計算方法與實習第五期末復(fù)習資料

1、計算機在材料科學中的應(yīng)用習題課第一章 誤差等概念1. 誤差來源：模型誤差、觀測誤差、截斷誤差、舍入誤差2. 絕對誤差（限）：e=x*-x，|e|x*-x|3. 相對誤差（限）：er(x*-x)/x，|er|x*-x|/|x|r4. 有效數(shù)字：|e|5. 防止誤差的危害：避免兩相近數(shù)相減，多數(shù)作乘數(shù)或小數(shù)作除數(shù)，大數(shù)“吃”小數(shù)第二章 方程求根1. 根的存在及隔離2. 二分法：誤差是 3. 迭代法：4. 加速法： 5. 牛頓迭代法：第三章 方程組求解1. 消去法：高斯消去法，列主元消去法，高斯-約當法，消元因子 消元公式 回代公式 2. 矩陣直接分解：緊湊格式3. 追趕法4. 迭代法：收斂條件 雅

2、可比法迭代格式：高斯-賽德爾法迭代格式： 第四章 插值法1. 插值多項式 2. 拉格朗日插值： 插值基函數(shù) 3. 差商： 4. 牛頓插值公式 f(x)=f(x0)+fx0,x1(x-x0)+fx0,x1,x2(x-x0)(x-x1)+ +fx0,x1,xn(x-x0)(x-x1)(x-xn-1)5. 差分（等間距節(jié)點）6. 牛頓前插公式7. 樣條插值：三次樣條插值，要求光滑、連續(xù)第五章 曲線擬合最小二乘原理列表計算累加和如下j12n從正規(guī)方程組中解得擬合多項式的各個系數(shù)值ai (i=0,1,m)。第六章 數(shù)值積分、微分1. 積分的有限過程 a) 插值型求積公式用插值多項式代替被積函數(shù)， 從而在

3、有兩個求積節(jié)點時得到梯形公式 有三個等距求積節(jié)點時得到Simpson公式 2. 柯特斯公式（等距節(jié)點情況）：柯特斯系數(shù) 柯特斯求積公式（有五個等距求積節(jié)點時） 3. 復(fù)化求積復(fù)化梯形公式 復(fù)化Simpson公式復(fù)化柯特斯公式4. 步長自適應(yīng)5. 龍貝格求積公式6. 數(shù)值微分二點公式 三點公式 第七章 常微分方程的數(shù)值解法1. 邊值問題和初值問題邊值問題 初值問題 求解滿足上述兩式的近似值yi ，即在ax0x1xnb上的y(xi)的近 似值yi (i=0,1,2,n)。通常取等距節(jié)點，即h=xi+1-xi，有xi=x0+ih(i=0,1,2,n)。初值問題的數(shù)值解法特點：按節(jié)點順序依次推進，由已

4、知的y0 , y1 , , yi ，求出yi+1，這可以通過遞推公式得到。2. 單步法歐拉折線法 改進歐拉法 四階龍格-庫塔法 3. 多步法：阿當姆斯內(nèi)插、外推預(yù)測校正公式4. 一階微分方程組求解5. 高階微分方程求解例1.求解超越方程 在區(qū)間0，1內(nèi)的根，要求有二位有效數(shù)字。解：設(shè)f(x)= ,該函數(shù)是連續(xù)的，且f(0)=1，f(1)=e-1-10,因f(0)f(1) 0，f(x)=-e-x-/2cos（x/2）-（e-x+/2cos（x/2）0 0，1,單調(diào)遞減，所以方程在0，1內(nèi)只有1個根。用二分法求解，先求二分次數(shù)要求滿足 1/2k+1 (1-0) 10-2/2則解得k后整k=6，用二

5、分法求解過程如下：kakbkxkf(xk)0010.5-0.100576100.50.250.39611720.250.50.3750.13171930.3750.50.43750.01125540.43750.50.46875-0.04577550.43750.468750.4453125-0.00320860.43750.44531250.44140625最后求得根為0.44。例2.用牛頓迭代法求出f(x)= x41+x3+10在x0-1附近的實根，要求迭代至| xk+1 -xk|0判斷，f(x0)f(-1)（-1）41+（-1）3+1-10f(x)=41x40+3x2,f(x)=41*4

6、0x39+3*2x,f (x0) =41*40*（-1）39+3*2*（-1）0，迭代是收斂的。牛頓迭代格式為，取x0-1,計算如下kxk0-11-0.97732-0.96053-0.95344-0.95255-0.9525方程在x0-1附近的實根為-0.9525。例3.用高斯消去法解下列線性方程組： 2X1 +2X2+ 3X3 =3 4X1 +7X2 + 7X3 =1 -2X1 +4X2 + 5X3 =-7解：l21=2/4r2- l21r1將線性方程組寫成增廣矩陣的形式：r1 r22233477 1-2 4 5 -74 7 7 10-3/2 -1/2 5/20 15/2 17/2 -13/

7、2477 12233-2 4 5 -7 r2 r3X3 1得方程組的解X2 -2X1 2 47 7 10 15/2 17/2 -13/20 0 6/5 6/547 7 10 15/2 17/2 -13/20 -3/2 -1/2 5/2l32=-1/5r3- l32r2l31=-2/4r3- l31r1例4.用高斯-賽得爾迭代解方程組解：考察收斂性，收斂條件，10|-1|+|-2|=310|-1|+|-2|=35|-1|+|-1|=2因此滿足收斂條件，有相應(yīng)迭代格式取方程組初值為，計算如下： k 0 0 0 0 1 0.7200 0.9020 1.1644 2 1.04311.16721.282

8、1 3 1.09311.19571.2928 41.09911.19951.2997 51.09991.19991.2997 61.10001.20001.3000 所以方程組的解為X1 1.1，X2 1.2，X3 =1.3例5.對f(x)=e-x給出四點函數(shù)值x0.10.150.250.30e-x0.9048370.8607080.7788010.740818用插值法求e-x在x=0.20處的近似值。解：構(gòu)造拉格朗日插值多項式通過四個節(jié)點（n3），在x=0.20處對應(yīng)的插值基函數(shù)為所以 0.81873例6.已知實驗數(shù)據(jù)如下Xj-3-2-10123Yj-0.71-0.010.510.820.8

9、80.810.49試擬合成的形式。解：要擬合的多項式次數(shù)m2，n7，有正規(guī)方程組列表計算累加和如下j1-39-2781-0.712.13-6.302-24-8160.010.02-0.043-11-110.510.510.51400000.8200511110.880.880.886248160.811.623.2473927810.491.474.4102801962.795.612.61得到正規(guī)方程組 解得方程組，a00.806，a10.200，a2-0.102，所以擬合式為例7.用四階龍格-庫塔法計算 取h0.2。解：有四階龍格庫塔法公式 計算如下xiyik1 k2k3k4 011.0000.918180.908640.843240.21.183230.845170.794470.787500.744040.41.341670.745400.710100.704810.673260.61.483290.674280.6479