裂項(xiàng)相消法求和之再研究例題有答案習(xí)題無答案

1、裂項(xiàng)相消法求和之再研究 撰寫人：劉小明一、多項(xiàng)式數(shù)列求和。（1）用裂項(xiàng)相消法求等差數(shù)列前n項(xiàng)和。即形如的數(shù)列求前n項(xiàng)和此類型可設(shè)左邊化簡(jiǎn)對(duì)應(yīng)系數(shù)相等求出A,B。例1：已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，求它的前n項(xiàng)和。（2）用裂項(xiàng)相消法求多項(xiàng)式數(shù)列前n項(xiàng)和。即形如的數(shù)列求前n項(xiàng)和。此類型可上邊化簡(jiǎn)對(duì)應(yīng)系數(shù)相等得到一個(gè)含有m元一次方程組。說明：解這個(gè)方程組采用代入法，不難求。系數(shù)化簡(jiǎn)可以用二項(xiàng)式定理，這里不解釋。解出。再裂項(xiàng)相消法用易知例2：已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，求它的前n項(xiàng)和。二、二、多項(xiàng)式數(shù)列與等比數(shù)列乘積構(gòu)成的數(shù)列。（1）用裂項(xiàng)相消法求等比數(shù)列前n項(xiàng)和。即形如的數(shù)列求前n項(xiàng)和。這里不妨設(shè)。（時(shí)為常數(shù)列，

2、前n項(xiàng)和顯然為）此類型可設(shè)，則有，從而有。再用裂項(xiàng)相消法求得例3：已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，求它的前n項(xiàng)和。解：設(shè)，則有，從而有，故。（2）用裂項(xiàng)相消法求等差數(shù)列與等比數(shù)列乘積構(gòu)成的數(shù)列前n項(xiàng)和。即形如的數(shù)列求前n項(xiàng)和。此類型通常的方法是乘公比錯(cuò)位錯(cuò)位相減法，其實(shí)也可以用裂項(xiàng)相消法。這里依然不妨設(shè)，（時(shí)為等差數(shù)列，不再贅述。）可設(shè)，則有，從而得到方程組，繼而解出A，B。再用裂項(xiàng)相消法求得例4：已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，求它的前n項(xiàng)和。解：設(shè)，則有，從而得到方程組，解得。（3）用裂項(xiàng)相消法求多項(xiàng)式數(shù)列與等比數(shù)列乘積構(gòu)成的數(shù)列前n項(xiàng)和。即形如的數(shù)列求前n項(xiàng)和。此類型有一個(gè)采用m次錯(cuò)位相減法的方法求出，但是

3、當(dāng)次數(shù)較高時(shí)錯(cuò)位相減法的優(yōu)勢(shì)就完全失去了。同樣這里依然不妨設(shè)，（時(shí)為多項(xiàng)式數(shù)列，不再贅述。）下面介紹錯(cuò)位相減法的方法：設(shè)。先對(duì)上式化簡(jiǎn)成的形式，其中是用來表示的一次式子。同樣讓對(duì)應(yīng)系數(shù)相等得到一個(gè)m元一次方程組，用代入法可以解出再用用裂項(xiàng)相消法求得。例5：已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，求它的前n項(xiàng)和。解：設(shè)，則有從而得到，解得，所以三、其他數(shù)列。上面的推導(dǎo)和習(xí)題，我們不難發(fā)現(xiàn)。錯(cuò)位相減法適合與等差等比數(shù)列，也適合可用公式法，錯(cuò)位相減法，分組求和法，并項(xiàng)求和法，裂項(xiàng)相消法，部分倒敘相加法的數(shù)列。事實(shí)上裂項(xiàng)求和適合用于所有能將化成形式的所有數(shù)列，與存在形式上相似性，從而利用待定系數(shù)法的方式得到的表達(dá)式，最

4、終可以得到。這里部分可用倒敘相加法的數(shù)列不能使用此法是因?yàn)樗鼪]有一個(gè)統(tǒng)一形式不帶省略號(hào)的前n項(xiàng)和公式。例如調(diào)和數(shù)列也不能用此法，事實(shí)上調(diào)和數(shù)列是不可求前n項(xiàng)和的數(shù)列。四、結(jié)論。 從上面的論斷不難得出，錯(cuò)位相減法適合所有可求前n項(xiàng)和的數(shù)列。錯(cuò)位相減法不愧為數(shù)列求前n項(xiàng)和的萬(wàn)能方法。不過值得肯定的是有部分?jǐn)?shù)列利用裂項(xiàng)相消法，不易找出它的裂項(xiàng)方法，尤其是與指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)，三角函數(shù)這些比較高級(jí)的基本初等函數(shù)相關(guān)的初等函數(shù)。對(duì)于前兩個(gè)大點(diǎn)得出的結(jié)論，我們當(dāng)然也可以使用待定系數(shù)法來求，只是不要忘記它們都是用裂項(xiàng)相消法證明出來的結(jié)論。保留原來的參數(shù)得到結(jié)論也可以使用，從而直接得出待定參數(shù)的值，但對(duì)記性的要求很高，這里就不再啰嗦。本人不建議背誦。例6：已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，求它的前n項(xiàng)和。解：設(shè)則所以，解得，所以例7：已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，求它的前n項(xiàng)和。解：例8：已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，求它的前n項(xiàng)和，。解：，（錯(cuò)位相減法這里不贅述了）（與倒敘相加法結(jié)果一致）作業(yè)：1、請(qǐng)用裂項(xiàng)相消法求下列各數(shù)列的和.（1）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，求它的前n項(xiàng)和。（2）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，求它的前n項(xiàng)和。（3）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為