空間向量知識點(diǎn)歸納總結(jié)(經(jīng)典)(新)

1、所謂的光輝歲月，并不是以后，閃耀的日子，而是無人問津時，你對夢想的偏執(zhí)?？臻g向量與立體幾何知識點(diǎn)歸納總結(jié)一.知識要點(diǎn)1.空間向量的概念：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量。注：(1)向量一般用有向線段表示.同向等長的有向線段表示同一或相等的向量(2)向量具有平移不變性2.空間向量的運(yùn)算。定義：與平面向量運(yùn)算一樣，空間向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算如下(如圖)運(yùn)算律：加法交換律：abba同是寒窗苦讀，怎愿甘拜下風(fēng)!3加法結(jié)合律：(a b) c a (b c)數(shù)乘分配律：(a b) a b運(yùn)算法則：三角形法則、平行四邊形法則、平行六面體法則3 .共線向量。(1)如果表示空間向量的有向線段所在的直

2、線平行或重合，那么這些向量也叫做共線向量或平行向量，a平行于b ,記作a b。b ( b ? 0 ), a/b存在實(shí)數(shù) 入使a =心。(2)共線向量定理：空間任意兩個向量a、 (3)三點(diǎn)共線：A、B、C三點(diǎn)共線<=>AB AC<=> OC xOA yOB其收 y 1)(4)與a共線的單位向量為4 .共面向量(1)定義：一般地，能平移到同一平面內(nèi)的向量叫做共面向量。說明：空間任意的兩向量都是共面的“：,：(2公共面廠量臂1：如果兩個向量a,b不共線，p與向量a,b共面的條件是存在實(shí)數(shù)x, y 使 p xa yb o(3)四點(diǎn)共面：若A、B、C、P四點(diǎn)共面<=>

3、AP xAB yAC . .<=>OP xOA yOB zOC(其中 x y z 1)5.空間向量基本定理：如果三個向量%不共面那么對空間任一向量在一個唯一的有序?qū)崝?shù)組x, y, z,使 p目力,yb z若三向量a,b,c不共面，我們把叫做空間的一個基底,，叫做基向量,空間任意三個不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個基底。推論：設(shè)O,A,B,Cx,y,z,使o6.空間向量的直角坐標(biāo)系:面4點(diǎn)，q空間任一點(diǎn)yOB zOC op ,都存在唯一的三個有序?qū)崝?shù)(1)空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo):在空間直角坐標(biāo)系O xyz中，對空間任一點(diǎn)A,存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x, y, z), 使OA xi yi

4、 zk ,有序?qū)崝?shù)組(x, y,z)叫作向量a在空間直角坐標(biāo)系o xyz中的坐標(biāo)， 記作A(x,y,z), x叫橫坐標(biāo)，y叫縱坐標(biāo)，z叫豎坐標(biāo)。注：點(diǎn)A (x,y,z)關(guān)于x軸的的對稱點(diǎn)為(x,-y,-z),關(guān)于xoy平面的對稱點(diǎn)為(x,y,-z). 即點(diǎn)關(guān)于什么軸/平面對稱，什么坐標(biāo)不變，其余的分坐標(biāo)均相反。在 y軸上的點(diǎn)設(shè)為 (0,y,0),在平面yOz中的點(diǎn)設(shè)為(0,y,z)若空間的一個基底的三個基向量互相垂直，且長為1,這個基底叫單位正交基底,7 7T 用i, j,k表示?？臻g中任一向量axiyjzk = (x,y,z)(3)l空間向量的直q坐標(biāo)運(yùn)算律：-自)，b出口2,4)，則(a1

5、 b1,a2 ba© bs),(ai 印包 b2,as b3),bi a2b2 a3bB ，ai, a2, a3)(R),/ baibl , a2b2 7a3b3(R),a ba1bl a2b2 a3b30。若 A(xi,yi,zJ , B(x2,y2,z2),則AB (x2 x/ yi,z2 4)。一個向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)。定比分點(diǎn)公式：若A(x1,yi,zi) , B(x2,y2,z2) , AP PB ,則點(diǎn)P坐標(biāo)為XiX2 yiy2 ZiZ2設(shè) P ( X,y,z )(X Xi,y yi,Z Zi)(X2 X,y2 y,

6、Z2 z)，顯然，當(dāng)P為AB中點(diǎn)時,P(XiX2 VlV2 Z1Z2 ABC中，A (卬丫")，B(X2,y2,Z2),C(X3,y3,Z3),三角形重心 p 坐標(biāo)為P(XiX2X3 ViV2 V3 Zi Z2 Z3 ABC勺五心:內(nèi)心P：內(nèi)切圓的圓心,角平分線的交點(diǎn)。APAB AC(尸尸) (單位向量)AB ACAC外心P:外接圓的圓心,中垂線的交點(diǎn)。P.PBPC垂心P：高的交點(diǎn)：PA PB PA PCPB PC重心P：中線的交點(diǎn)，三等分點(diǎn)(中位線比)AP(移項(xiàng)，內(nèi)積為0,則垂直)i -(AB AC)中心:(4),則|a|Jq2 a22 a32P |b| Vbb一一 ：>(

7、邛右 a (4e2自)，b(hQM),荷b22b32(5)夾角公式：cos貝U|AB| AB27.空間向量的數(shù)量積。的夾角及其表示：已知兩非零向量a,b,在空間任取一點(diǎn)o，作,則aob叫做向量a與b的夾角，記作 a,b ；且規(guī)定,b，顯然有b b,;若a,b ”稱a與:互相垂直，記作:aRa2b2a3b31a| |b|Ja； a22 a32 % bi2 b22 b32 ABC中® AB?AC 0<=>A為銳角AB?AC 0 <=>A為鈍角，鈍角 (6)兩點(diǎn)間的距離公式： 若 A(Xi,yi,Zi), B(X2,y2,Z2),、222X2 Xi) (y2 yi)

