組無解；（2分）（3）當時，的行階梯形為此時，方程組有無窮多解（2分）。為求解，繼續(xù)化行最簡形，取，為自由未知數(shù)，為非自由未知數(shù)，則令，從而得方程組的通解為，其中為任意常數(shù)。（3分）注：本題有兩種解題方法：行列式或初等行變換，若方法正確，但計算過程出現(xiàn)錯誤，可根據(jù)解答情況酌情給分。2、設矩陣，問取何值時，矩陣能相似對角化？此時求可逆陣和對角陣，使。解：特征多項式故的特征值為 （3分）當時，解方程組，由 （2分）得線性無關的特征向量為個，解得（1分）。為使能相似對角化，則需對應的線性無關的特征向量應為個，即，由得當時，能相似對角化（2