自適應(yīng)濾波算法原理及其應(yīng)用

1、自適應(yīng)濾波算法原理與應(yīng)用經(jīng)典的濾波算法包括，維納濾波，卡爾曼濾波，自適應(yīng)濾波。維納濾波與卡爾曼濾波能夠滿足一些工程問題的需求，得到較好的濾波效果。但是他們也存在局限性，對(duì)于維納濾波來說，需要得到足夠多的數(shù)據(jù)樣本時(shí)，才能獲得較為準(zhǔn)確的自相關(guān)函數(shù)估計(jì)值，一旦系統(tǒng)設(shè)計(jì)完畢，濾波器的長(zhǎng)度就不能再改變，這難以滿足信號(hào)處理的實(shí)時(shí)性要求；對(duì)于卡爾曼濾波，需要提前對(duì)信號(hào)的噪聲功率進(jìn)行估計(jì)，參數(shù)估計(jì)的準(zhǔn)確性直接影響到濾波的效果。在實(shí)際的信號(hào)處理中，如果系統(tǒng)參數(shù)能夠隨著輸入信號(hào)的變化進(jìn)行自動(dòng)調(diào)整，不需要提前估計(jì)信號(hào)與噪聲的參數(shù)，實(shí)現(xiàn)對(duì)信號(hào)的自適應(yīng)濾波，這樣的系統(tǒng)就是自適應(yīng)濾波系統(tǒng)。1.基本自適應(yīng)濾波算法自適應(yīng)濾波

2、算法的基本思想是根據(jù)輸入信號(hào)的特性自適應(yīng)調(diào)整濾波器的系數(shù)，實(shí)現(xiàn)最優(yōu)濾波。圖1 自適應(yīng)濾波結(jié)構(gòu)框圖若自適應(yīng)濾波的階數(shù)為，濾波器系數(shù)為，輸入信號(hào)序列為，則輸出為：（ 1）（ 2）其中為期望信號(hào)，為誤差信號(hào)。（ 3）（ 4）則濾波器的輸出可以寫成矩陣形式：（ 5）（ 6）定義代價(jià)函數(shù)：（ 7）當(dāng)使上式中的代價(jià)函數(shù)取到最小值時(shí)，認(rèn)為實(shí)現(xiàn)最優(yōu)濾波，這樣的自適應(yīng)濾波成為最小均方自適應(yīng)濾波（LMS）。對(duì)于最小均方自適應(yīng)濾波，需要確定使得均方誤差最小的濾波器系數(shù)，一般使用梯度下降法求解這類問題。濾波器系數(shù)向量的迭代公式為：（ 8）式中，為步長(zhǎng)因子，為代價(jià)函數(shù)的梯度。（ 9）因?yàn)樗矔r(shí)梯度為真實(shí)梯度值的無偏估計(jì)，

3、實(shí)際應(yīng)用中可使用瞬時(shí)梯度代替真實(shí)梯度，即有：（ 10）（ 11）通過逐步迭代，即可得到最優(yōu)的濾波器系數(shù)，實(shí)現(xiàn)對(duì)輸入信號(hào)的自適應(yīng)濾波。2.自適應(yīng)濾波的工程應(yīng)用為了比較不同濾波算法的濾波效果，這里仍然采用前面用到的二維圓周運(yùn)動(dòng)軌跡追蹤的問題作為工程背景。自適應(yīng)濾波算法的程序設(shè)計(jì)思路如圖 2所示。圖 2 自適應(yīng)濾波算法流程圖迭代步長(zhǎng)時(shí)，得到的濾波結(jié)果為：圖 3 X方向自適應(yīng)濾波結(jié)果-基本自適應(yīng)濾波圖 4 Y方向自適應(yīng)濾波結(jié)果-基本自適應(yīng)濾波從X與Y方向上的位移變化曲線與方差變化曲線上可以看出，濾波結(jié)果出現(xiàn)了發(fā)現(xiàn)，最終得到的結(jié)果并沒有達(dá)到最優(yōu)解。分析其原因，可能是迭代步長(zhǎng)太大，將迭代步長(zhǎng)減小之后，取，