8、 (Z2 Zi),或 dA,B (X2 Xi)2 (y2 yi)2 (Z2 Zi)2_. I所謂的光輝歲月，I并不是以后，閃耀的日子，而是無人問津時，你對夢想的偏執(zhí)。（2）向量的模：設(shè)oA a,則有向線段oA的呼叫做向量三的長度或模，記作：日|日邛數(shù)量積：已知向量a,b,則1a1 ibi cos a,b叫做a,b的數(shù)量積，記 作a a,即a b曲曲cos a,b 。（4）空間向量數(shù)量積的性質(zhì): ae) |a |cosoi（分配律）0。團(tuán)2（交換律）。同是寒窗苦讀，怎愿甘拜下風(fēng)!5不滿足乘法結(jié)合率：（a b）c a（b c）二.空間向量與立體幾何1.線線平行兩線的方向向量平行1-1線面平行 線的

9、方向向量與面的法向量垂直1-2面面平行兩面的法向量平行2線線垂直（共面與異面）兩線的方向向量垂直2-1線面垂直 線與面的法向量平行2-2面面垂直兩面的法向量垂直3線線夾角（共面與異面）0°,90°兩線的方向向量 吊配的夾角或夾角的補(bǔ)角,cos cos n1, n23-1線面夾角0°,90°：求線面夾角的步驟：先求線的方向向量 AP與面的法向量n的夾角，若為銳角角即可，若為鈍角，則取其補(bǔ)角；再求其余角，即是線面的夾 * 角.sincos AP, n3-2面面夾角（二面角）0°,180°:若兩面的法向量一進(jìn)一出，則二面角等于兩法向量n1，

10、n2的夾角；法向量同進(jìn)同出，則二面角等于法向量的夾角的補(bǔ)角.的距離：在平面上去一點(diǎn)Q x,y，得向量5cos cos n1, n24.點(diǎn)面距離h :求點(diǎn)P X0,y0到平面所謂的光輝歲月，并不是以后，閃耀的日子，而是無人問津時，你對夢想的偏執(zhí)。同是寒窗苦讀，怎愿甘拜下風(fēng)!11計(jì)算平面的法向量n；. hPQ4-1線面距離（線面平行）:轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離4-2面面距離（面面平行）:轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離【典型例題】1 .基本運(yùn)算與基本知識（）例1.|已知平行六面體 ABCD-_a2) Ab Ad aa.，& w AB BC ；(3) AB AD -cC :2BCD，化簡下列向量表達(dá)式，標(biāo)出化簡結(jié)果的向

11、量。(AB ad aa)oA, B,C,問滿足向量式：1 ）的四點(diǎn)P,A,B,C是否共面?例2.對各同仁點(diǎn)g和不共線的三點(diǎn)(其中x y zOP xOA yOB zOCO O O O O例 3 已知空間三（0, 2, 3）, B （ 2, 1, 6）, C （1, 1, 5）求以向量AB, AC為一曾曾的平行四邊形的面積 S;若向量a分別與向量定,Ac垂直，且|；|=/3,求向量a的坐標(biāo)。2 .基底法（如何找，轉(zhuǎn)化為基底運(yùn)算）3 .坐標(biāo)法（如何建立空間直角坐標(biāo)系，找坐標(biāo)）4 .幾何法編號03晚自習(xí)測試；17, 18題OAC 45；,例4.如圖，在空間四邊形 OAB計(jì)，OA 8, AB 6, AC

12、 4, BC 5, OAB 60s求OA與BC的夾角的余弦值。說明：由圖形知向量的夾角易出錯，如 oA,aC 135易錯寫成oA,aC45,切記!例5.長方體ABCD AB1clD1中，AB BC 4, E為AC1與B1D1的交點(diǎn)，F(xiàn)為BC1與BC的 交點(diǎn)，又 AF BE,求長方體的高 BB1?！灸M試題】1.已知空間四邊形ABCD ,連空4c母,M ,G分別是BC,CD的中點(diǎn)，化簡下列各表達(dá) 式，并標(biāo)出化簡結(jié)果向量：（1）AB BC CD；(2) aB 1(BD bC)；2(3) aG 1(AB AC)22 .知士/ABCD,AC 外一點(diǎn) O 引向量oE kOA,oF kOB,OG koC.

13、oH kODo(1)求證：四點(diǎn)E,F,G,H共面；(2)平面AC /平面EG。11t1.113 .如圖正方體 ABCD ABC1D1中，BEi DR - ABi,求BE1與DF1所成角的余弦。45.已知平行六面體ABCD A BCD中， AB 4, AD 3, AA 5, BAD90；，BAADAA601 ,求 AC 的長。參考答案1.解：如圖,(3)AG 12bC CD aC cD AD ,BD BC) AB 1 bC 1BD2mG 三;,2(AB AC) AG AM MG2.解解 J(14.一 . E3 OG 5E, k OC kjOA k(OC oA) k(OB QA OD OA) OF

14、證孫四邊形E, F,G,H 共事；，, （2）解：v EF OF OE/. EF/AB, EG/AC。所以，平面AC 平面EG。3.解：不妨設(shè)正方體棱長為1,則 B(1,1,0),be13印1，/，BE1Be; df11(。，1), DFi441 1。()4 4ABCD是平行四邊形，AC k(AB tAD)OH OEk(oB oA) k aB,又 eG¥建立空間直角坐標(biāo)系 O xyz,1D（。,。,。）,Fi。”1叼，151 1 。16AB aD ,co151617 J715174.分析：:aB(2, 1,3),AC (1, 3,2), cos BAC./BAC=60 , =a AC