2014數(shù)學(xué)建模b題

1、 對創(chuàng)意平板折疊桌的最優(yōu)化設(shè)計摘 要本文主要研究了創(chuàng)意平板折疊桌的相關(guān)問題。對于問題一，首先，我們根據(jù)所提供的已知尺寸的長方形平板和桌面形狀，桌高的要求，以圓桌面中心作為原點建立了相應(yīng)的空間直角坐標(biāo)系，分別求出了各個桌腿的長度，根據(jù)在折疊過程中，鋼筋穿過的每個點距離桌面的高度相同這一性質(zhì)，利用MATLAB程序計算出了每根木棒卡槽的長度和桌腳底端每個點的坐標(biāo)，其中卡槽長度依次為（從最外側(cè)開始，單位：cm）：0、 4.3564、7.663、10.3684、12.5926、14.393、15.8031、16.8445、17.5314、17.8728，并且根據(jù)底端坐標(biāo)擬合出了桌腳邊緣線的方程并進(jìn)行了檢

2、驗 。另外，我們通過桌腳邊緣線的變化圖像來描述折疊桌的折疊過程。 對于問題二，我們以用材最少為目標(biāo)函數(shù)，以穩(wěn)固性好為約束條件，通過對桌腿進(jìn)行力學(xué)分析和幾何分析得到了使得用材最少且穩(wěn)固性好的圓桌需要滿足的條件是鋼筋穿過最長腿的位置滿足一個不等式。并且，當(dāng)平板的長為163.4702cm,寬為80cm,厚度為3cm,最外側(cè)桌腿鋼筋處到桌腿底端的距離與桌腿的長度之比為0.4186時，木板的用材最小，其對應(yīng)的體積為cm。對于問題三，為了滿足客戶需求，使得生產(chǎn)的折疊桌盡可能接近客戶所期望的形狀，我們給出了軟件設(shè)計的基本算法。我們考慮了“操場形”桌面和“雙曲線形”桌面，得到了“操場形”桌面的的創(chuàng)意

3、平板折疊桌槽長為（從最外側(cè)開始，單位：cm）：0、4.3564、7.6637、10.3684、12.5926、14.3930、15.8031、16.8445、17.5314、17.8728; “曲線形”桌面的創(chuàng)意平板折疊桌槽長為（從最外側(cè)開始，單位：cm）：0、1.5756、2.8917、3.9886、4.9005、5.6532、6.2641、6.7397、7.0741、7.2501。最后，給出了兩種桌面的動態(tài)變化圖。關(guān)鍵字：曲線擬合  最優(yōu)化設(shè)計  幾何模型 折疊桌 桌腳邊緣線 一、問題重述問題背景某公司生產(chǎn)一種可折疊的桌子，桌面呈圓形，桌腿

4、隨著鉸鏈的活動可以平攤成一張平板。桌腿由若干根木條組成，分成兩組，每組各用一根鋼筋將木條連接，鋼筋兩端分別固定在桌腿各組最外側(cè)的兩根木條上，并且沿木條有空槽以保證滑動的自由度。桌子外形由直紋曲面構(gòu)成，造型美觀。附件視頻展示了折疊桌的動態(tài)變化過程。目標(biāo)任務(wù)建立數(shù)學(xué)模型討論下列問題：1. 給定長方形平板尺寸為120 cm × 50 cm × 3 cm，每根木條寬2.5 cm，連接桌腿木條的鋼筋固定在桌腿最外側(cè)木條的中心位置，折疊后桌子的高度為53 cm。建立模型描述此折疊桌的動態(tài)變化過程，在此基礎(chǔ)上給出此折疊桌的設(shè)計加工參數(shù)（例如，桌腿木條開槽的長度等）和桌腳邊緣線（圖4中紅色

