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1、第八章 二元一次方程組8 1 二元一次方程組1. 理解二元一次方程、二元一次方程組和它們的解的含義,并會(huì)檢驗(yàn)一對(duì)數(shù)是不是某 個(gè)二元一次方程組的解2學(xué)會(huì)用類比的方法遷移知識(shí),體驗(yàn)二元一次方程組在處理實(shí)際問(wèn)題中的優(yōu)越性,感受學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂(lè)趣重點(diǎn) 理解二元一次方程組的解的意義 難點(diǎn) 求二元一次方程的正整數(shù)解30 / 28一、創(chuàng)設(shè)情境,引入新課古老的“雞兔同籠”問(wèn)題:“今有雞兔同籠,上有三十五頭,下有九十四足問(wèn)雞、兔各幾何?”解:設(shè)雞有x 只,則兔有(35 x) 只,則可列方程:2x+4(35 x) =94,解得:x=23,則雞有 23 只,兔有12 只二、嘗試活動(dòng),探索新知1討論二元一次方程、二元一次

2、方程組的概念教師提問(wèn):上面的問(wèn)題可以用一元一次方程來(lái)解,那么還有其他方法嗎?設(shè)有 x 只雞, y 只兔,依題意得:x+y = 352x+4y=94針對(duì)學(xué)生列出的這兩個(gè)方程,教師提出如下問(wèn)題:(1) 你能給這兩個(gè)方程起個(gè)名字嗎?(2) 為什么叫二元一次方程呢?(3) 什么樣的方程叫二元一次方程呢?教師結(jié)合學(xué)生的回答,板書(shū)定義1 :含有兩個(gè)未知數(shù),并且未知數(shù)的指數(shù)都是1 的方程,叫做二元一次方程同時(shí)教師引導(dǎo)學(xué)生利用一元一次方程進(jìn)行知識(shí)的遷移和類比,讓學(xué)生用原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)去同化新知識(shí),符合建構(gòu)主義理念教師追問(wèn):在上面的問(wèn)題中,雞、兔的只數(shù)必須同時(shí)滿足、兩個(gè)方程.把、兩個(gè)二元一次 方程結(jié)合在一起,用大

3、括號(hào)來(lái)連接我們也給它起個(gè)名字,叫什么好呢?x + y= 35,2x + 4y = 94.學(xué)生思考,教師板書(shū)定義2:把具有相同未知數(shù)的兩個(gè)二元一次方程合在一起,就組成了一個(gè)二元一次方程組2.討論二元一次方程、二元一次方程組的解的概念.探究活動(dòng):滿足x+y=35,且符合問(wèn)題的實(shí)際意義的值有哪些?請(qǐng)?zhí)钊氡碇?xy教師啟發(fā):(1)若不考慮此方程與上面實(shí)際問(wèn)題的聯(lián)系,還可以取哪些值?(2)你能模仿一元一次方程的解給二元一次方程的解下定義嗎?(3)它與一元一次方程的解有什么區(qū)別?教師板書(shū)定義3:x= a,使二元一次方程兩邊相等的兩個(gè)未知數(shù)的值,叫做二元一次方程的解,記為y= b.二元一次方程組的兩個(gè)方程的

4、公共解叫做二元一次方程組的解.注意:二元一次方程組的解是成對(duì)出現(xiàn)的,用大括號(hào)來(lái)連接,表示“且三、例題講解【例】下列各對(duì)數(shù)值中不是二元一次方程x+ 2y = 2的解的是()x= 2,x= - 2,A B y = 0 y = 2x= 0,x = 1,C D y = 1 y = 0解法分析:將A、B C D中各對(duì)數(shù)值逐一代入方程檢驗(yàn)是否滿足方程,選 D、一,一、一,x+ 2y = 2,.,變式練習(xí):上題中的選項(xiàng)是二元一次方程組的解的是()2x + y = 2解法分析:在例題的基礎(chǔ)上,進(jìn)一步檢驗(yàn)A B、C D中各對(duì)值是否滿足方程 2x+y=2,使學(xué)生明確認(rèn)識(shí)到二元一次方程組的解必須同時(shí)滿足兩個(gè)方程.四