4、得到較為理想的濾波結(jié)果，示于圖 5和 6.圖 5 X方向自適應(yīng)濾波結(jié)果-基本自適應(yīng)濾波圖 6 Y方向自適應(yīng)濾波結(jié)果-基本自適應(yīng)濾波可以看出，減小步長(zhǎng)因子之后，兩個(gè)方向上的濾波軌跡與期望的軌跡之間的誤差明顯減小，證明了自適應(yīng)濾波的有效性。3.自適應(yīng)濾波的收斂性分析在上一節(jié)的討論中，迭代步長(zhǎng)選擇對(duì)于算法的收斂性具有決定性作用，步長(zhǎng)值的微小改變即可對(duì)算法的收斂效果產(chǎn)生明顯影響，因此如何確定合適的步長(zhǎng)值是自適應(yīng)濾波算法中重要的內(nèi)容。（ 12）（ 13）系統(tǒng)的最小均方誤差最小時(shí)，有：則下式成立：（ 14） 對(duì)于濾波器系數(shù)的迭代過程，有：（ 15）對(duì)自相關(guān)矩陣進(jìn)行分解，即：（ 16）則相鄰兩次迭代過程的濾

5、波器系數(shù)之間滿足關(guān)系式：（ 17）（ 18）當(dāng)?shù)螖?shù)為無窮大時(shí)，理論上可以實(shí)現(xiàn)最優(yōu)濾波，即迭代步長(zhǎng)應(yīng)該滿足：（ 19）從而有：（ 20）式 20即為確保算法收斂迭代步長(zhǎng)應(yīng)滿足的條件。得到步長(zhǎng)的收斂性條件，即可在滿足要求的范圍內(nèi)調(diào)整步長(zhǎng)因子，選擇最佳的步長(zhǎng)，在確保算法收斂的前提下，提高收斂速度。對(duì)于二維軌跡追蹤問題，取步長(zhǎng)因子為，得到的濾波結(jié)果如圖 7至 9所示。圖 7 X方向自適應(yīng)濾波結(jié)果-基本自適應(yīng)濾波圖 8 Y方向自適應(yīng)濾波結(jié)果-基本自適應(yīng)濾波圖 9 二維圓周運(yùn)動(dòng)軌跡濾波結(jié)果-基本自適應(yīng)濾波從X方向，Y方向上的濾波結(jié)果可以看出，濾波軌跡在起初的一段時(shí)間內(nèi)與期望軌跡存在較大的誤差，但隨著迭

6、代次數(shù)增加，兩者的誤差逐漸減小，最終得到誤差的最小值。二維軌跡圖上也能得到類似的結(jié)論。4.變步長(zhǎng)自適應(yīng)濾波在滿足收斂性條件的要求下選擇迭代步長(zhǎng)，可以確保最終得到收斂的結(jié)果，但是這一步長(zhǎng)在整個(gè)過程中是固定的。然而，更為理想的情況是在濾波的初始階段，誤差值很大時(shí)，迭代步長(zhǎng)可以取較大的值，以取得較快的收斂速度，隨著誤差減小，逐漸接近最優(yōu)目標(biāo)時(shí)，迭代步長(zhǎng)也相應(yīng)減小，從而得到較好的收斂精度，這就是變步長(zhǎng)自適應(yīng)濾波算法。變步長(zhǎng)的自適應(yīng)濾波算法已經(jīng)有了較長(zhǎng)時(shí)間的發(fā)展，前人發(fā)展了很多有效的變步長(zhǎng)算法，這里僅選擇兩種常用的方法。（1）歸一化變步長(zhǎng)自適應(yīng)濾波算法其中，為常數(shù)，且滿足。歸一化的變步長(zhǎng)濾波算法使用輸入

7、信號(hào)的能量對(duì)步長(zhǎng)因子進(jìn)行歸一化，確保其取到合適的值。（2）Sigmod函數(shù)變步長(zhǎng)自適應(yīng)濾波算法其中，為常數(shù)，且滿足。Sigmod函數(shù)使用濾波器的輸出誤差對(duì)迭代步長(zhǎng)進(jìn)行控制，從表達(dá)式中可以看出，誤差較大時(shí)，步長(zhǎng)因子的值較大，誤差減小時(shí)，步長(zhǎng)因子的值也會(huì)相應(yīng)減小。圖 10 變步長(zhǎng)自適應(yīng)濾波算法程序設(shè)計(jì)流程圖采用變步長(zhǎng)的自適應(yīng)濾波算法對(duì)二維圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡進(jìn)行追蹤，濾波結(jié)果示于圖 11至 13。其中參數(shù)。圖 11 X方向自適應(yīng)濾波結(jié)果-變步長(zhǎng)自適應(yīng)濾波圖 12 Y方向自適應(yīng)濾波結(jié)果-變步長(zhǎng)自適應(yīng)濾波圖 13 二維圓周運(yùn)動(dòng)軌跡濾波結(jié)果-變步長(zhǎng)自適應(yīng)濾波從X方向與Y方向上的濾波曲線可以看出，變步長(zhǎng)的自適應(yīng)