5、曲線）的數(shù)學(xué)描述。2. 折疊桌的設(shè)計應(yīng)做到產(chǎn)品穩(wěn)固性好、加工方便、用材最少。對于任意給定的折疊桌高度和圓形桌面直徑的設(shè)計要求，討論長方形平板材料和折疊桌的最優(yōu)設(shè)計加工參數(shù)，例如，平板尺寸、鋼筋位置、開槽長度等。對于桌高70 cm，桌面直徑80 cm的情形，確定最優(yōu)設(shè)計加工參數(shù)。3. 公司計劃開發(fā)一種折疊桌設(shè)計軟件，根據(jù)客戶任意設(shè)定的折疊桌高度、桌面邊緣線的形狀大小和桌腳邊緣線的大致形狀，給出所需平板材料的形狀尺寸和切實可行的最優(yōu)設(shè)計加工參數(shù)，使得生產(chǎn)的折疊桌盡可能接近客戶所期望的形狀。我們團隊的任務(wù)是幫助給出這一軟件設(shè)計的數(shù)學(xué)模型，并根據(jù)所建立的模型給出幾個自己設(shè)計的創(chuàng)意平板折疊桌。給出相應(yīng)的

6、設(shè)計加工參數(shù)，畫出至少8張動態(tài)變化過程的示意圖。二、問題分析針對問題一，對于給定某些參數(shù)的平板，要建立模型來描述折疊桌的動態(tài)變化過程，就必須確定未知參數(shù)，如，折疊桌的各個桌腿長以及所穿鋼筋所活動區(qū)域的卡槽長。根據(jù)題意，可以了解到長方形平板的寬度即為圓桌桌面的直徑，因此，可以建立相應(yīng)的空間直角坐標(biāo)系，利用一定的數(shù)學(xué)方程通過桌面直徑以及桌腿（各木條）的寬度計算出每個桌腿的長度，進(jìn)而利用其長度和已知的桌高求出個木條的開槽長度。另外，折疊桌的動態(tài)變化過程可由鋼筋在卡槽中的運動軌跡來描述。 針對問題二，為了達(dá)到最優(yōu)的加工方案，我們可以將多目標(biāo)優(yōu)化做一轉(zhuǎn)化，選擇以用材最少為目標(biāo)函數(shù)，即選擇的木板所用的體積

7、最少為目標(biāo)，以穩(wěn)固性好和加工方便為約束條件，利用受力和幾何圖形分析，將所需考慮的平板尺寸、鋼筋位置、開槽長度三個設(shè)計參數(shù)用未知量表示，采用和問題一類似的數(shù)學(xué)方法計算未知量為何值時，目標(biāo)函數(shù)的最小值。針對問題三，為了滿足客戶對于折疊桌樣式與尺寸的需求，我們可以采用與問題一與問題二中類似的分析方法，給出其算法思想，最后可以通過程序得出相應(yīng)的設(shè)計參數(shù)和某些創(chuàng)意桌面的動態(tài)圖。三、符號說明與問題假設(shè)符號說明符號意義桌腿最外側(cè)向內(nèi)的順序描述第根桌角邊緣線的長度第根桌腿的長度平面時第根桌腿鋼條所在位置距離圓桌邊緣的距離立體時第根桌腿鋼條所在位置距離圓桌邊緣的距離第根桌腿的卡槽長度第根桌腿底端到圓桌平面的高度

8、平板體積大小模型假設(shè)1. 假設(shè)桌子的高度包括桌子的厚度。2. 假設(shè)問題二中桌腿寬度為2.5cm，木板厚度為3cm。3. 假設(shè)在此問題中，忽略鋼筋自身的直徑。4. 假設(shè)桌腳與地面完全接觸并且忽略各個木條間的縫隙。四、模型建立與求解問題一：模型建立根據(jù)問題首先我們可以建立幾何模型對問題一進(jìn)行求解。（1）計算每根桌腿的長度根據(jù)題目所給條件，組成桌腿的每根木條的寬度為2.5cm，另外，我們知道所給木板的寬度等于折疊后圓形桌的直徑，即桌面直徑為50cm，也就是說，該圓桌左右兩邊共有20根木條。由于折疊后的圓桌關(guān)于平行于長方形木板的寬的一條直徑對稱，因此折疊桌的相關(guān)性質(zhì)我們只需考慮圓桌的左半邊或右半邊，又