5、、鞏固練習(xí)1 .根據(jù)下列語(yǔ)句,列出二元一次方程:(1)甲數(shù)的一半與乙數(shù)的 3倍的和為11;(2)甲數(shù)和乙數(shù)的2倍的差為17.2 .方程x+2y=7在自然數(shù)范圍內(nèi)的解()A有無(wú)數(shù)組B.有一組C.有兩組 D.有四組3 .若 mx+ y = 1 是關(guān)于x, y的二元一次方程,那么()A.0 B, m= 0C. m是正有理數(shù)D. m是負(fù)有理數(shù)【答案】 1. (1)0.5x+3y= 11 (2)x -2y= 172. D 3. A五、課堂小結(jié)本節(jié)課學(xué)習(xí)了哪些內(nèi)容?你有哪些收獲?( 什么叫二元一次方程?什么叫二元一次方程組?什么叫二元一次方程組的解?)本課的設(shè)計(jì)是從提出 “雞兔同籠”的求解問(wèn)題入手,讓學(xué)生

6、經(jīng)歷了從不同角度尋求不同解決方法的過(guò)程,體現(xiàn)了解決問(wèn)題策略的多樣性,以列一元一次方程求解襯托出列二元一次方程組求解的優(yōu)越性,更使學(xué)生感到二元一次方程組的引入順理成章,所以本課的整體設(shè)計(jì),突出了一元一次方程的樣板作用,讓學(xué)生在類比中,主動(dòng)遷移知識(shí),建立新的概念,使得基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能在學(xué)生的頭腦中留下較深刻的印象8 2 消元解二元一次方程組第 1 課時(shí) 代入消元法1用代入法解二元一次方程組2了解解二元一次方程組時(shí)的“消元”思想和“化未知為已知”的化歸思想3會(huì)用二元一次方程組解決實(shí)際問(wèn)題重點(diǎn) 用代入法解二元一次方程組難點(diǎn) 探索如何用代入法將“二元”轉(zhuǎn)化為“一元”的消元過(guò)程一、創(chuàng)設(shè)情境,引入新課教師

7、出示下列問(wèn)題:?jiǎn)栴} 1:籃球聯(lián)賽中,每場(chǎng)比賽都要分勝負(fù),每隊(duì)勝一場(chǎng)得2 分, 負(fù)一場(chǎng)得1 分 某隊(duì)為了爭(zhēng)取較好的名次,想在全部22 場(chǎng)比賽中得到40 分,那么這個(gè)隊(duì)勝負(fù)場(chǎng)數(shù)分別是多少?問(wèn)題2:在上述問(wèn)題中,我們也可以設(shè)出兩個(gè)未知數(shù),列出二元一次方程組,那么怎樣求解二元一次方程組呢?二、嘗試活動(dòng),探索新知教師引導(dǎo):什么是二元一次方程組的解?(方程組中各個(gè)方程的公共解)學(xué)生列式計(jì)算后回答:x + y=22,,2x + y = 40.滿足方程的解有:x = 21, x=20, x=19, x=18, x=17, y = i;y=2;y=3;y=4;y = 5;滿足方程的解有:x = 19, x=18

8、, x = 17, x= 16, y = 2; y=4; y=6; y=8;這兩個(gè)方程的公共解是x= 18, y= 4.師:這種列舉法比較麻煩,有沒(méi)有簡(jiǎn)單一點(diǎn)的方法呢?師:由方程進(jìn)行移項(xiàng)得 y=22-x,由于方程中的 y與方程中的y都表示負(fù)的場(chǎng) 數(shù),故可以把方程中的 y用(22x)來(lái)代換,即得 2x + (22 x) =40.由此一來(lái),二元就 化為一元了解得x= 18.問(wèn)題解完了嗎?怎樣求y?將x = 18代入方程y=22x,得y = 4.能代入原方程組中的方程、來(lái)求y嗎?代入哪個(gè)方程更簡(jiǎn)便?x = 18, 這樣,二元一次方程組的解就是y = 4.教師歸納并板書(shū):使二元方程轉(zhuǎn)化為一元方程,從而

9、方程組得以求解的方這種通過(guò)代入消去一個(gè)未知數(shù),法叫做代入消元法,簡(jiǎn)稱代入法三、例題講解【例1】用代入法解方程組x y= 3,3x-8y= 14.分析:方程中x的系數(shù)是1,用含y的式子表示x,比較簡(jiǎn)便.解:由,得x= y+ 3.把代入,得3(y +3) -8y= 14.解這個(gè)方程,得y= - 1.把y = 1代入,得x= 2.所以這個(gè)方程組的解是x = 2,y = 1.【例2】根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查,某種消毒液的大瓶裝(500 g)和小瓶裝(250 g)兩種產(chǎn)品的銷售數(shù)量(按瓶計(jì)算)比為2 : 5.某廠每天生產(chǎn)這種消毒液 22.5 t ,這些消毒液應(yīng)該分裝大、小 瓶?jī)煞N產(chǎn)品各多少瓶?分析:?jiǎn)栴}中包含兩個(gè)條

