考研數(shù)學二模擬372

1、模擬試卷(六)一、選擇題下列每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的橫線上1設F(x)是連續(xù)函數(shù)f(x)的一個原函數(shù)，“MN”表示“M的充分必要條件是N”，則必有_AF(x)是偶函數(shù)f(x)是奇函數(shù)BF(x)是奇函數(shù)f(x)是偶函數(shù)CF(x)是周期函數(shù)f(x)是周期函數(shù)DF(x)是單調(diào)函數(shù)f(x)是單調(diào)函數(shù)2設函數(shù)f(z)在x=0處連續(xù)，下列命題錯誤的是_3設f(x)=其中g(x)是有界函數(shù)，則f(x)在x=0處_A極限不存在 B極限存在，但不連續(xù)C連續(xù)，但不可導 D可導4設f(x)是連續(xù)函數(shù)，且F(x)=f(t)dt，則F'(x)等于_A-e-xf(e

2、-x)-f(x) B-e-xf(e-x)+f(x)Ce-xf(e-x)-f(x) De-xf(e-x)+f(x)5設f(x，y)為連續(xù)函數(shù)，則(rcos，sin)rdr等于_6在下列微分方程中，以y=C1ex+C2cos2x+C3sin2x(C1，C2，C3為任意常數(shù))為通解的是_Ay"'+y"-4y'-4y=0 By"'+y"+4y'+4y=0Cy"'-y"-4y'+4y=0 Dy"'-y"+4y'-4y=07已知函數(shù)f(x)在區(qū)間(1-，1+)內(nèi)具

3、有二階導數(shù)，f'(x)嚴格單調(diào)減少，且f(1)=f'(1)=1，則_A在(1-，1)和(1，1+)內(nèi)均有f(x)xB在(1-，1)和(1，1+)內(nèi)均有f(x)xC在(1-，1)內(nèi)，f(x)x；在(1，1+)內(nèi)，f(x)xD在(1-，1)內(nèi)，f(x)z；在(1，1+)內(nèi)，f(x)x8若f(x)=-f(-x)，在(0，+)內(nèi)f'(x)0，f"(x)0，則f(x)在(-，0)內(nèi)_Af'(x)0，f"(x)0 Bf'(x)0，f"(x)0Cf'(x)0，f"(x)0 Df'(x)0，f"(x)0二

4、、填空題910曲線在點(0，1)處的法線方程為_11_12過點且滿足關系式y(tǒng)'arcsinx+=1的曲線方程為_13函數(shù)y=x+2cosx在上的最大值為_14曲線y=xin(x0)的漸近線方程為_三、解答題15求16設y=f(x+y)，其中f具有二階導數(shù)，且其一階導數(shù)不等于1，求17求18在橢圓=1的第一象限部分上求一點P，使該點處的切線、橢圓及兩坐標軸所圍圖形面積為最小(其中a0，b0)19求函數(shù)u=x2+y2+z2在約束條件z=x2+y2和x+y+z=4下的最大值和最小值20設區(qū)域D=(x，y)|x2+y21，x0)，計算二重積分21已知非齊次線性方程組有3個線性無關的解(1) 證

5、明方程組系數(shù)矩陣A有秩r(A)=2(2) 求a，b的值及方程組的通解22已知平面上三條不同直線的方程分別為試證這三條直線交于一點的充分必要條件為a+b+c=023已知1，2，3，4是線性方程組Ax=0的一個基礎解系若1=1+t2，2=2+t3，3=3+t4，4=4+t1討論實數(shù)t滿足什么關系時，1，2，3，4也是Ax=0的一個基礎解系參考答案與解析一、選擇題1考點提示 奇函數(shù)、偶函數(shù)、原函數(shù)解題分析 由題意可知于是f(x)為奇函數(shù)df為偶函數(shù)f(x)的全體原函數(shù)為偶函數(shù)；f(x)為偶函數(shù)=f(x)為奇函數(shù)所以選A2考點提示 連續(xù)與極限、導數(shù)定義解題分析 A，B，C三個選項都是正確的對于D選項，