9、由于，折疊后的圓桌的一邊也是互相對稱的，故本文中只以圓桌的1/4為研究對象，即只研究10根木條的相關(guān)變化趨勢。結(jié)合以上分析，我們做出折疊前的長方形木板的俯視圖，并且以圓桌的圓心為坐標(biāo)原點，以垂直于桌面的為z軸，平行于長方形寬的直徑為y軸，垂直于該直徑的為x軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖1所示：圖1 空間直角坐標(biāo)系對于以上的坐標(biāo)系，可以得到第根木條寬度的中點落在軸的坐標(biāo)，由于每根木條的寬度相同，顯然，為等差數(shù)列。由圖1及已知條件可知，每根木條的寬度的中點在圓上，所以，由于位于圓周上，因此有將代入上述圓的方程中便可以得到的值已知木板長120cm,即兩邊分別長60cm，則第條桌腿長，因此，只需要求出各

10、點在圓上的坐標(biāo)即可求出各個腿長。（2）計算每根桌腿的槽長大小由于鋼筋在旋轉(zhuǎn)過程中不發(fā)生任何形變，因此，通過對折疊過程的分析可以知道，每根桌腿中的鋼條到所平行的圓桌直徑對應(yīng)其鋼條高度的距離是相同的，圓桌高度是53cm，厚度是3cm，所以實際桌高應(yīng)該是50cm因為鋼筋固定在桌腿最外側(cè)木條的中心位置，所以鋼筋固定點到圓桌邊緣的距離根據(jù)三角形相似和勾股定理可得，最外側(cè)桌腿中的鋼條到圓桌邊緣對應(yīng)其高度的距離，并且滿足，由上式即可解出具體分析圖如圖2： 圖2 立體分析圖最外側(cè)桌腿中的鋼條到所平行的圓桌直徑對應(yīng)其鋼條高度的距離是，即桌腿中的鋼條到所平行的圓桌直徑對應(yīng)其鋼條高度的距離也為，則平面時每根桌腿鋼條

11、所在位置距離圓桌邊緣的距離：立體時每根桌腿鋼條所在位置距離圓桌邊緣的距離：每根卡槽的長度用立體時鋼筋與圓形桌面邊緣之間的距離和平板時鋼筋與圓形桌面邊緣之間的距離之差表示（3）桌角邊緣線的數(shù)學(xué)描述由（2）求得立體時每根桌腿鋼條所在位置距離圓桌邊緣的距離，每根桌腿鋼條所在位距離圓桌的高度為，每根桌腿長為，每根桌腿所在位置距離圓桌的垂直高度為，如圖所示利用相似三角形原理，可得即 圖3 每根桌腿所在位置距離圓桌的垂直高度示意圖為了研究桌角邊緣線的相關(guān)形式，我們對，即對桌角邊緣點的三維坐標(biāo)進(jìn)行多項式擬合，其形式如下：問題一模型求解（1）由于桌腿的寬度為2.5cm，且圓形桌的直徑等于木板的寬，即為50cm

12、，所以以圓形桌兩邊對稱，一邊有20條桌腿，我們以桌面的1/4為研究對象，即共10條桌腿。根據(jù)所建立的直角坐標(biāo)系，利用等差數(shù)列下不同的求解不同的圓桌邊緣長，進(jìn)而利用求得桌腿長。在MATLAB中進(jìn)行編程得到10條桌腿的長度分別為（單位：厘米）(具體程序見附錄1)1234567891052.1946.8343.4641.0039.1237.6736.5835.7935.2835.03表1 桌腿的長度表因為桌高cm,由表1可知最外側(cè)的桌腿長為52.19cm，而最外側(cè)桌腿一定與垂直方向存在夾角，故最長腿長度一定大于垂直高度，即52.19>50，所以所得結(jié)果符合題意。（2）由題意可知立體時最外側(cè)桌腿