8、濾波輸出結(jié)果與期望信號(hào)之間的誤差更小，固定步長(zhǎng)時(shí)起始階段的大幅度波動(dòng)也消失了，對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡的追蹤效果也更好。5.解相關(guān)自適應(yīng)濾波當(dāng)輸入信號(hào)之間具有較強(qiáng)的相關(guān)性時(shí)，自適應(yīng)濾波的效果并不理想，因此改進(jìn)自適應(yīng)濾波算法的一個(gè)方法就是消除相鄰輸入信號(hào)序列的相關(guān)性，稱為解相關(guān)自適應(yīng)濾波。解相關(guān)自適應(yīng)濾波算法的實(shí)現(xiàn)過程為：該算法通過求解相鄰兩個(gè)輸入信號(hào)序列的相關(guān)系數(shù)，在當(dāng)前輸入信號(hào)中減去與上一輸入信號(hào)的相關(guān)部分，作為當(dāng)前的輸入信號(hào)，實(shí)現(xiàn)解相關(guān)的自適應(yīng)濾波。圖 14給出了解相關(guān)自適應(yīng)濾波算法的程序設(shè)計(jì)流程。圖 14 解相關(guān)自適應(yīng)濾波算法流程圖將該算法應(yīng)用于二維圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡追蹤問題，所得結(jié)果示于圖 15至 17

9、。圖 15 X方向自適應(yīng)濾波結(jié)果-解相關(guān)自適應(yīng)濾波 圖 16 Y方向自適應(yīng)濾波結(jié)果-解相關(guān)自適應(yīng)濾波 圖 17 二維圓周運(yùn)動(dòng)軌跡濾波結(jié)果-解相關(guān)自適應(yīng)濾波圖 15， 16， 17顯示了應(yīng)用解相關(guān)自適應(yīng)濾波算法對(duì)二維圓周運(yùn)動(dòng)軌跡進(jìn)行濾波后的結(jié)果。X與Y方向上的信號(hào)均與期望信號(hào)符合的很好，并且最小均方誤差的變化曲線也呈現(xiàn)較快的收斂趨勢(shì)。在二維軌跡圖上，濾波軌跡的波動(dòng)性大大降低，僅在初始階段存在輕微的波動(dòng)，但總體上取得了理想的濾波結(jié)果，能夠滿足實(shí)際應(yīng)用的需求。6.變換域自適應(yīng)濾波從解相關(guān)自適應(yīng)濾波算法結(jié)果看出，如果能夠消除輸入信號(hào)的相關(guān)性，自適應(yīng)濾波的效果將得到極大的改進(jìn)，在此基礎(chǔ)上，有發(fā)展出了變換

10、域的自適應(yīng)濾波算法。其基本思想是使用一組正交基，將時(shí)域信號(hào)變換到對(duì)應(yīng)的變換域上，則在變換域上，信號(hào)的相關(guān)性就會(huì)降低，對(duì)信號(hào)進(jìn)行歸一化后，自相關(guān)矩陣特征值的分散度就會(huì)降價(jià)，從而提高算法的收斂性?；镜淖儞Q包括頻率域變換，余弦變換，小波變換，分?jǐn)?shù)階Fourier變換。（1） 基于頻域的自適應(yīng)濾波將輸入信號(hào)和期望信號(hào)分別形成N點(diǎn)數(shù)據(jù)塊，然后做N點(diǎn)離散Fourier變換，權(quán)系數(shù)每N個(gè)樣點(diǎn)更新一次。對(duì)信號(hào)進(jìn)行變換與反變換時(shí)，可以利用快速Fourier正變換與逆變換算法，能夠有效提高運(yùn)算速度。（2） 基于余弦變換域的自適應(yīng)濾波算法余弦變換能夠較好地近似理想正交變換，基于余弦變換域的LMS自適應(yīng)濾波算法不僅