10、件:大瓶數(shù):小瓶數(shù)=2 : 5,大瓶所裝消毒液+小瓶所裝消毒液=總生產(chǎn)量.解:設(shè)這些消毒液應(yīng)該分裝x大瓶、y小瓶.根據(jù)大、小瓶數(shù)的比,以及消毒液分裝量與總生產(chǎn)量的數(shù)量關(guān)系,得5x = 2y ,500x+ 250y = 22500000.由,得5不y = 2x.把代入,得5500x + 250X 2x = 22500000.解這個(gè)方程,得 x= 20000.把x = 20000代入,得y= 50000.所以這個(gè)方程組的解是x = 20000,y = 50000.答:這些消毒?應(yīng)該分裝 20000大瓶和50000小瓶.上面解方程組的過(guò)程可以用下面的框圖表示:教師解后學(xué)生及時(shí)反應(yīng):(1)選擇哪個(gè)方框

11、代入另一個(gè)方框?其目的是什么?(2)如何用代入法處理兩個(gè)未知數(shù)系數(shù)的絕對(duì)值均不為1的二元一次方程組?(3)列二元一次方程組解應(yīng)用題的關(guān)鍵是:找出兩個(gè)等量關(guān)系.(4)列二元一次方程組解應(yīng)用題的一般步驟分為:審、設(shè)、歹U、解、檢、答.四、鞏固練習(xí),、,x y = - 3,一1.二元一次方程組的解是()2x+ y = 0x= - 1, x= 1 , ABy= 2 y = - 2 x= - 1, x= - 2,CDy= - 2 y = 1 x= - 1,2.方程組x + 3y = 4, 2x-3y=- 1的解是(Ay=- 1x= - 2,x= - 2,CDy= 2 y = - 1x-+1=y,3.解方

12、程組 32 (x+1) y=6.【答案】1. A 2. B3.解:由得 x+3=3y,即x=3y- 3, 由得2x-y = 4,把代入得y=2.把y = 2代入得x=3,x= 3,因此原方程組的解為 y = 2.五、課堂小結(jié)你從本節(jié)課的學(xué)習(xí)中體會(huì)到代入法的基本思路是什么?主要步驟有哪些?讓學(xué)生在互相交流的活動(dòng)中完成本節(jié)課的小結(jié),并能通過(guò)總結(jié)與歸納,更加清楚地理解代入消元法,體會(huì)代入消元法在解二元一次方程組的過(guò)程中反映出來(lái)的化歸思想.通過(guò)創(chuàng)設(shè)有趣的情境,引發(fā)學(xué)生自覺(jué)參與學(xué)習(xí)活動(dòng)的積極性,使知識(shí)的發(fā)現(xiàn)過(guò)程融于有趣的活動(dòng)中,重視知識(shí)的發(fā)生過(guò)程將設(shè)未知數(shù)列一元一次方程的求解過(guò)程與二元一次方程組比較,

13、從而得到二元一次方程組的代入( 消元 ) 解法, 這種比較可使學(xué)生在復(fù)習(xí)舊知識(shí)的同時(shí),使新知識(shí)得以掌握,這對(duì)于學(xué)生體會(huì)新知識(shí)的產(chǎn)生和形成的過(guò)程是十分重要的第 2 課時(shí) 加減消元法1掌握用加減法解二元一次方程組2使學(xué)生理解加減消元法所體現(xiàn)的“化未知為已知”的化歸思想方法重點(diǎn) 如何用加減法解二元一次方程組 難點(diǎn) 如何運(yùn)用加減法進(jìn)行消元一、創(chuàng)設(shè)情境,引入新課教師提出問(wèn)題:王老師昨天在水果批發(fā)市場(chǎng)買(mǎi)了2 千克蘋(píng)果和4 千克梨,共花了14 元,李老師以同樣的價(jià)格買(mǎi)了2 千克蘋(píng)果和3 千克梨,共花了12 元,梨每千克的售價(jià)是多少?比一比看誰(shuí)求得快教師總結(jié)最簡(jiǎn)便的方法:抵消掉相同的部分,王老師比李老師多買(mǎi)了