6、如f(x)=|x|，滿足=0，但f'(0+)=1，f'(0-)=-1兩者不相等，即f'(0)可以不存在，故應選D3考點提示 連續(xù)性、可導性解題分析 題設所給函數(shù)f(x)是分段函數(shù)，且f(0)=0，應分別求左、右極限及左、右導數(shù)來討論x=0點的連續(xù)性與可導性由知f(x)在x=0處處連續(xù)又由知f(x)在x=0處可導且f'(0)=0，所以選D4考點提示 利用變限積分求導公式和復合函數(shù)的求導方法計算即可解題分析 =-e-xf(e-x)-f(x)故應選A評注1 本題為選擇題，因此也可用取特殊值法求解：取f(x)=1，則F(x)=e-x-x，于是F'(x)=-e-x

7、-1，代入四個選項中，只有A符合要求評注2 一般變限積分的求導公式為：5考點提示 二重積分的計算解題分析 用排除法若選擇先y后x的積分順序則要用分塊積分由于選項并未分塊積分，故A，B錯誤其中D如圖所求，其極坐標表示為0r1，0現(xiàn)轉(zhuǎn)換為先x后y的順序：因為y=x與x2+y2=1在第一象限的交點為所以從而故選C6考點提示 微分方程及其通解解題分析 由微分方程的通解可知，所求微分方程的特征根為1=1，2,3=±2i，從而特征方程為(-1)(+2i)(-2i)=(-1)(2+4)=3-2+4-4=0，所以所求微分方程為y"'-y"+4y'-4y=0故選D7

8、考點提示 泰勒展開式解題分析 由題設，f(x)在(1-，1+)內(nèi)具有二階導數(shù)，且f'(x)嚴格單調(diào)減少，則f"(x)0，將f(x)在x=1點處作泰勒展開，得其中在x與1之間由已知f(1)=f'(1)=1，則因此f(x)x選A8考點提示 利用奇函數(shù)的導數(shù)為偶函數(shù)，偶函數(shù)的導數(shù)為奇函數(shù)的結論得正確答案解題分析 由f(x)=-f(-x)，得f'(x)=-f'(-x)×(-1)=f'(-x)，f"(x)=-f"(-x)于是當x(-，0)時，-x(0，+)，有f'(-x)0，f"(-x)0，從而 f'

9、;(x)=f'(-x)0，f"(x)=-f"(-x)0故應選C評注 本題考查奇、偶函數(shù)導數(shù)特性一般地，可導奇函數(shù)的導數(shù)為偶函數(shù)，可導偶函數(shù)的導數(shù)為奇函數(shù)二、填空題9考點提示 極限解題分析 求極限通常會有若干種途徑，本題可采用以下幾種方法：注：以上依次采用的方法是等價無窮小因子代換、洛必達法則和麥克勞林級數(shù)展開10考點提示 法線方程、參數(shù)方程求導解題分析 由題設，先求曲線在點(0，1)處的切線的斜率由已知x=0，y-1時，t=0由知因此，此即該點的切線斜率，因而該點法線斜率為-2，從而法線方程為y-1=-2x，即2x+y-1=011考點提示 不定積分解題分析 由題設，

10、12考點提示 一階微分方程解題分析 南題設，原方程可化為應用一階線性非齊次方程通解公式，得由已知曲線過點，則當x=時，y=0代入上式，得C=-所以曲線方程為即 yarcsinx=x-13考點提示 函數(shù)的最值解題分析 先求出內(nèi)的駐點，再將駐點的函數(shù)值與端點的函數(shù)值比較即可得最值因為y'=1-2sinx，令y'=0，得內(nèi)的駐點x=又可見最大值為y=14考點提示 漸近線解題分析 通常漸近線有水平漸近線、鉛直漸近線和斜漸近線三種由題設，因此無水平漸近線又由因此也無鉛直漸近線關于斜漸近線，設因此有斜漸近線為y=x+三、解答題15考點提示 用等價無窮小、洛必達法則解題分析 16考點提示 隱