11、減小了輸入信號(hào)的自相關(guān)程度，明顯提高了收斂速度，減小了權(quán)失調(diào)噪聲，而且該算法的計(jì)算量也大大減小。（3） 基于小波變換域的自適應(yīng)濾波算法對(duì)自適應(yīng)濾波器的輸入信號(hào)進(jìn)行正交變換，利用小波的時(shí)頻局部特性，將輸入向量正交分解到多尺度空間 。減小了自適應(yīng)濾波器輸入向量自相關(guān)陣的譜動(dòng)態(tài)范圍，大大增加了算法的收斂步長(zhǎng)，提高了收斂速度和穩(wěn)定性。（4） 基于分?jǐn)?shù)階Fourier域的自適應(yīng)濾波算法分?jǐn)?shù)階Fourier變換是一種時(shí)頻分析工具和旋轉(zhuǎn)算子，信號(hào)在分?jǐn)?shù)Fourier域上的表示同時(shí)融合了信號(hào)在時(shí)域和頻域的信息。基于分?jǐn)?shù)階傅里葉變換域的自適應(yīng)濾波利用前一時(shí)刻已獲得的濾波器參數(shù)等結(jié)果，自動(dòng)調(diào)節(jié)現(xiàn)時(shí)刻的濾波器參數(shù)，

12、以適應(yīng)信號(hào)和噪聲未知的或隨時(shí)間變化的統(tǒng)計(jì)特性，從而實(shí)現(xiàn)最優(yōu)濾波。圖 18 變換域自適應(yīng)濾波算法流程圖參考文獻(xiàn)1李方偉,張浩. 一種新的變步長(zhǎng)LMS自適應(yīng)濾波算法及其仿真J. 重慶郵電大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2009,(05):591-594. 2齊林,周麗曉. 變換域自適應(yīng)濾波算法的研究J. 鄭州大學(xué)學(xué)報(bào)(理學(xué)版),2007,(01):61-66. 3馮存前,張永順. 變步長(zhǎng)頻域快速自適應(yīng)收發(fā)隔離算法研究J. 電子對(duì)抗技術(shù),2004,(05):22-25+45. 4Deherty J, Porayath R. A robust echo canceler for acoustic enviro

13、nments. IEEE Trans. Circuits and Systems, II, 1997, 44:389-398.5張賢達(dá). 現(xiàn)代信號(hào)處理（第三版）.北京:清華大學(xué)出版社,2015.6高西全,丁玉美. 數(shù)字信號(hào)處理-時(shí)域離散隨機(jī)信號(hào)處理. 西安:西安電子科技大學(xué)出版社, 2002.代碼：自適應(yīng)濾波算法：%該程序?qū)崿F(xiàn)對(duì)二維圓周運(yùn)動(dòng)軌跡的自適應(yīng)濾波%該程序?yàn)橹骱瘮?shù)，調(diào)用不同的子函數(shù)實(shí)現(xiàn)不同的濾波方法%子函數(shù)1：fun_fplms_filter2-固定步長(zhǎng)自適應(yīng)濾波%子函數(shù)2：fun_cplms_filter2-變步長(zhǎng)自適應(yīng)濾波%子函數(shù)3：fun_lms_filter_der2-解相關(guān)自

14、適應(yīng)濾波clear close allN=2000;theta=linspace(0,2*pi,N); %極坐標(biāo)參數(shù)e_x=cos(theta); %x，y方向上的期望信號(hào)e_y=sin(theta);no_x=normrnd(0,sqrt(0.08),1,N); %高斯白噪聲no_y=normrnd(0,sqrt(0.12),1,N);m_x=e_x+no_x; %觀測(cè)信號(hào)m_y=e_y+no_y;%fixed step% Err_x,f_x=fun_fplms_filter2(e_x,m_x,N,10);% Err_y,f_y=fun_fplms_filter2(e_y,m_y,N,10)