14、1 千克的梨,多花了 2 元, 故梨每千克的售價(jià)為2 元二、例題講解教師板書(shū):解方程組2x + 3y= 1,2x 5y=7.(由學(xué)生自主探究,并給出不同的解法)解法一:1 3y由得x=-2y,代入方程,消去 x.解法二:把2x看作一個(gè)整體,由得 2x=1 3y ,代入方程,消去 2x.教師肯定兩種解法都正確,并由學(xué)生比較兩種方法的優(yōu)劣.由學(xué)生觀察,得出結(jié)論:解法二整體代入更簡(jiǎn)便,準(zhǔn)確率更高.教師啟發(fā):有沒(méi)有更簡(jiǎn)潔的解法呢?問(wèn)題1 :觀察上述方程組,未知數(shù) x的系數(shù)有什么特點(diǎn)?(相等)問(wèn)題2:除了代入消元,你還有別的辦法消去x嗎?(兩個(gè)方程的兩邊分別對(duì)應(yīng)相減,就可消去x,得到一個(gè)一元一次方程.)

15、解法三:得:8y = 8,所以y= 1.代入或,得 x = 1.x= 1 , 所以原方程組的解為y = - 1.變式一:解方程組-2x+3y=- 1, 2x 5y = 7.教師啟發(fā):?jiǎn)栴}1:觀察上述方程組,未知數(shù) x的系數(shù)有什么特點(diǎn)?(互為相反數(shù))問(wèn)題2:除了代入消元,你還有別的辦法消去x嗎?(兩個(gè)方程的兩邊分別對(duì)應(yīng)相加,就可消去x,得到一個(gè)一元一次方程.)教師板書(shū):兩個(gè)二元一次方程中同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)相反或相等時(shí),將兩個(gè)方程的兩邊分別相加或相減,就能消去這個(gè)未知數(shù),得到一個(gè)一元一次方程,這種方法叫做加減消元法,簡(jiǎn)稱加減法. 教師提問(wèn): 能用加減消元法解二元一次方程組的前提是什么?(兩個(gè)二元一

16、次方程中同一未知數(shù)的系數(shù)相反或相等.)4x + 3y = 1,變式二:解方程組2x-5y=7.學(xué)生觀察:本例可以用加減消元法來(lái)做嗎?教師引導(dǎo):?jiǎn)栴}1:這兩個(gè)方程直接相加減能消去未知數(shù)嗎?為什么?問(wèn)題2:那么怎樣使方程組中某一未知數(shù)的系數(shù)的絕對(duì)值相等呢?教師啟發(fā)學(xué)生仔細(xì)觀察方程組的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),發(fā)現(xiàn)x的系數(shù)成整數(shù)倍數(shù)關(guān)系.因此:X 2,得4x10y=14.由一即可消去x,從而使問(wèn)題得解.(教師追問(wèn):一可以嗎?怎樣更好? )變式三:解方程組-2x+3y=- 1 , 3x-5y=7.教師提問(wèn): 本例題可以用加減消元法來(lái)做嗎?讓學(xué)生獨(dú)立思考,怎樣變形才能使方程組中某一未知數(shù)的系數(shù)的絕對(duì)值相等呢?分析得出解

17、題方法:解法1:通過(guò)X 3、X 2,使關(guān)于x的系數(shù)絕對(duì)值相等,從而可用加減法解得.解法2:通過(guò)X 5、X 3,使關(guān)于y的系數(shù)絕對(duì)值相等,從而可用加減法解得.教師追問(wèn):怎樣更好呢?通過(guò)對(duì)比,學(xué)生自己總結(jié)出應(yīng)選擇方程組中同一未知數(shù)系數(shù)絕對(duì)值的最小公倍數(shù)較小的未知數(shù)消元解后反思:用加減法解同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)絕對(duì)值不相等且不成整數(shù)倍的二元一次方程組時(shí),把一個(gè) ( 或兩個(gè) ) 方程的兩邊乘以適當(dāng)?shù)臄?shù),使兩個(gè)方程中某一未知數(shù)的系數(shù)絕對(duì)值相等,從而化為第一類型的方程組求解師生共析:1. 用加減消元法解二元一次方程組的基本思路仍然是“消元”2用加減法解二元一次方程組的一般步驟:第一步:如果某個(gè)未知數(shù)的系數(shù)互為

