142_角平分線(2)三角形的內(nèi)心

1、1.4 角平分線（2） 三角形的內(nèi)心尺規(guī)作圖尺規(guī)作圖角平分線的作法 做一做做一做l已知:A AOB B,如圖.l求作:射線OC,使AAOC=BC=BOC C.l作法:l用尺規(guī)作角的平分線用尺規(guī)作角的平分線. .l1.在OAT和oB上截取OD,OE,使OD=OE.l2.分別以點D和E為圓心,以大于DE/2長為半徑作弧,兩弧在 AAOB B內(nèi)內(nèi)交于點C.l3.作射線OC.ABOCl則射線OC就是AAOB B的平分線.DE駛向勝利的彼岸角平分線的性質(zhì)定理定理 角平分線上的點到這個角的兩邊距離相等角平分線上的點到這個角的兩邊距離相等. .回顧 思考逆定理逆定理 在一個角的內(nèi)部在一個角的內(nèi)部, ,且到角

2、的兩邊距離相等且到角的兩邊距離相等的點的點, ,在這個角的平分線上在這個角的平分線上. .駛向勝利的彼岸親歷知識的發(fā)生和發(fā)展w剪一個三角形紙片通過折疊剪一個三角形紙片通過折疊找出每個角的平分線找出每個角的平分線. .結(jié)論:三角形三個角的平三角形三個角的平分線相交于一點分線相交于一點. .老師期望:你能寫出規(guī)范的證明過程.你想證明這個命題嗎?w觀察這三條角平分線,你發(fā)現(xiàn)了什么? 做一做做一做駛向勝利的彼岸親歷知識的發(fā)生和發(fā)展利用尺規(guī)作出三角形利用尺規(guī)作出三角形三條角平分線. .結(jié)論:三角形三條角平分線相交于一點.老師期望:你能寫出規(guī)范的證明過程.你想證明這個命題嗎?你能證明這個命題嗎? 做一做做

3、一做w再觀察這三條角平分線.你又發(fā)現(xiàn)了什么?與同伴交流. .駛向勝利的彼岸思考分析命題:三角形三個角的平分線相交于一點.如圖,設(shè)ABC的角平分線BM,CN相交于點P,過點P分別作BC,AC,AB的垂線,垂足分別是E,F,D.BM是ABC的角平分線,點P在BM上,ABC的三條角平分線相交于一點P.咋證三條直線交于一點咋證三條直線交于一點w基本想法是這樣的:我們知道,兩條直線相交只有一個交點.要想證明三條直線相交于一點,只要能證明兩條直線的交點在第三條直線上即可.這時可以考慮前面剛剛學到的逆定理.ABCPMNDEFPD=PE(角平分線上的點到這個角的兩邊距離相等).同理,PE=PF.PD=PF.點

4、P在BAC的平分線上(在一個角的內(nèi)部,且到角的兩邊距離相等的點,在這個角的平分線上).駛向勝利的彼岸定理:三角形的三條角平分線相交于一點,并且這一點到三邊的距離相等.如圖,在ABC中,BM,CN,AH分別是ABC的三條角平分線,且PDAB,PEBC,PFAC(已知),BM,CN,AH相交于一點P,且PD=PE=PF(三角形的三條角平分線相交于一點,并且這一點到三邊的距離相等).老師提示老師提示: :這又是一個證明三條直線交于一點的根據(jù)之一這又是一個證明三條直線交于一點的根據(jù)之一這個交點叫做三角形的這個交點叫做三角形的內(nèi)心內(nèi)心. .幾何的幾何的三種語言三種語言 做一做做一做ABCPMNDEF挑戰(zhàn)

5、自我挑戰(zhàn)自我 隨堂練習隨堂練習駛向勝利的彼岸l如圖如圖,在在ABCABC中中, ,已知已知AC=BC,C=900,AD是是ABCABC的角平分線的角平分線,DEAB,垂足為垂足為E.老師期望:你能正確地解答并規(guī)范地寫出其過程.l(1)如果如果CD=4cm,AC的長的長;l(2)求證求證:AB=AC+CD.EDABC夢想成真 試一試試一試1.如圖,已知ABC,作ABC一個內(nèi)角和與它不相鄰的兩個外角的平分線,看它們是否交于一點?這樣的點有幾個?如果以這個點為圓心,這一點到三角形一邊的距離為半徑作圓,你能作出這個圖形嗎?ABC老師提示:三角形一個內(nèi)角和與它不相鄰的兩個外角的平分線交于一點, 這個的點

6、叫做三角形的旁心.這樣點有三個.回味無窮w 定理定理 角平分線上的點到這個角平分線上的點到這個角的兩邊距離相等角的兩邊距離相等. . w 逆定理逆定理 在一個角的內(nèi)部在一個角的內(nèi)部, ,且且到角的兩邊距離相等的點到角的兩邊距離相等的點, ,在在這個角的平分線上這個角的平分線上. .w 定理:三角形的三條角平分線相交于一點,并且這一點到三邊的距離相等(這個交點叫做三角形的內(nèi)心).w 三角形一個內(nèi)角和與它不相鄰的兩個外角的平分線交于一點, 這個的點叫做三角形的旁心.這樣點有三個.小結(jié) 拓展OCB1A2PDE知識的升華獨立獨立作業(yè)作業(yè)P習題1. 1 、 2 、 3題.祝你成功！習題1.9 獨立作業(yè)獨立作業(yè)駛向勝利的彼岸w1.已知:如圖,C=900, B=300,AD是RtABC的角平分線.w求證:BD=2CD. w老師期望:w你能寫出規(guī)范的證明過程.ABCD習題1.9 獨立作業(yè)獨立作業(yè)駛向勝利的彼岸w2.已知:如圖,ABC的外角CBD和BCE的角平分線相交于點F.w求證:點F在DAE的平分線上. 老師期望:養(yǎng)成用數(shù)學解釋生活的習慣. ABCFDE習題1.9 獨立作業(yè)獨立作業(yè)駛向勝利的彼岸w3.已知:如圖,P是AOB平分線上的一點,PCOA,PDOB,垂足分別C,D.w求證:w(1)OC=OD;w(2)OP是CD的垂直平分線.