13、鋼條所在位置距離圓桌邊緣的距離最外側(cè)桌腿中的鋼條到圓桌邊緣對應(yīng)其高度，可以得到最外側(cè)桌腿中的鋼條到圓桌邊緣對應(yīng)其高度的距離最外側(cè)桌腿中的鋼條到所平行的圓桌直徑對應(yīng)其鋼條高度的距離是根據(jù)桌腿中的鋼條到所平行的圓桌直徑對應(yīng)其鋼條高度的距離是相同的，通過計算得到立體時鋼筋與圓形桌面邊緣之間的距離和平板時鋼筋與圓形桌面邊緣之間的距離，每根卡槽的長度用立體時鋼筋與圓形桌面邊緣之間的距離和平板時鋼筋與圓形桌面邊緣之間的距離之差，在MATLAB中對10條桌腿的卡槽的長度計算進(jìn)行編程，得到10條桌腿的卡槽長度由外側(cè)向內(nèi)分別為（單位：厘米）(具體程序見附錄2)1234567891004.357.6610.361

14、2.5914.3915.8016.8417.5317.87表2 桌腿卡槽長度表（3）求解桌腳邊緣點的坐標(biāo)在MATLAB中解出對每根桌腿所在位置距離圓桌的高度為，即20根桌腿邊緣點的三維坐標(biāo)如下表3所示：1234567891022.7717.1314.3812.9912.3412.1212.1112.1812.2712.32-23.75-21.25-18.75-16.25-13.75-11.25-8.75-6.25-3.75-1.25-50-46.66-43.41-40.55-38.17-36.26-34.78-33.71-33.01-32.661112131415161718192012.32

15、12.2712.1812.1112.1212.3412.9814.3717.1322.771.253.756.258.7511.2513.7516.2518.7521.2523.75-32.66-33.01-33.71-34.78-36.26-38.17-40.55-43.41-46.66-50表3 桌腿最底端三維坐標(biāo)表根據(jù)上述坐標(biāo)，對其做散點圖，圖像如下：（具體程序見附錄3）圖4 桌角邊緣線示意圖在MATLAB中關(guān)于與進(jìn)行擬合，由于三次擬合貼近度最高，所以我們采用三次進(jìn)行擬合，得到擬合結(jié)果為（4）誤差分析為了更好的說明擬合的貼近度，我們在MATLAB中作出擬合圖像如下：（具體程序見附錄4）圖

16、5 擬合圖像與原圖的對比圖由圖5明顯的可以看到，原曲線和擬合曲線貼合度很高，另外，我們對其做了誤差分析，利用方差的大小，來判斷擬合結(jié)果是否合理，最后計算得到方差為0.0356，所以認(rèn)為擬合結(jié)果是合適的。（5）桌腳邊緣線的動態(tài)描述 我們通過作出不同時刻的桌腳邊緣線的圖像來反映其折疊的動態(tài)過程圖6 折疊桌動態(tài)變化過程圖問題二：模型建立我們設(shè)出木板長為cm，寬為cm，厚度為cm. 根據(jù)題目所給條件，我們知道圓形桌的直徑等于木板的寬。由于桌腿的寬度為2.5cm，所以以圓形桌的1/4為研究對象，共有16條桌腿。（1）計算每根桌腿的長度我們?nèi)鐖D所建立的坐標(biāo)系進(jìn)行分析得，為等差數(shù)列遞增由于每根木條的寬度的中

17、點在圓上，所以，圓的方程為將代入圓的方程中解出因為木板長cm,即一邊長cm，則桌腿長（2）計算每根桌腿的槽長大小我們令為最外側(cè)鋼筋位置到桌腿底端的距離與最外側(cè)桌腿長之比每根桌腿中的鋼條到所平行的圓桌直徑對應(yīng)其鋼條高度的距離是相同的，圓桌高度是cm，厚度是cm，所以實際桌高應(yīng)該是（）cm根據(jù)三角形相似和勾股定理可得，為最外側(cè)桌腿中的鋼條到圓桌邊緣對應(yīng)其高度的距離 圖7 立體分析圖由上式解出的值最外側(cè)桌腿中的鋼條到所平行的圓桌直徑對應(yīng)其鋼條高度的距離是，即桌腿中的鋼條到所平行的圓桌直徑對應(yīng)其鋼條高度的距離也為，則平面時每根桌腿鋼條所在位置距離圓桌邊緣的距離：立體時每根桌腿鋼條所在位置距離圓桌邊緣的