18、相反數(shù),可以把這兩個(gè)方程的兩邊分別相加,消去這個(gè)未知數(shù);如果未知數(shù)的系數(shù)相等,可以直接把兩個(gè)方程的兩邊相減,消去這個(gè)未知數(shù)第二步:如果方程組中不存在某個(gè)未知數(shù)的系數(shù)絕對(duì)值相等,那么應(yīng)選出一組系數(shù)( 選最小公倍數(shù)較小的一組系數(shù)) ,求出它們的最小公倍數(shù),然后將原方程組變形,使新方程組的這組系數(shù)的絕對(duì)值相等,再加減消元第三步:對(duì)于較復(fù)雜的二元一次方程組,應(yīng)先化簡(jiǎn),再作如上加減消元的考慮【例】2 臺(tái)大收割機(jī)和5 臺(tái)小收割機(jī)同時(shí)工作2 h 共收割小麥3.6 hm2, 3 臺(tái)大收割機(jī)和 2 臺(tái)小收割機(jī)同時(shí)工作5 h 共收割小麥8 hm2.1 臺(tái)大收割機(jī)和1 臺(tái)小收割機(jī)每小時(shí)各收割小麥多少公頃?分析:如果

19、1臺(tái)大收割機(jī)和1臺(tái)小收割機(jī)每小時(shí)各收割小麥x hn2和y hm,那么2臺(tái)大收割機(jī)和5 臺(tái)小收割機(jī)同時(shí)工作1 h 共收割小麥hm2, 3 臺(tái)大收割機(jī)和2 臺(tái)小收割機(jī)同時(shí)工作1 h 共收割小麥hm2. 由此考慮兩種情況下的工作量解:設(shè)1臺(tái)大收割機(jī)和1臺(tái)小收割機(jī)每小時(shí)各收割小麥x hn2和y hnn.根據(jù)兩種工作方式中的相等關(guān)系,得方程組2 (2x+5y) = 3.6 , 5 (3x+2y) = 8.去括號(hào),得4x+10y = 3.6 ,15x+ 10y = 8.一,得11x = 4.4.解這個(gè)方程,得x= 0.4.把x = 0.4代入,得y=0.2.因此,這個(gè)方程組的解是x = 0.4 ,y =

20、0.2.答:1臺(tái)大收割機(jī)和1臺(tái)小收割機(jī)每小時(shí)各收割小麥0.4 hn2和0.2 hn2.上面解方程組的過(guò)程可以用下面的框圖表示:三、鞏固練習(xí)1用加減法解下列方程組時(shí),你認(rèn)為先消去哪個(gè)未知數(shù)較簡(jiǎn)單,填寫(xiě)消元的方法3x-2y=15, 、上(1)消元方法:5x-4y = 23.(2)7m- 3n= 1, 2n+3m= 2.消元方法:2用加減法解下列方程組:4x + y = 2, 4x-3y=- 6;3x + 2y= 1, (2)x + 4y = 7;3x-2y = 5, 4x+3y=1; (4)x+ 4y = 9, x 4y= 10.【答案】1. (1)X 2 消去yx 2+x 3消去nx= 0 ,2

21、y=219=1,y=一 1x = -2,四、課堂小結(jié)本節(jié)課,我們主要學(xué)習(xí)了二元一次方程組的另一種解法一一加減消元法,通過(guò)把方程組中的兩個(gè)方程進(jìn)行相加或相減,消去一個(gè)未知數(shù),化“二元”為“一元”,請(qǐng)同學(xué)們回憶:加減消元法解二元一次方程組的基本思想是什么?用加減消元法解二元一次方程組的主 要步驟有哪些?在學(xué)習(xí)加減法解題之前,學(xué)生已經(jīng)知道了代入法解二元一次方程組的核心是代入“消元”,以使二元方程轉(zhuǎn)化為一元方程求解.本課設(shè)計(jì)沒(méi)有直接告訴學(xué)生加減法解題的過(guò)程,而是通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生觀察不同方程組的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),比較不同解法的優(yōu)劣,自己探索發(fā)現(xiàn)解題的技巧.這樣使學(xué)生積極地參加到學(xué)習(xí)的過(guò)程中, 不僅能感受到學(xué)習(xí)的樂(lè)趣

