解三角形知識點小結

1、解三角形知識點小結一、知識梳理1.內角和定理：在中，；，（在上單調遞減）面積公式: 設則在三角形中大邊對大角，反之亦然.2正弦定理：在一個三角形中,各邊和它的所對角的正弦的比相等.形式一： (解三角形的重要工具)形式二： (邊化正弦)形式三：（比的性質）形式四：（正弦化邊）3.余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍.形式一： (遇見二次想余弦)形式二： ，2、 方法歸納(1)已知兩角A、B與一邊a,由A+B+C=及，可求出角C，再求b、c.（2） 已知兩邊及一角，用余弦定理。（3） 已知三邊，用余弦定理。（4） 求角度，用余弦。三、經典例題問題

2、一：利用正弦定理解三角形【例1】在中，若，,，則 .【例2】在ABC中，已知a=,b=,B=45,求A、C和c.問題二：利用余弦定理解三角形【例3】設的內角所對的邊分別為.已知，.（）求的周長，（）求的值.【注】常利用到的三角公式兩角和與差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：【例4】（2010重慶文數(shù)）設的內角A、B、C的對邊長分別為a、b、c,且3+3-3=4bc .() 求sinA的值；()求的值.若條件改為：？2 .在ABC中，a、b、c分別是角A，B，C的對邊，且=-.（1）求角B的大小；（2）若b=，a+c=4，求ABC的面積.問題三：正弦定理余弦定理綜合應用【例5】（2011山東文數(shù)

3、）在ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c已知 （I）求的值；（II）若cosB=，【注】“邊化正弦，正弦化邊”“余弦直接代入”考慮以下式子：，【例6】（2009全國卷理）在中，內角A、B、C的對邊長分別為、，已知，且 求b 【注】對已知條件(1)左側是二次的右側是一次的,可以考慮余弦定理；而對已知條件(2) 化角化邊都可以。3在分別為內角A、B、C的對邊，且 （）求角A的大?。唬ǎ┤?，試判斷的形狀。問題四：三角恒等變形【例7】（08重慶） 設的內角A，B，C的對邊分別為a,b,c，且A=，c=3b.求：（）的值；（）cotB +cot C的值.【注】在解三角形的背景下一般見“切割化弦

4、” 同角三角函數(shù)的基本關系式： （1）平方關系： （2）倒數(shù)關系：sincsc=1,cossec=1,tancot=1, （3）商數(shù)關系：4. （2009江西卷理）中，所對的邊分別為，,.（1）求；（2）若,求. 思考：1若求B。2若，求C3若，求C問題五：判斷三角形形狀【例8】在ABC中，bcosAcosB，試判斷三角形的形狀.【例9】 在ABC中，若，試判斷三角形的形狀.5.在ABC中，若2cosBsinAsinC，則ABC的形狀一定是 6.在ABC中，如果（a2+b2）sin（A-B）=（a2-b2）sin（A+B），判斷三角形的形狀.思考：若，判斷三角形的形狀.問題六：與其他知識綜合【

5、例10】已知向量，其中A，B，C是ABC的內角，a,b,c分別是角A，B，C的對邊.（1）求角C的大??；（2）求的取值范圍.【注】坐標運算：設，則： 向量的加減法運算：，。 實數(shù)與向量的積：。 平面向量數(shù)量積：= 向量平行： 向量垂直：思考：1.若求，？2.若已知，求三角形周長和面積的取值范圍。7.（2009浙江文）（本題滿分14分）在中，角所對的邊分別為，且滿足， （I）求的面積； （II）若，求的值注：若條件改為問題7：三角實際應用【例11】 要測量對岸A、B兩點之間的距離，選取相距 km的C、D兩點，并測得ACB=75，BCD=45，ADC=30，ADB=45，求A、B之間的距離.【解題

6、思路】找到三角形，利用正弦定理和余弦定理?！纠?2】（2007山東）20（本小題滿分12分）如圖,甲船以每小時海里的速度向正北方向航行,乙船按固定方向勻速直線航行,當甲船位于處時,乙船位于甲船的北偏西的方向處,此時兩船相距20海里.當甲船航行20分鐘到達處時,乙船航行到甲船的北偏西方向的處,此時兩船相距海里,問乙船每小時航行多少海里?課后自我檢測A 組1ABC中，a，b，sinB，則符合條件的三角形有 ()A1個 B2個 C3個 D0個2.在中，a=15,b=10,A=60，則= ()A B C D 3某人朝正東方向走千米后，向右轉并走3千米，結果他離出發(fā)點恰好千米，那么的值為 （ ）A B

7、C或D34.（2008福建)在ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c,若(a2+c2-b2)tanB=,則角B的值為 （ ）A. B. C.或 D.或5.已知ABC中，則 。 6.在中。若，則a= 。7.已知a,b,c分別是ABC的三個內角A,B,C所對的邊，若a=1,b=, A+C=2B,則sinC= .8已知的周長為，且（I）求邊的長；（II）若的面積為，求角的度數(shù)9在中，角、所對應的邊分別為、，且滿足（I）求角的值；（II）若，求的值10.在中，分別為內角的對邊，且（）求；（）若，求B 組1.若的三個內角滿足，則 （ ） A一定是銳角三角形. B一定是直角三角形. C.一定是鈍角三

8、角形. D.可能是銳角三角形，也可能是鈍角三角形.2已知圓的半徑為4，a、b、c為該圓的內接三角形的三邊，若abc16，則三角形的面積為（ ）A2B8 C. D.ABCD3要測量底部不能到達的電視塔AB的高度,在C點測得塔頂A的仰角是45,在D點測得塔頂A的仰角是30,并測得水平面上的BCD=120,CD=40m,則電視塔的高度為 （ ）A10m B20m C20m D40m4.在ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c.若(a2c2b2)tanBac，則角B的值為()A. B. C.或 D.或5.（2010天津理）（7）在ABC中，內角A,B,C的對邊分別是a,b,c，若，則A= （ ）

9、A. B. C. D.6.(2008湖北)在中，三個角的對邊邊長分別為,則的值為 .7.在中，角的對邊分別為，。（）求的值；（）求的面積.8.在中，（）求AB的值。（）求的值。9.在ABC中，已知B=45,D是BC邊上的一點，AD=10,AC=14,DC=6，求AB的長.10.設的內角所對的邊分別為且.（1）求角的大??；（2）若，求的周長的取值范圍.C 組1如果等腰三角形的周長是底邊長的5倍，那么它的頂角的余弦值為 ()A. B. C. D.2在ABC中，角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c.若C120，ca，則()Aab BabCab Da與b的大小關系不能確定3 (2010新課標全國卷)

10、在ABC中，D為邊BC上一點，BDCD，ADB120，AD2.若ADC的面積為3，則BAC_.4.（天津市河東區(qū)2009年高三一模）17.如圖所示，在ABC，已知,，AC邊上的中線,求：（1）BC的長度； （2）的值。5 設ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且atanB，bsinA4. (1)求cosB和a；(2)若ABC的面積S10，求cos4C的值6已知ABC的三個內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若2b=a+c，且2cos2B8cosB50，求角B的大小，并判斷ABC的形狀7.在中，分別為角的對邊，且滿足.（）求角的值；（）若，設角的大小為的周長為，求的最大值.8.已知函數(shù)