18、距離：每根卡槽的長度用立體時鋼筋與圓形桌面邊緣之間的距離和平板時鋼筋與圓形桌面邊緣之間的距離之差表示（3）列出目標(biāo)函數(shù)我們以用材最少為目標(biāo)函數(shù)，即木板體積最?。海?）約束條件的確定對最外側(cè)桌腿和最內(nèi)側(cè)桌腿畫出如圖所示切面進(jìn)行受力分析 圖8 受力分析圖要使桌子的穩(wěn)定性最好，就是使桌子所受的桌面壓力在桌腿上分力的合力是豎直向下的，則兩個分桌腿所受的力是相同的，根據(jù)物理學(xué)原理分析可得 圖9 幾何分析圖由圖分析且在直角三角形中運用勾股定理我們可知，又因為即聯(lián)立上述兩式得到為了描述清晰，我們令，因為鋼筋處到最短桌腿長的距離要小于其桌腿長，即約束條件為問題二：模型求解（1）由假設(shè)知桌腿寬度為2.5cm,圓

19、形桌的直徑等于木板的寬，即為cm，所以以圓形桌兩邊對稱，一邊有32條桌腿，我們以桌面的1/4為研究對象，即共16條桌腿。根據(jù)所建立的直角坐標(biāo)系，利用等差數(shù)列下不同的求解不同的，解得圓桌邊緣長，桌腿長 在MATLAB中進(jìn)行編程得到16條桌腿的長度由外側(cè)向內(nèi)分別為（單位：厘米）：80.3290、73.3409、 68.7811、65.2819、 62.4399、60.0689、 58.0646、56.3620、54.9174、53.7001、 52.6882、51.8652、 51.2194、50.7419、50.4268、50.2701 (具體程序見附錄5)（2）由假設(shè)知木板高度cm，由題意可知

20、桌高cm，最外側(cè)桌腿中的鋼條到圓桌邊緣對應(yīng)其高度因此，可以得到最外側(cè)桌腿中的鋼條到圓桌邊緣對應(yīng)其高度的距離.最外側(cè)桌腿中的鋼條到所平行的圓桌直徑對應(yīng)其鋼條高度的距離是根據(jù)桌腿中的鋼條到所平行的圓桌直徑對應(yīng)其鋼條高度的距離是相同的，通過計算得到立體時鋼筋與圓形桌面邊緣之間的距離和平板時鋼筋與圓形桌面邊緣之間的距離，每根卡槽的長度用立體時鋼筋與圓形桌面邊緣之間的距離和平板時鋼筋與圓形桌面邊緣之間的距離之差，在MATLAB中對16條桌腿的卡槽的長度計算進(jìn)行編程，得到16條桌腿的卡槽長度由外側(cè)向內(nèi)分別為（單位：厘米）0、1.4895、2.8327、 4.1484、5.4526、6.7368、 7.98

21、31、 9.1703、10.2772、 11.2846、12.1757、 12.9369、 13.5574、14.0294、14.3470、14.5067 (具體程序見附錄6)(3)在MATLAB中解得當(dāng)時，即平板的長為163.4702cm,寬為80cm,厚度為3cm,最外側(cè)桌腿鋼筋處到桌腿底端的距離與桌腿的長度之比為0.4186時，木板的體積最小為（具體程序見附錄7）問題三：類似于前兩問的分析方法，我們這里給出設(shè)計折疊桌的算法流程圖：第一步：求解木桌邊緣長第二步：求解木桌每根桌腿長第三步：求解木桌每根桌腿的槽長第四步：得到折疊桌的設(shè)計方案圖10 算法流程圖 首先，我們以“操場形”折疊桌為例，設(shè)計其最優(yōu)參數(shù)并作出其動態(tài)變化圖.圖11 “操場形”折疊桌俯視圖設(shè)計加工參數(shù)