22、, 更重要的是在這 種積極求索的學(xué)習(xí)中,品嘗到了成功的喜悅,促使其能力得到充分的發(fā)揮、提高.8. 3實(shí)際問(wèn)題與二元一次方程組 (1)1使學(xué)生會(huì)借助二元一次方程組解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題,讓學(xué)生再次體會(huì)二元一次方程 組與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系和作用2通過(guò)應(yīng)用題教學(xué),學(xué)生進(jìn)一步使用代數(shù)中的方程去反映現(xiàn)實(shí)世界中的等量關(guān)系,體 會(huì)代數(shù)方法的優(yōu)越性重點(diǎn) 能根據(jù)題意找出等量關(guān)系,并能根據(jù)題意列二元一次方程組 難點(diǎn) 正確找出問(wèn)題中的兩個(gè)等量關(guān)系一、創(chuàng)設(shè)情境,引入新課復(fù)習(xí)提問(wèn):列方程解應(yīng)用題的步驟是什么?學(xué)生回答:審題、設(shè)未知數(shù)、列方程、解方程、檢驗(yàn)并作答.教師講述:前面我們結(jié)合實(shí)際問(wèn)題, 討論了用方程組表示問(wèn)題中的條件以

23、及如何解方程組.本節(jié)我們繼續(xù)探究如何用方程組解決實(shí)際問(wèn)題.教師出示問(wèn)題:養(yǎng)牛場(chǎng)原有30頭大牛和15頭小牛,一天約需用飼料 675 kg; 一周后又購(gòu)進(jìn)12頭 大牛和5頭小牛,這時(shí)一天約需用飼料940 kg.飼養(yǎng)員李大叔估計(jì)平均每頭大牛1天約需用飼料18 kg20 kg,每頭小牛1天約需用飼料7 kg8 kg.你能否通過(guò)計(jì)算檢驗(yàn)他的估計(jì)是 否正確嗎?二、探索分析,解決問(wèn)題根據(jù)問(wèn)題中給定的數(shù)量關(guān)系如何計(jì)算平均每頭大牛和每頭小牛1天各約需用的飼料量?主要思路:實(shí)際問(wèn)題設(shè)未知數(shù)列方程重?cái)?shù)學(xué)問(wèn)題(二元一次方程組)學(xué)生先獨(dú)立思考,然后師生共同討論解題過(guò)程.問(wèn)題:1 .題中有哪些已知量?哪些未知量.2 .題

24、中的等量關(guān)系有哪些?3 .如何解這個(gè)應(yīng)用題?解:設(shè)平均每頭大牛和每頭小牛1天各約需用飼料x(chóng) kg和y kg.找出相等關(guān)系列方程組:解這個(gè)方程組,得30x+ 15y= 675 , 42x+20y= 940.x = 20, y = 5.這就是說(shuō),平均每頭大牛和每頭小牛1天各約需用飼料20 kg和5 kg.飼養(yǎng)員李大叔對(duì)大牛的食量估計(jì)正確,對(duì)小牛的食量估計(jì)不正確.教師請(qǐng)同學(xué)們好好思考:以上問(wèn)題還能列出不同的方程組嗎?結(jié)果是否一致?(個(gè)別學(xué)生可能會(huì)列出如下方程組:但結(jié)果一致.30x+ 15y = 675, 12x+5y=265.思考題:一千零一夜中有這樣一段文字: 有一群鴿子,其中一部分在樹(shù)上歡歌,另

25、一部分在地上覓食.樹(shù)上的一只鴿子對(duì)地上覓食的鴿子說(shuō):“若從你們中飛上來(lái)一只,則樹(shù)下的1鴿子就是整個(gè)鴿群的;若從樹(shù)上飛下去一只, 則樹(shù)上、樹(shù)下的鴿子就一樣多了. ”你知道樹(shù) 3上、樹(shù)下各有多少只鴿子嗎?三、鞏固練習(xí)1 .某所中學(xué)現(xiàn)在有學(xué)生 4200人,計(jì)劃一年后初中在校生增加 8%高中在校生增加11%這樣全校生將增加 10%這所學(xué)校現(xiàn)在的初中在校生和高中在校生人數(shù)各是多少?2.有大、小兩種貨車(chē),2輛大車(chē)與3輛小車(chē)一次可以運(yùn)貨 15.50噸,5輛大車(chē)與6輛小車(chē)一次可以運(yùn)貨 35噸,求3輛大車(chē)與5輛小車(chē)一次可以運(yùn)貨多少噸?【答案】1 .解:設(shè)現(xiàn)在的初中在校生有 x人,高中在校生有 y人. 根據(jù)題意列