15、;%changed step% Err_x,f_x=fun_cplms_filter2(e_x,m_x,N,10);% Err_y,f_y=fun_cplms_filter2(e_y,m_y,N,10);%decorrelation Err_x,f_x=fun_lms_filter_der2(e_x,m_x,N,10);Err_y,f_y=fun_lms_filter_der2(e_y,m_y,N,10);figureplot(e_x,e_y,'k','linewidth',2)hold onplot(m_x,m_y,'b')hold onplo

16、t(f_x,f_y,'r-')title('LMS自適應(yīng)濾波圓周運(yùn)動(dòng)軌跡追蹤')legend('期望軌跡','觀測(cè)軌跡','濾波軌跡')figuresubplot(211)plot(e_x,'k')hold onplot(m_x,'b')hold onplot(f_x,'r')title('x方向上信號(hào)濾波效果對(duì)比')legend('期望信號(hào)','觀測(cè)信號(hào)','濾波信號(hào)',4)subplot(212)pl

17、ot(Err_x,'k')title('x方向上濾波方差變化曲線')figuresubplot(211)plot(e_y,'k')hold onplot(m_y,'b')hold onplot(f_y,'r')title('y方向上信號(hào)濾波效果對(duì)比')legend('期望信號(hào)','觀測(cè)信號(hào)','濾波信號(hào)',4)subplot(212)plot(Err_y,'k')title('y方向上濾波方差變化曲線')function

18、 SE,x_f=fun_fplms_filter2(x0,xm,n,m)%this function conducts the adaptive filtering with fixed step lengthx_e=x0;x_m0=xm;N=n;M=m;x_f=x_m0; %order of filter and initial weight valuesw=zeros(1,M);SE=zeros(1,N);% fundmental LMS adptive filter Modern SP Zxd P183rxx=xcorr(x_m0)/N;Rxx=toeplitz(rxx(N:end);m

19、ui_max=1/max(eig(Rxx);% trace(Rxx)% mui_max=1/trace(Rxx); %convergence conditionmui=0.6*mui_max; %initial step length% normallized LMS Modern SP Zxd P183% alpha=0.8;beta=2; % the iterative filter x_m=zeros(1,M) x_m0;for i=1:N u_in=x_m(M+i:-1:i+1); u_out=sum(u_in.*w); err=x_e(i)-u_out;% mui=alpha/(be

20、ta+sum(u_in.2);% mui=0.06; w=w+mui*u_in*err; x_f(i)=u_out; se=x_e-x_f; SE(i)=sum(se.2)/N;endfunction SE,x_f=fun_cplms_filter2(x0,xm,n,m)%this function conducts the adaptive filtering with varing lengthx_e=x0; %parameter in function modex_m0=xm;N=n;M=m;x_f=x_m0; %order of filter and initial weight va

21、luesw=zeros(1,M);SE=zeros(1,N);% fundmental LMS adptive filter Modern SP Zxd P183% rxx=xcorr(x_m0)/N;% Rxx=toeplitz(rxx(N:end);% mui_max=1/max(eig(Rxx);% % trace(Rxx)% % mui_max=1/trace(Rxx); %convergence condition% mui=0.6*mui_max; %initial step length% normallized LMS Modern SP Zxd P183% alpha=0.8

22、;beta=2; alpha=-6.6;beta=0.18;a=2; %Sigmoid fucntion% the iterative filter x_m=zeros(1,M) x_m0;for i=1:N u_in=x_m(M+i:-1:i+1); u_out=sum(u_in.*w); err=x_e(i)-u_out; mui=beta*(1-exp(alpha*erra);% mui=alpha/(beta+sum(u_in.2); w=w+mui*u_in*err; x_f(i)=u_out; se=x_e-x_f; SE(i)=sum(se.2)/N;end% x_f(M:M+3

23、)=x_m(M:M+3);% to improve the initial steps of filter% Err=x_f-x_e;% Re=Err./x_e;% find(abs(Re)=max(abs(Re)% plot the filter outputsfigureplot(x_e,'k')hold onplot(x_m0,'b')hold onplot(x_f,'r')% legend('expected','measured','filtered')legend('期望信號(hào)','觀測(cè)信號(hào)','濾波信號(hào)')% figure% plot(SE,'k')% title('自適應(yīng)濾波方差變化曲線')function SE,x_f=fun_lms_filter_der2(x0,xm,n,m)%this function conducts the adaptive filtering using de-corellation me