11、函數(shù)、復合函數(shù)求導數(shù)解題分析 等式兩邊同時對x求導，得y'=f'(x+y)(1+y')，于是再對x求導，得評注 此題考查隱函數(shù)和復合函數(shù)的求導法，特別注意(f')'和f"·(1+y')17考點提示 三角函數(shù)有理式的積分解題分析 三角函數(shù)有理式的積分通常用三角恒等式變換和湊微分法詳解1詳解2詳解3詳解4用萬能代換：令t=tan，則sinx=，x=2arctant，dx=dt于是評注 三角函數(shù)有理式的積分方法比較靈活，盡量用最簡單的方法(如湊微分法)進行計算18考點提示 函數(shù)極值的綜合題解題分析 先求出切線及與坐標軸的交點，所圍圖

12、形的面積是動點(x0，y0)的函數(shù)，再由此確定x0，y0設P(x0，y0)為所求點，則此點處橢圓的切線方程為令x=0，得該切線在y軸上的截距為令y=0，得該切線在x軸上的截距為于是所圍圖形的面積為設S1=x0y0=，因為S1的極大值點即S的極小值點，為計算方便，將求S的極小值點改求S1的極大值點今S'1=0解得在(0，a)內(nèi)的唯一駐點x0=由S'1在點x0=處的左側為正，右側為負，知x0=為S1的極大值點，即S的極小值點所以當x0=時，S為最小此時y0=，即P為所求點19考點提示 多元函數(shù)的最值解題分析 令F(x，y，z)=x2+y2+z2+1(x2+y2-z)+2(x+y+z

13、-4)，分別對各參數(shù)求導并令其為0得到如下方程組解得或即有 umax=(-2)2+(-2)2+82=72，umin=12+12+22=620考點提示 二重積分的計算解題分析 依題意，如圖所示，D為右半單位圓，且關于x軸對稱，因為所以令x=rcos，y=rsin，作極坐標變換則有D1：0，0r1，從而21考點提示 向量組的線性相關性、增廣矩陣、線性方程組的通解解題分析 (1) 用線性相關性判斷秩的方法依題意，設1，2，3是非齊次方程組的3個線性無關的解，則1-2，1-3是Ax=0線性無關的解所以n-r(A)2，即r(A)2又矩陣A中有二階子式不為0，于是r(A)2，所以秩r(A)=2(2) 對增

14、廣矩陣作初等行變換，有由r(A)=r=2(已證)a=2，b=-3又=(2，-3，0，0)T是原方程組的解，1=(-2，1，1，0)T2=(4，-5，0，1)是AX=0的基礎解系，所以原方程組的通解是+K11+K22(K1，K2為任意常數(shù))22考點提示 線性非齊次代數(shù)方程組解題分析 由題設，三條直線交于一點等價于線性非齊次方程組有唯一解下面先證必要性，設系數(shù)矩陣為A，增廣矩陣為B，則方程組有唯一解，則r(A)=r(B)=2，因而|B|=0，即=3(a+b+c)r(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0由已知3條直線不相同，從而(a-b)2+(b-c)2+(c-a)20，因此a+b+c=0至此

15、，必要性得證再證充分性，由于a+b+c=0，則|B|=0，因此，r(B)2又因為由此r(A)=2，所以r(A)=r(B)=2，則方程組有唯一解，也即三條直線交于一點充分性得證注 本題的另外一種證法是：(1) 必要性：設三條直線交于一點(x0，y0)，則是Ax=0的非零解，其中因此|A|=0，即|A|=-3(a+b+c)(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2由于(a-b)2+(b-c)2+(c-a)20，知a+b+c=0(2) 充分性：由方程組的三個方程相加，并結合a+b+c=0，知上述方程等價于以下方程組由于=a2+2ab+b2+a2+b2=-(a+b)2+a2+b20因此原方程組解唯一，從而三條直線交于一點23考點提示 基礎解系解題分析 本題考查一個向量組成其為一個線性方程組的基礎解系的充分必要條件，即該向量組的所有向量線性無關，且都是原方程組的解；同時該向量組中向量的個數(shù)等于原方程組的解空間的維數(shù)由題設，1，2，3，4是Ax=0的基礎解系，則Ax=0的解空間維數(shù)是4，又1，2，3，4都是1，2，3，4的線性組合，所以1，2，3，4都是Ax=0的解至此只需討論1，2，3，4是否線性無關即可設 k1