26、方程,得解這個(gè)方程組,得x +y = 4200,x (1+8%> +y (1+11% = 4200 (1+ 10%x =1400, y = 2800.答:現(xiàn)在的初中在校生有1400人,高中在校生有 2800人.2 .解:設(shè)每輛大車(chē)和每輛小車(chē)一次運(yùn)貨量分別為x噸和y噸.根據(jù)題意列方程,得2x + 3y= 15.5 ,5x + 6y = 35.解這個(gè)方程組,得x = 4,y = 2.5.則 3x+5y= 24.5.答:3輛大車(chē)與5輛小車(chē)一次可以運(yùn)貨 24.5噸.四、課堂小結(jié)通過(guò)這節(jié)課的學(xué)習(xí),你知道了用方程組解決實(shí)際問(wèn)題有哪些步驟嗎?本節(jié)課從實(shí)際問(wèn)題出發(fā),通過(guò)分析實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系,列出二元

27、一次方程組,通過(guò)對(duì)方程組解的檢驗(yàn),讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到檢驗(yàn)不僅要檢查求得的解是否符合方程組中的每一個(gè)方程, 而且還要考查所得的解答是否符合實(shí)際問(wèn)題的要求,從而使學(xué)生初步體驗(yàn)用方程組解決實(shí)際問(wèn)題的全過(guò)程8 3 實(shí)際問(wèn)題與二元一次方程組(2)1經(jīng)歷用方程組解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程,體會(huì)方程組是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界的有效數(shù)學(xué)模型2能夠找出實(shí)際問(wèn)題中的已知數(shù)和未知數(shù),分析它們之間的數(shù)量關(guān)系,列出方程組3學(xué)會(huì)開(kāi)放性地尋求設(shè)計(jì)方案,培養(yǎng)分析能力重點(diǎn) 經(jīng)歷和體驗(yàn)用方程組解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程 難點(diǎn) 用方程組刻畫(huà)和解決實(shí)際問(wèn)題一、創(chuàng)設(shè)情境,引入新課前面我們初步體驗(yàn)了用方程組解決實(shí)際問(wèn)題的全過(guò)程,其實(shí)生產(chǎn)、生活中還有許多問(wèn)題也能用方程組

28、解決教師出示問(wèn)題:據(jù)以往的統(tǒng)計(jì)資料,甲、乙兩種作物單位面積的產(chǎn)量比是1 : 1.5.現(xiàn)要在一塊長(zhǎng)200m3寬100 m的長(zhǎng)方形土地上種植這兩種作物,怎樣把這塊地分為兩個(gè)長(zhǎng)方形,使甲、乙兩 種作物的總產(chǎn)量比是 3 : 4.(結(jié)果取整數(shù))問(wèn)題:1. “甲、乙兩種作物單位面積的產(chǎn)量比是1 : 1.5”是什么意思?2. “甲、乙兩種作物的總產(chǎn)量比為3 : 4”是什么意思?3. 本題中有哪些等量關(guān)系?提示:若甲種作物單位產(chǎn)量是a,那么乙種作物的單位產(chǎn)量是多少?二、例題講解教師提問(wèn):以上問(wèn)題有哪些解法?學(xué)生自主探索、合作交流、整理思路:1 .先確定有兩種方法分割長(zhǎng)方形,再分別求出兩個(gè)小長(zhǎng)方形的面積,最后計(jì)

29、算分割線的位置.2 .先求兩個(gè)小長(zhǎng)方形的面積比,再計(jì)算分割線的位置.3 .設(shè)未知數(shù),列方程組求解.如圖,一種種植方案為:甲、乙兩種作物的種植區(qū)域分別為長(zhǎng)方形AEFD和BCFE.設(shè)AE= x m BE= y3根據(jù)問(wèn)題中涉及長(zhǎng)度、產(chǎn)量的數(shù)量關(guān)系,列方程組:x + y= 200,100x : ( 1.5 X 100y) = 3 : 4解這個(gè)方程組,得15x= 105萬(wàn)2y=94行.過(guò)長(zhǎng)方形土地的長(zhǎng)邊上離一端約106 m處,把這塊地分為兩個(gè)長(zhǎng)方形,較大的一塊地種甲作物,較小的一塊地種乙作物.教師提問(wèn):你還能設(shè)計(jì)別的種植方案嗎?(用類似的方法,可沿平行于線段AB的方向分割長(zhǎng)方形.)教師巡視、指導(dǎo),師生共

30、同講評(píng).三、鞏固練習(xí)某農(nóng)場(chǎng)300名職工耕種51公頃土地,計(jì)劃種植水稻、棉花和蔬菜,已知種植植物 每公頃所需的勞動(dòng)力人數(shù)及投入的資金如下表:農(nóng)作物品種每公頃需勞動(dòng)力每公頃需投入資金水稻4人1力兀棉花8人1力兀蔬菜5人2力兀已知該農(nóng)場(chǎng)計(jì)劃投入 67萬(wàn)元,應(yīng)該怎樣安排這三種作物的種植面積,才能使所有 職工都有工作,而且投入的資金正好夠用?【答案】解:設(shè)安排x公頃種水稻、y公頃種棉花,則安排(51 xy)公頃種蔬菜. 根據(jù)題意列方程組,得4x + 8y + 5 (51xy) = 300,x + y+2 (51 xy) =67.解這個(gè)方程組,得x = 15,y = 20.那么種蔬菜的面積為 51 15

31、20 =16(公頃).答:安排15公頃種水稻、20公頃種木花、16公頃種蔬菜.四、課堂小結(jié)通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí),你對(duì)用方程組解決實(shí)際問(wèn)題的方法又有何新的認(rèn)識(shí)?本課所提供的例題、練習(xí)題、作業(yè)題突出體現(xiàn)以下特點(diǎn):1 .活動(dòng)性.學(xué)生在圖形分割、手工操作、拼圖游戲中展開(kāi)數(shù)學(xué)問(wèn)題的討論,更具趣味性,學(xué)生在玩中學(xué)、做中學(xué),在增強(qiáng)能力的同時(shí),收獲快樂(lè).2 .探索性.問(wèn)題解決的策略不易獲得,問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系不易發(fā)現(xiàn),問(wèn)題中的未知數(shù) 不易設(shè)定,這為學(xué)生開(kāi)展探究活動(dòng)提供了機(jī)會(huì).3 .開(kāi)放性.解決問(wèn)題的策略、方法、問(wèn)題的結(jié)論的開(kāi)放性設(shè)計(jì),意在增強(qiáng)學(xué)生的創(chuàng)新 意識(shí)和培養(yǎng)勇于挑戰(zhàn)、克服困難的能力.8. 3實(shí)際問(wèn)題與二元一次

32、方程組(3)1進(jìn)一步經(jīng)歷用方程組解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程,體會(huì)方程組是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界的有效數(shù)學(xué) 模型2會(huì)用列表的方式分析問(wèn)題中所蘊(yùn)涵的數(shù)量關(guān)系,列出二元一次方程組重點(diǎn) 用列表、畫(huà)圖的方法分析題意,建立模型 難點(diǎn) 如何應(yīng)用列表法、圖象法分析問(wèn)題,建立模型一、例題講解教師出示例題:如圖,長(zhǎng)青化工廠與 A、B兩地有公路、鐵路相連.這家工廠從A地購(gòu)買(mǎi)一批每噸1000元的原料運(yùn)回工廠,制成每噸8000元的產(chǎn)品運(yùn)到B地.公路運(yùn)價(jià)為1.5元/(噸千米),鐵路運(yùn)價(jià)為1.2元/(噸千米),這兩次運(yùn)輸共支出公路運(yùn)費(fèi)15000元,鐵路運(yùn)費(fèi)97200元.這批產(chǎn)品的銷售款比原料費(fèi)與運(yùn)輸費(fèi)的和多多少元?學(xué)生自主探索、合作交流.設(shè)問(wèn)1:如何設(shè)未知數(shù)?銷售款與產(chǎn)品數(shù)量有關(guān),原料費(fèi)與原料數(shù)量有關(guān),而公路運(yùn)費(fèi)和鐵路運(yùn)費(fèi)與產(chǎn)品數(shù) 量和原料數(shù)量都有關(guān).因此設(shè)產(chǎn)品重x噸,原料重y噸.設(shè)問(wèn)2:如何確定題中的數(shù)量關(guān)系?列表分析:產(chǎn)品x噸原料y噸合計(jì)公路運(yùn)費(fèi)(元)鐵路運(yùn)費(fèi)(元)價(jià)值(元)由上表可列方程組1.5 X ( 20x + 10y) = 15000, 1.2 X ( 110x+ 120y) = 97200.解這個(gè)方程組,得x = 300, y = 400.因?yàn)槊麧?rùn)=銷售款一原料費(fèi)一運(yùn)輸費(fèi),所以這批產(chǎn)品的銷售款比原料費(fèi)與運(yùn)輸費(fèi)的和多 1887800 元.教師引導(dǎo)學(xué)生

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